Test pratique de mathématiques de 12e année : 17 problèmes avec solutions

1. Déplacez tous les termes d'un côté :

\[ \dfrac{x+1}{x+2} - 1 - \dfrac{1}{x-1} \geq 0 \]

2. Trouvez un dénominateur commun, qui est $(x+2)(x-1)$ :

\[ \dfrac{(x+1)(x-1) - (x+2)(x-1) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{(x^2-1) - (x^2+x-2) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - x - 2}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{-2x - 1}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \]

3. Identifiez les points critiques : $x = -0,5$ (numérateur nul), $x = -2$ et $x = 1$ (dénominateur indéfini).

4. Testez les intervalles :

• $(-\infty, -2)$ : Test $x = -3 \implies \dfrac{5}{(-1)(-4)} > 0$ (Vrai)
• $(-2, -0,5]$ : Test $x = -1 \implies \dfrac{1}{(1)(-2)} < 0$ (Faux)
• $[-0,5, 1)$ : Test $x = 0 \implies \dfrac{-1}{(2)(-1)} > 0$ (Vrai)
• $(1, \infty)$ : Test $x = 2 \implies \dfrac{-5}{(4)(1)} < 0$ (Faux)

Ensemble solution :

Inégalité : $x < -2$ ou $-0,5 \leq x < 1$

Intervalle : $(-\infty, -2) \cup [-0,5, 1)$

1. Réécrivez $1/\sec x$ sous la forme $\cos x$ :

\[ \cos(2x) - 2\cos x = 2 \]

2. Utilisez l'identité d'angle double $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ :

\[ 2\cos^2 x - 1 - 2\cos x = 2 \] \[ 2\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0 \]

3. Appliquez la formule quadratique pour $\cos x$ :

\[ \cos x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

4. Évaluez les valeurs :

• $\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1,82$ (Impossible, car $|\cos x| \leq 1$)
• $\dfrac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0,823$ (Valide)

5. Trouvez $x$ : $x = \arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$. Cela se produit dans les Quadrants II et III.

$x \approx 2,54 \text{ rad}$ et $x \approx 3,74 \text{ rad}$.

1. Combinez les logarithmes en utilisant la règle du quotient :

\[ \ln\left(\dfrac{x^2 + 2}{x - 1}\right) = 2 \]

2. Convertissez en forme exponentielle :

\[ \dfrac{x^2 + 2}{x - 1} = e^2 \]

3. Réorganisez en une équation quadratique :

\[ x^2 + 2 = e^2(x - 1) \implies x^2 - e^2x + (e^2 + 2) = 0 \]

4. Résolvez en utilisant la formule quadratique :

\[ x = \dfrac{e^2 \pm \sqrt{(-e^2)^2 - 4(1)(e^2 + 2)}}{2} \]

Note : $x$ doit être supérieur à 1 pour que le $\ln(x-1)$ original soit défini. Utilisez une calculatrice pour trouver les valeurs décimales et vérifier le domaine.

1. Soit $u = 2^x$. Alors $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2$.

2. Substituez dans l'équation :

\[ 3u^2 + u - 30 = 0 \]

3. Factorisez l'équation quadratique :

\[ (3u + 10)(u - 3) = 0 \]

4. Résolvez pour $u$ :

• $u = -10/3$ (Rejeté, car $2^x$ doit être positif)
• $u = 3$ (Valide)

5. Résolvez pour $x$ :

\[ 2^x = 3 \implies x = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1,58 \]

1. Travaillez avec le côté gauche (LHS). Utilisez $\tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$ :

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \]

2. Utilisez l'identité d'angle double $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ :

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{2 \sin x \cos x}{\cos(2x)} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

3. Travaillez avec le côté droit (RHS). Rappelez l'identité d'angle double $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$ :

\[ \text{RHS} = \dfrac{\cos x}{1 - 2 \sin^2 x} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

4. Conclusion : LHS = RHS. L'identité est vérifiée.

1. Simplifiez l'angle : $\dfrac{13\pi}{12} = \pi + \dfrac{\pi}{12}$. Puisque $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$ :

\[ \tan\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

2. Utilisez l'identité de différence $\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ avec $A = \dfrac{\pi}{4}$ et $B = \dfrac{\pi}{6}$ :

\[ \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + (1)(1/\sqrt{3})} \]

3. Rationalisez et simplifiez :

\[ = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

1. D'après le théorème des facteurs, comme $x - 1$ est un facteur, $P(1) = 0$.

2. D'après le théorème du reste, $P(-1) = 4$ et $P(2) = 4$.

3. Soit $P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)$ puisque le degré est 3 et le coefficient dominant est 1.

4. Utilisez $P(-1) = 4$ :

\[ (-1 - 1)((-1)^2 - b + c) = 4 \implies -2(1 - b + c) = 4 \implies 1 - b + c = -2 \implies c - b = -3 \]

5. Utilisez $P(2) = 4$ :

\[ (2 - 1)((2)^2 + 2b + c) = 4 \implies 1(4 + 2b + c) = 4 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b \]

6. Résolvez pour $b, c$ : Substituez $c = -2b$ dans $c - b = -3$ :

\[ -2b - b = -3 \implies -3b = -3 \implies b = 1, \quad c = -2 \]

7. Polynôme final : $P(x) = (x-1)(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x - x^2 - x + 2 = x^3 - 3x + 2$.

1. Factorisez $-x$ : $f(x) = -x(x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$.

2. Testez les racines du terme cubique. $P(1) = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. Donc $(x - 1)$ est un facteur.

3. Utilisez la division pour trouver le facteur quadratique : $x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)$.

4. Factorisez le quadratique : $(x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2$.

Forme factorisée complète : $f(x) = -x(x - 1)(x + 3)^2$.

5. Zéros : $x = 0$ (mult 1), $x = 1$ (mult 1), $x = -3$ (mult 2).

1. Identifiez les zéros et les multiplicités à partir du graphique :

• En $x = -2$ : Le graphique traverse (multiplicité 1).
• En $x = -1$ : Le graphique touche (multiplicité 2).
• En $x = 2$ : Le graphique traverse (multiplicité 1).

2. Écrivez la forme générale : $g(x) = a(x + 2)(x + 1)^2(x - 2)$.

3. Utilisez l'ordonnée à l'origine $(0, 2)$ pour résoudre $a$ :

\[ 2 = a(0 + 2)(0 + 1)^2(0 - 2) \] \[ 2 = a(2)(1)(-2) \] \[ 2 = -4a \implies a = -0,5 \]

Équation finale :

\[ g(x) = -0,5(x + 2)(x + 1)^2(x - 2) \]

1. Identifiez les paramètres clés :

• Amplitude : 0,5 (Réfléchie par rapport à la ligne médiane)
• Période : $2\pi/4 = \pi/2$
• Déphasage : $-\pi/16$ (gauche)
• Décalage vertical (ligne médiane) : $y = 2,5$

2. Points clés (commencez au déphasage, incrémentez par Période/4 = $\pi/8$) :

• $x = -\pi/16 \implies y = 2,5$
• $x = \pi/16 \implies y = 2,0$ (min à cause du sinus négatif)
• $x = 3\pi/16 \implies y = 2,5$
• $x = 5\pi/16 \implies y = 3,0$ (max)
• $x = 7\pi/16 \implies y = 2,5$

3. Graphique de $y = - 0,5 \sin \left( 4(x+\dfrac{\pi}{16}) \right) + 2,5$ :

1. Trouvez l'amplitude ($A$) : Max = 1, Min = 0.

\[ A = \dfrac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \dfrac{1 - 0}{2} = 0,5 \]

2. Trouvez le décalage vertical ($d$) :

\[ d = \dfrac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = \dfrac{1 + 0}{2} = 0,5 \]

3. Trouvez la période ($P$) : Donnée comme 3 secondes.

4. Calculez $b$ :

\[ b = \dfrac{2\pi}{P} = \dfrac{2\pi}{3} \]

5. Trouvez le déphasage ($c$) : Pour une fonction cosinus, le décalage correspond à la position horizontale du maximum. Le problème indique que le maximum est à $t = 2,25$.

\[ c = 2,25 \]

Équation finale :

\[ V(t) = 0,5 \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(t - 2,25)\right) + 0,5 \]

a) Domaine : Tous les nombres réels sauf là où le dénominateur est nul. $x \neq -2$.

b) Intercepts :

• x-intercept (posez $y=0$) : $2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
• y-intercept (posez $x=0$) : $y = -4/2 = -2$.

c) Asymptotes :

• Verticale : $x = -2$.
• Horizontale (limite quand $x \to \infty$) : $y = 2/1 = 2$.

Graphique de $y = \dfrac{2 x - 4}{x+2}$ :

a) Domaine : $x \in \mathbb{R}, x \neq -2$.

b) Intercepts : x-int à $x = \pm 3$ ; y-int à $y = -4,5$.

c) Asymptotes :

• Verticale : $x = -2$.
• Horizontale : Aucune (degré du numérateur > dénominateur).
• Oblique : Utilisez la division euclidienne. $(x^2-9) \div (x+2) = (x-2)$ avec un reste de $-5$. L'asymptote est $y = x - 2$.

Tableau de signes \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline (x+3) & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-3) & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x+2) & - & - & - & \text{ind} & + & + & + \\ \hline y = \dfrac{(x+3)(x-3)}{x+2} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} & \text{ind} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} \\ \hline \text{Position} & \text{Sous} & x\text{-int} & \text{Au-dessus} & \text{AV} & \text{Sous} & x\text{-int} & \text{Au-dessus} \\ \hline \end{array} \]

1. Identifiez le trou : Le trou est à $x = 2$. Cela signifie que $(x - 2)$ doit être un facteur à la fois au numérateur et au dénominateur.

2. Identifiez l'asymptote verticale : AV à $x = 1$. Cela signifie que $(x - 1)$ est un facteur au dénominateur.

3. Identifiez l'asymptote horizontale (AH) : L'AH est à $y = 0$. Cela confirme que le degré du dénominateur (degré 2) est supérieur au degré du numérateur (qui doit être de degré 1).

4. Construisez la fonction :

\[ h(x) = a \cdot \dfrac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} = a \cdot \dfrac{1}{(x - 1)} \]

5. Déterminez la constante \( a \) en utilisant le trou en $(2, 2)$ :

\[ 2 = a \cdot \dfrac{1}{(2 - 1)} \implies a = 2 \]

6. Équation finale :

\[ h(x) = \dfrac{2(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \]

Note : La forme simplifiée pour esquisser (excluant le trou) est \( y = \dfrac{2}{x - 1} \).

a) Domaine : L'argument doit être positif. $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1$ ou $x < -1$.

b) Intercepts : Pas d'ordonnée à l'origine (0 n'est pas dans le domaine). Pour l'abscisse à l'origine, posez $y=0$ :

\[ -0,5 \log_2(x^2 - 1) = 1 \implies \log_2(x^2 - 1) = -2 \implies x^2 - 1 = 2^{-2} = 0,25 \] \[ x^2 = 1,25 \implies x \approx \pm 1,12 \]

c) Asymptotes : Asymptotes verticales là où l'argument approche zéro : $x = 1$ et $x = -1$.

d) Notez que $f(-x) = f(x)$ et donc le graphique est symétrique par rapport à l'axe des y.

Graphique de $ y = -0,5 \log_2(x^2 - 1)-1 $ :

a) Domaine : Tous les nombres réels $(-\infty, \infty)$.

b) Intercepts : Ordonnée à l'origine à $x = 0 \implies y = 2 + e^{-2} \approx 2,135$. Aucune abscisse à l'origine car $e^{(x-2)} + 2$ est toujours supérieur à 2.

c) Asymptotes : Asymptote horizontale quand $x \to -\infty$ est $y = 2$.

Graphique de $ y = 2 + e^{(x-2)} $ :

a) Domaine : $2x - 1 > 0 \implies x > 0,5$. Image : Tous les nombres réels.

b) Trouver la fonction réciproque :

\[ x = \ln(2y - 1) + 2 \] \[ x - 2 = \ln(2y - 1) \] \[ e^{x-2} = 2y - 1 \] \[ y = \dfrac{e^{x-2} + 1}{2} \]

Fonction réciproque : $h^{-1}(x) = 0,5(e^{x-2} + 1)$.

Domaine de la réciproque : Tous les nombres réels. Image de la réciproque : $y > 0,5$.