Trouver les zéros des polynômes

Puisque $p(x)$ a un zéro en $x = 2$, cela signifie que $(x - 2)$ est un facteur de $p(x)$. Nous divisons $p(x)$ par $(x - 2)$ en utilisant la division longue de polynômes ou la division synthétique :

$$ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2} = x^2 + 7x + 12 $$

En utilisant le résultat de la division, $p(x)$ peut maintenant être écrit sous une forme partiellement factorisée :

$$ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7x + 12) $$

Ensuite, factorisez l'expression quadratique $x^2 + 7x + 12$. Nous avons besoin de deux nombres dont le produit est 12 et la somme est 7. Ces nombres sont 3 et 4 :

$$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $$

Substituez cela de nouveau dans $p(x)$ pour obtenir la forme complètement factorisée :

$$ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) $$

Les zéros sont trouvés en égalant l'équation à zéro : $p(x) = 0$. Cela signifie :

$$ x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 $$

Zéros finaux :
$$ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 $$

Les zéros en $x = \pm \sqrt{5}$ correspondent aux facteurs linéaires :

$$ (x - \sqrt{5}) \quad \text{et} \quad (x + \sqrt{5}) $$

Multipliez ces facteurs ensemble pour créer un diviseur quadratique. Remarquez qu'il s'agit d'une différence de carrés :

$$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - 5 $$

Par conséquent, le polynôme $p(x)$ peut être écrit comme :

$$ p(x) = (x^2 - 5)Q(x) $$

Trouvez $Q(x)$ en utilisant la division longue de polynômes :

$$ Q(x) = \dfrac{3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 25x + 10}{x^2 - 5} = 3x^2 + 5x - 2 $$

Maintenant, factorisez le quadratique $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$ :

$$ 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2) $$

Nous pouvons maintenant écrire $p(x)$ complètement factorisé :

$$ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) $$

Zéros finaux : Égalez chaque facteur à zéro :
$$ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -2 $$

a) Prouver la multiplicité 2 :
Si $x = 1$ est un zéro de multiplicité 2, alors $(x - 1)^2$ doit être un facteur de $p(x)$. En développant $(x-1)^2$, on obtient $x^2 - 2x + 1$. Une division longue de $p(x)$ par $x^2 - 2x + 1$ doit donner un reste de 0 :

$$ \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{x^2 - 2x + 1} = x^2 - 3 $$

Puisque le reste est $0$, $x = 1$ est bel et bien un zéro de multiplicité $2$.

b) Trouver tous les zéros :
En utilisant la division ci-dessus, $p(x)$ peut maintenant être écrit sous forme factorisée :

$$ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) $$

Factorisez l'expression quadratique $x^2 - 3$ comme une différence de carrés :

$$ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

Zéros finaux :
$$ x = 1 \text{ (multiplicité 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$

c) Esquisse du graphique :
Avec la forme factorisée et les zéros, nous créons un tableau de signes. Notez qu'en $x=1$ (multiplicité paire), le graphique touchera l'axe et fera demi-tour, tandis qu'en $x=\pm\sqrt{3}$ (multiplicité impaire), il traversera l'axe.

Nous utilisons les abscisses à l'origine, le tableau de signes, l'ordonnée à l'origine $(0 , -3)$, et le comportement asymptotique (les deux extrémités montent puisqu'il s'agit d'un degré pair avec un coefficient dominant positif) pour compléter le graphique :

Théorème des zéros rationnels : Si $p(x)$ est un polynôme à coefficients entiers, tout zéro rationnel de la forme $\dfrac{m}{n}$ (sous forme irréductible) doit avoir $m$ comme facteur du terme constant et $n$ comme facteur du coefficient dominant.

Terme constant = $2$. Les facteurs de 2 sont : $\pm 1, \pm 2$.
Coefficient dominant = $6$. Les facteurs de 6 sont : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Zéros rationnels possibles ($\dfrac{\text{facteurs de } 2}{\text{facteurs de } 6}$) :

$$ \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} $$

En raison de la longue liste de zéros possibles, nous traçons le polynôme et devinons les zéros à partir de l'emplacement des abscisses à l'origine. D'après le graphique ci-dessus, les zéros semblent être proches de $-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2}$ et $2$.

Nous calculons $p\left(-\dfrac{1}{3}\right)$, $p\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $p(2)$ pour vérifier :

$$ p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 6\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 - 13\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 2 = 0 $$ $$ p\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 13\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 0 $$ $$ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 $$

Zéros finaux : Les trois suppositions sont vérifiées. Les zéros sont exactement :
$$ x = -\dfrac{1}{3}, \quad x = \dfrac{1}{2}, \quad x = 2 $$

1. Substituer pour simplifier :
Remarquez qu'il s'agit d'un polynôme de "forme quadratique". Soit $u = x^2$. L'équation devient :

$$ u^2 - 5u - 36 = 0 $$

2. Factoriser la quadratique :
Nous avons besoin de deux nombres dont le produit est $-36$ et la somme est $-5$. Ce sont $-9$ et $4$.

$$ (u - 9)(u + 4) = 0 $$

3. Substituer de nouveau par $x$ :
Remplacez $u$ par $x^2$ pour trouver les racines de $x$ :

$$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ $$ x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i $$

Zéros finaux :
Le polynôme a deux zéros réels et deux zéros complexes : $\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$.

1. Théorème des racines conjuguées :
Puisque le polynôme a des coefficients réels, les racines complexes doivent se présenter par paires conjuguées. Par conséquent, si $x = 1 - i$ est un zéro, $x = 1 + i$ doit également être un zéro.

2. Construire la forme factorisée :
Les trois zéros sont $2, 1-i, 1+i$. Les facteurs sont $(x - 2)$, $(x - (1-i))$ et $(x - (1+i))$. L'équation générale est :

$$ P(x) = a(x - 2)(x - (1-i))(x - (1+i)) $$

3. Développer les facteurs complexes :
Regroupez les parties complexes pour utiliser la différence de carrés :

$$ ((x - 1) + i)((x - 1) - i) = (x - 1)^2 - i^2 $$ $$ = (x^2 - 2x + 1) - (-1) = x^2 - 2x + 2 $$

Donc le polynôme est $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$.

4. Résoudre 'a' en utilisant l'ordonnée à l'origine :
On nous donne $P(0) = -4$. Remplacez par $x=0$ :

$$ -4 = a(0 - 2)(0^2 - 2(0) + 2) $$ $$ -4 = a(-2)(2) \implies -4 = -4a \implies a = 1 $$

5. Développer sous la forme standard :
$$ P(x) = 1(x - 2)(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x(x^2 - 2x + 2) - 2(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ \mathbf{P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4} $$

1. Identifier les racines rationnelles possibles :
Facteurs de la constante (6) : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Facteurs du coefficient dominant (2) : $\pm 1, \pm 2$.
Racines possibles : $\pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{3}{2}, \pm 6$.

2. Tester les racines en utilisant le théorème des facteurs :
Soit $p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. Testez $x=1$ :

$$ p(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 - 1 - 7 + 6 = 0 $$

Puisque $p(1) = 0$, $x = 1$ est une racine, et $(x - 1)$ est un facteur.

3. Utiliser la division synthétique pour diviser par $(x - 1)$ :

  1 |   2   -1   -7    6
    |        2    1   -6
    ---------------------
        2    1   -6    0
                        

Le quotient est la quadratique $2x^2 + x - 6$.

4. Factoriser la quadratique restante :
Nous devons factoriser $2x^2 + x - 6 = 0$. Nous cherchons deux nombres dont le produit est $(2)(-6) = -12$ et la somme est $1$. Ces nombres sont $4$ et $-3$.

$$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$

Cela donne les racines $x = \dfrac{3}{2}$ et $x = -2$.

Zéros finaux :
$$ \mathbf{x = 1, \quad x = \dfrac{3}{2}, \quad x = -2} $$