Trouver les fonctions trigonométriques à partir de leurs graphiques (Décalage vertical)

a) Trouver le maximum et le minimum :
Nous savons que la plage standard de la fonction sinus de base se situe entre -1 et 1 :
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]

Multipliez toutes les parties par l'amplitude \( a \) (en supposant \( a > 0 \)) :
\[ -a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]

Ajoutez le décalage vertical \( d \) à toutes les parties :
\[ -a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]

Cela nous indique les points les plus hauts et les plus bas absolus de la fonction :
\[ \mathbf{\text{max} = d + a \quad \text{et} \quad \text{min} = d - a} \]

---

b) Résoudre pour \( a \) et \( d \) :
Traitez les équations de la partie (a) comme un système d'équations linéaires :
1) \( d + a = \text{max} \)
2) \( d - a = \text{min} \)

Pour trouver \( d \) : Additionnez les deux équations :
\( (d + a) + (d - a) = \text{max} + \text{min} \)
\( 2d = \text{max} + \text{min} \implies \mathbf{d = \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}} \)

Pour trouver \( a \) : Soustrayez l'équation 2 de l'équation 1 :
\( (d + a) - (d - a) = \text{max} - \text{min} \)
\( 2a = \text{max} - \text{min} \implies \mathbf{a = \dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}} \)

1. Trouver l'amplitude (\(a\)) et le décalage vertical (\(d\)) :
Lisez les valeurs extrêmes sur l'axe des y : \( \text{max} = 0 \) et \( \text{min} = -4 \).
\[ d = \dfrac{0 + (-4)}{2} = \mathbf{-2} \]
\[ a = \dfrac{0 - (-4)}{2} = \mathbf{2} \]

2. Trouver la période (\(b\)) :
En regardant le graphique, un cycle complet se termine exactement en \( x = \dfrac{4\pi}{3} \).
Période \( P = \dfrac{4\pi}{3} \).
En utilisant la formule : \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{3}{2}} \).

3. Trouver le déphasage (\(c\)) algébriquement :
Notre équation partielle est : \( y = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}x + c \right) - 2 \).
Nous avons besoin d'un point clair du graphique pour le substituer. À l'ordonnée à l'origine, le graphique touche le sommet : \( (0, 0) \).
Substituez \( x = 0 \) et \( y = 0 \) :
\[ 0 = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}(0) + c \right) - 2 \]
\[ 2 = 2 \sin(c) \implies \sin(c) = 1 \]

La fonction sinus est égale à 1 à \( \dfrac{\pi}{2} \) (plus tout multiple de \( 2\pi \)). Nous choisissons la valeur positive la plus simple : \( \mathbf{c = \dfrac{\pi}{2}} \).

Conclusion :
\[ \mathbf{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]

1. Trouver l'amplitude (\(a\)) et le décalage vertical (\(d\)) :
D'après le graphique, \( \text{max} = \dfrac{18}{5} \) et \( \text{min} = -\dfrac{6}{5} \).
\[ d = \dfrac{\dfrac{18}{5} + \left(-\dfrac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{12}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{6}{5}} \]
\[ a = \dfrac{\dfrac{18}{5} - \left(-\dfrac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{24}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{12}{5}} \]

2. Trouver la période (\(b\)) :
Les points donnés \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) (un maximum) et \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) (un minimum) représentent exactement la moitié d'un cycle d'onde.
Demi-période = \( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} \).
Période complète \( P = 2 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} \).
En utilisant la formule : \( \dfrac{8}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8b = 10\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{5\pi}{4}} \).

3. Trouver le déphasage (\(c\)) algébriquement :
Notre équation partielle est : \( y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}x + c \right) + \dfrac{6}{5} \).
Substituez le point maximum \( x = \dfrac{3}{5}, y = \dfrac{18}{5} \) :
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}\left(\dfrac{3}{5}\right) + c \right) + \dfrac{6}{5} \]
Soustrayez \( \dfrac{6}{5} \) des deux côtés :
\[ \dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]
Divisez par \( \dfrac{12}{5} \) :
\[ 1 = \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]

Le sinus est égal à 1 à \( \dfrac{\pi}{2} \). Par conséquent :
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} \implies c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \mathbf{-\dfrac{\pi}{4}} \]

Conclusion :
\[ \mathbf{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]

a) Trouver la période :
Le paramètre \( b \) à l'intérieur du cosinus est \( \dfrac{\pi}{12} \).
Période \( P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 2\pi \times \dfrac{12}{\pi} = \mathbf{24 \text{ heures}} \).
(Cela est logiquement cohérent pour un cycle de température quotidien.)

b) Trouver la température maximale :
La fonction est au format \( a\cos(bt) + d \). Nous savons que \( \text{max} = d + |a| \).
Décalage vertical \( d = 30 \) et amplitude \( |a| = |-8| = 8 \).
\( \text{max} = 30 + 8 = \mathbf{38^\circ C} \).

c) Évaluer à des heures spécifiques :
• Minuit (\(t = 0\)) :
\( T(0) = -8\cos(0) + 30 = -8(1) + 30 = \mathbf{22^\circ C} \)
• 06h00 (\(t = 6\)) :
\( T(6) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)
• 12h00 (\(t = 12\)) :
\( T(12) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos(\pi) + 30 = -8(-1) + 30 = 8 + 30 = \mathbf{38^\circ C} \)
• 18h00 (\(t = 18\)) :
\( T(18) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

1. Trouver l'amplitude (\(a\)) et le décalage vertical (\(d\)) :
Max = 120, Min = 40.
\( d = \dfrac{120 + 40}{2} = 80 \)
\( a = \dfrac{120 - 40}{2} = 40 \)

2. Trouver la période (\(b\)) :
Si elle effectue 5 rebonds par seconde, sa fréquence est de 5 Hz. La période est le temps nécessaire pour un rebond.
Période \( P = \dfrac{1}{5} = 0,2 \) seconde.
\( 0,2 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{2\pi}{0,2} = 10\pi \).

3. Déterminer la fonction et le déphasage :
Parce qu'elle commence à sa hauteur maximale à \( t = 0 \), elle se comporte parfaitement comme une onde cosinus positive. Aucun déphasage n'est nécessaire (\( c = 0 \)).

Conclusion :
\[ \mathbf{h(t) = 40\cos(10\pi t) + 80} \]

1. Utiliser le point d'origine :
La fonction passe par \( (0,0) \).
\( f(0) = A \sin(B \cdot 0) + D \)
\( 0 = A(0) + D \implies \mathbf{D = 0} \).
Parce que \( D = 0 \), le graphique n'est pas décalé verticalement. La ligne centrale est l'axe des x.

2. Utiliser le point maximum :
La valeur maximale est 6. Comme la ligne centrale est 0, l'amplitude est exactement la distance du centre au sommet.
Par conséquent, \( \mathbf{A = 6} \).

3. Trouver la période :
Pour une onde sinusoïdale non décalée (\( D=0 \), pas de déphasage), le premier maximum se produit exactement à un quart de sa période.
Le pic se produit à \( x = \dfrac{\pi}{4} \).
Par conséquent, \( \dfrac{1}{4} \times P = \dfrac{\pi}{4} \implies P = \pi \).
En utilisant la formule de la période : \( \pi = \dfrac{2\pi}{B} \implies \mathbf{B = 2} \).

Conclusion :
\( A = 6, \quad B = 2, \quad D = 0 \)
L'équation est \( \mathbf{f(x) = 6\sin(2x)} \).

1. Identifier les paramètres constants :
Le décalage vertical \( D \) et le multiplicateur de fréquence \( B \) ne changent pas entre les formes sinus et cosinus équivalentes.
\( D = 5 \)
\( B = 4 \)

2. Gérer le signe de l'amplitude :
La fonction originale a une amplitude négative (\( -3 \)). Nous avons besoin de \( A > 0 \), donc \( A = 3 \).
Pour absorber le signe négatif, nous pouvons utiliser la propriété \( -\sin(\theta) = \sin(\theta \pm \pi) \).
Ajoutons \( \pi \) à l'intérieur :
\( y = 3 \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{2} + \pi\right) + 5 \)
\( y = 3 \sin\left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 5 \)

3. Convertir du sinus au cosinus :
Utilisez l'identité de cofonction : \( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).
Substituez toute notre expression interne \( \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) \) comme \( \theta \) :
\( y = 3 \cos\left( \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) + 5 \)
Le \( \dfrac{\pi}{2} \) et le \( -\dfrac{\pi}{2} \) s'annulent parfaitement.

Conclusion :
La fonction cosinus équivalente simplifiée est : \[ \mathbf{y = 3 \cos(4x) + 5} \]