Trouver les fonctions trigonométriques à partir de leurs graphiques (Déphasage)

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur y maximale est 2. Par conséquent, \( |a| = 2 \). Utilisons \( a = 2 \).

2. Période (\(b\)) :
En observant l'échelle du graphique, 4 petites divisions horizontales correspondent à \( \pi \), donc 1 petite division = \( \dfrac{\pi}{4} \).
Un cycle complet d'onde s'étend exactement sur 16 petites divisions.
Période \( P = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \).
En utilisant \( P = \dfrac{2\pi}{b} \), nous résolvons : \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{1}{2} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Une onde sinusoïdale standard traverse l'origine \( (0,0) \) en montant. Notre graphique traverse l'axe des x en montant à 1 petite division à gauche de l'axe des y.
Déphasage = \( -\dfrac{\pi}{4} \) (décalage vers la gauche).
La formule pour le déphasage est \( -\dfrac{c}{b} \). Substituez les valeurs connues :
\( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{1/2} \implies c = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur maximale se situe à mi-chemin entre 1 et 2. Par conséquent, \( |a| = 1,5 \). Soit \( a = 1,5 \).

2. Période (\(b\)) :
Un cycle complet (par exemple, d'un sommet à un autre) s'étend exactement sur 4 unités sur l'axe des x.
Période \( P = 4 \).
\( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4b = 2\pi \implies b = \dfrac{\pi}{2} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Le graphique traverse l'axe des x en montant à \( x = 1 \). Il s'agit d'un décalage de 1 unité vers la droite.
Déphasage = \( 1 \).
\( 1 = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b \).
Substituez \( b \) : \( c = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 1,5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur y maximale est 10. \( |a| = 10 \). Soit \( a = 10 \).

2. Période (\(b\)) :
5 petites divisions correspondent à \( \pi \), donc 1 petite division = \( \dfrac{\pi}{5} \).
Une période complète s'étend sur 8 divisions.
Période \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{8\pi}{5} \).
\( \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8\pi b = 10\pi \implies b = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Le graphique traverse l'axe central en montant à 2 divisions à droite de l'axe des y.
Déphasage = \( 2 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \) (décalage vers la droite).
\( \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \).
Substituez \( b \) : \( c = -\left(\dfrac{5}{4}\right)\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = -\dfrac{2\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur maximale est 2. \( |a| = 2 \). Soit \( a = 2 \).

2. Période (\(b\)) :
12 petites divisions correspondent à \( \pi \), donc 1 petite division = \( \dfrac{\pi}{12} \).
Une période complète s'étend sur 8 divisions.
Période \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \).
\( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies \mathbf{b = 3} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Le graphique commence son passage ascendant à 1 division vers la droite.
Déphasage = \( \dfrac{\pi}{12} \).
\( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -3\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur y maximale est 4. \( |a| = 4 \). Soit \( a = 4 \).

2. Période (\(b\)) :
4 petites divisions correspondent à \( \dfrac{\pi}{2} \), donc 1 petite division = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Un cycle complet s'étend sur 12 petites divisions.
Période \( P = 12 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{2} \).
\( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 3\pi b = 4\pi \implies b = \dfrac{4}{3} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Une fonction cosinus standard commence à un maximum lorsque \( x = 0 \). Le maximum de notre graphique est décalé de 3 petites divisions vers la droite.

Déphasage = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Substituez \( b \) : \( c = -\left(\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur maximale est 3. \( |a| = 3 \). Soit \( a = 3 \).

2. Période (\(b\)) :
La longueur d'un cycle complet sur l'axe des x est exactement de 1 unité.
Période \( P = 1 \).
\( 1 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = 2\pi \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Le maximum est décalé vers la droite de 0,5 unité.
Déphasage = \( \dfrac{1}{2} \).
\( \dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -\dfrac{b}{2} \).
Substituez \( b \) : \( c = -\dfrac{2\pi}{2} = -\pi \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 3 \cos(2\pi x - \pi)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
La valeur y maximale est 40. \( |a| = 40 \). Soit \( a = 40 \).

2. Période (\(b\)) :
4 petites divisions correspondent à \( \dfrac{\pi}{2} \), donc 1 petite division = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Une période complète s'étend sur 8 divisions.
Période \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \).
\( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies \pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = 2} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Le maximum est décalé de 3 divisions vers la droite.
Déphasage = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Substituez \( b = 2 \) : \( c = -2\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{6\pi}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right)} \]

a) Trouver la période :
Pour une onde sinusoïdale standard, la distance horizontale entre une abscisse à l'origine (où elle traverse l'axe en montant) et le tout prochain maximum est exactement un quart d'une période complète.
Quart de période = \( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
Par conséquent, la période complète \( P = 4 \times \pi = \mathbf{4\pi} \).

b) Trouver \(b\), \(c\), et l'équation :
Utilisez la formule de la période pour trouver \(b\) :
\( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \implies 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{1}{2}} \).

Trouvez le déphasage \(c\) :
L'abscisse à l'origine en montée représente le "début" du cycle sinus. Cela se produit à \( x = \dfrac{6\pi}{5} \), ce qui est un décalage vers la droite.
Déphasage = \( \dfrac{6\pi}{5} \).
\( \dfrac{6\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) \).
Substituez \(b\) : \( c = -\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \mathbf{-\dfrac{3\pi}{5}} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)) :
L'amplitude est \( \dfrac{5 - (-5)}{2} = 5 \). Parce que le problème impose \( a < 0 \), nous devons utiliser une onde cosinus réfléchie. Par conséquent, \( a = -5 \).

2. Période (\(b\)) :
La distance horizontale entre un minimum et le maximum suivant est exactement une demi-période.
Demi-période = \( \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \).
Période complète \( P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \).
\( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \).

3. Déphasage (\(c\)) :
Une onde cosinus réfléchie \( (- \cos) \) commence naturellement à son minimum. Comme le minimum de notre graphique se produit en \( x = \dfrac{\pi}{6} \), le graphique est décalé vers la droite de \( \dfrac{\pi}{6} \).
Déphasage = \( \dfrac{\pi}{6} \).
\( \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Substituez \( b = \dfrac{3}{2} \) : \( c = -\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = -5\cos\left(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right)} \]

1. Comprendre l'identité de cofonction :
La fonction sinus est simplement la fonction cosinus décalée horizontalement. Nous connaissons l'identité :
\( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).

2. Substituer l'argument :
Traitez toute notre expression intérieure \( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) comme \( \theta \).
\( y = 3\cos\left( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) \).

3. Simplifier le déphasage :
Trouvez un dénominateur commun pour les constantes (qui est 6).
\( -\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6} \).

Conclusion :
La fonction cosinus équivalente est :
\[ \mathbf{y = 3\cos\left(2x - \dfrac{5\pi}{6}\right)} \]

1. Relier le maximum à la fonction cosinus :
La fonction \( y = 8\cos(\theta) \) atteint son maximum lorsque l'argument intérieur \( \theta \) est égal à \( 0, 2\pi, 4\pi, -2\pi \), etc.
Par conséquent, au point maximum, nous pouvons poser l'argument intérieur égal à \( 2k\pi \) :
\[ 4x + c = 2k\pi \]

2. Substituer la valeur x connue :
Nous savons qu'un maximum se produit en \( x = \dfrac{\pi}{12} \) :
\[ 4\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + c = 2k\pi \] \[ \dfrac{\pi}{3} + c = 2k\pi \] \[ c = 2k\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

3. Trouver les valeurs positives pour \( c \) :
Nous pouvons tester des valeurs entières pour \( k \) afin de trouver des résultats positifs pour \( c \).
Si \( k = 0 \) : \( c = - \dfrac{\pi}{3} \) (Négatif, à rejeter).
Si \( k = 1 \) : \( c = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} \).
Si \( k = 2 \) : \( c = 4\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{11\pi}{3}} \).

Conclusion :
Deux valeurs positives possibles pour \( c \) sont \( \dfrac{5\pi}{3} \) et \( \dfrac{11\pi}{3} \). Les deux créent une équation valide qui décrit exactement le même graphique.