Trouvez les zéros de $ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) $.

Les zéros sont $ x = 1 $ (avec une multiplicité de 2), $ x = \sqrt{3} $ et $ x = -\sqrt{3} $.

Un polynôme $ f(x) $ de degré 6 a un coefficient dominant négatif $ k $. Il a un zéro de multiplicité 1 en $ x = -1 $, de multiplicité 3 en $ x = 1 $ et de multiplicité 2 en $ x = 3 $. Quelle est la forme factorisée de $ f(x) $ ?

La forme factorisée est $ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 $, où $ k < 0 $.

Trouvez les intervalles où $ h(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12 $ est strictement positif.

La factorisation par regroupement donne $ h(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3) $. Le test des intervalles montre qu'il est strictement positif sur $ (-2, 2) \cup (3, \infty) $.

Qu'est-ce qu'un tableau de signes en mathématiques ?

Un tableau de signes (ou charte de signes) est un outil visuel utilisé pour déterminer les intervalles où un polynôme ou une fonction rationnelle est positif ou négatif en testant des valeurs entre ses racines ou ses zéros.

Comment la multiplicité affecte-t-elle le tableau de signes d'un polynôme ?

Si une racine a une multiplicité impaire (par exemple 1, 3), le polynôme traverse l'axe des x, ce qui signifie que le signe change dans le tableau de signes. Si elle a une multiplicité paire (par exemple 2, 4), le polynôme touche l'axe des x et rebondit, ce qui signifie que le signe reste le même des deux côtés de la racine.

Comment créer un tableau de signes pour les polynômes

Q: Qu'est-ce qu'un tableau de signes en mathématiques ?

Un tableau de signes (ou charte de signes) est un outil visuel utilisé pour déterminer les intervalles où un polynôme ou une fonction rationnelle est positif ou négatif en testant des valeurs entre ses racines ou ses zéros.

Q: Comment la multiplicité affecte-t-elle le tableau de signes d'un polynôme ?

Si une racine a une multiplicité impaire (par exemple 1, 3), le polynôme traverse l'axe des x, ce qui signifie que le signe change dans le tableau de signes. Si elle a une multiplicité paire (par exemple 2, 4), le polynôme touche l'axe des x et rebondit, ce qui signifie que le signe reste le même des deux côtés de la racine.

Questions avec solutions

Maîtrisez les mathématiques de 12e année avec ce guide étape par étape sur la création de tableaux de signes pour les fonctions polynomiales. Cette ressource comprend des questions pratiques stimulantes, des solutions détaillées et des interprétations graphiques claires pour vous aider à bien comprendre le comportement des polynômes.

Problèmes d'entraînement de base

Question 1 - Créer un tableau de signes à partir de la forme factorisée

Le polynôme $p$ est donné par :

$$ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

Faites un tableau de signes de $p$ et esquissez un graphique possible pour $p(x)$.

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Solution étape par étape :

1. Trouvez les zéros :
Nous trouvons d'abord les zéros de la fonction polynomiale $p(x)$ en l'égalant à zéro :

$$ (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 $$

Pour que $p(x) = 0$, nous devons avoir :

$$ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{ou} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{ou} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 $$

Résolvez chaque équation pour obtenir les zéros de $p(x)$ :

$$ x = 1 \text{ (avec une multiplicité de 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{et} \quad x = -\sqrt{3} $$

2. Analysez les facteurs :
À l'aide de la forme factorisée et de ses zéros, nous étudions le signe de chaque facteur :

$(x - 1)^2$ est toujours positif pour tout $x$ sauf en $x = 1$.
$x - \sqrt{3} > 0$ pour $x > \sqrt{3}$.
$x + \sqrt{3} > 0$ pour $x > -\sqrt{3}$.

3. Construisez le tableau de signes :
Nous plaçons chaque facteur dans le tableau et utilisons les règles de multiplication des signes pour compléter le signe de $p(x)$.

Tableau de signes montrant les intervalles de positivité et de négativité pour la Question 1

4. Esquissez le graphique :
Nous utilisons les zéros de $p(x)$ (qui agissent comme des abscisses à l'origine), le tableau de signes et l'ordonnée à l'origine $(0, -3)$ pour compléter le graphique.

Graphique du polynôme touchant x=1 et traversant aux racines

Question 2 - Construire un polynôme et un tableau de signes à partir de propriétés

$f(x)$ est un polynôme de degré six avec un coefficient dominant négatif $k$. $f$ a un zéro de multiplicité 1 en $x = -1$, un zéro de multiplicité 3 en $x = 1$ et un zéro de multiplicité 2 en $x = 3$. Faites un tableau de signes pour le polynôme $f(x)$.

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Solution étape par étape :

1. Écrivez les facteurs :
Nous écrivons d'abord les facteurs du polynôme $f$ ainsi que leurs multiplicités respectives :

Zéro de multiplicité 1 en $x = -1 \implies \text{facteur : } (x + 1)$
Zéro de multiplicité 3 en $x = 1 \implies \text{facteur : } (x - 1)^3$
Zéro de multiplicité 2 en $x = 3 \implies \text{facteur : } (x - 3)^2$

2. Formulez l'équation :
Soit $k$ (négatif) le coefficient dominant de $f$. En utilisant tous les facteurs ci-dessus, nous écrivons $f(x)$ comme :

$$ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 $$

3. Étudiez les signes des facteurs :

$x + 1 > 0$ pour $x > -1$
$(x - 1)^3 > 0$ pour $x > 1$
$(x - 3)^2 > 0$ pour tout $x$ sauf $x = 3$
$k < 0$ signifie qu'il inversera les signes finaux du produit.

4. Construisez le tableau de signes :
Voici ci-dessous le tableau de signes pour chaque facteur et le polynôme final $f(x)$ dans la dernière ligne.

Tableau de signes pour f(x) intégrant le coefficient dominant négatif

Problèmes de défi

Poussez votre compréhension des tableaux de signes avec ces scénarios avancés. Nous utilisons des tableaux de type KaTeX pour mapper les changements de signe.

Défi 1 - Factoriser avant de créer un tableau de signes

Trouvez les intervalles où le polynôme $g(x) = -2x^5 + 8x^3$ est positif en construisant un tableau de signes.

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Solution étape par étape :

1. Factorisez le polynôme :
D'abord, factorisez le plus grand facteur commun, qui est $-2x^3$ :

$$ g(x) = -2x^3(x^2 - 4) $$

Maintenant, factorisez la différence de carrés :

$$ g(x) = -2x^3(x - 2)(x + 2) $$

2. Trouvez les zéros :
En égalant $g(x) = 0$, on obtient des zéros en $x = 0$ (multiplicité 3), $x = 2$ (multiplicité 1) et $x = -2$ (multiplicité 1). Ceux-ci divisent la droite numérique en quatre intervalles : $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ et $(2, \infty)$.

3. Construisez le tableau de signes :
Utilisez un tableau LaTeX pour déterminer le signe du polynôme global à travers les intervalles critiques.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, \infty) \\ \hline -2x^3 & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline g(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} $$

Conclusion :
En observant la dernière ligne du tableau de signes, le polynôme $g(x)$ est positif sur les intervalles $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (0, 2)}$.

Défi 2 - Factorisation par regroupement

Soit $h(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$. Déterminez les intervalles où $h(x) < 0$.

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Solution étape par étape :

1. Factorisez par regroupement :
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes ensemble :

$$ h(x) = x^2(x - 3) - 4(x - 3) $$

Factorisez le binôme commun $(x - 3)$ :

$$ h(x) = (x^2 - 4)(x - 3) $$

Factorisez la différence de carrés :

$$ h(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3) $$

2. Trouvez les zéros et les intervalles :
Les racines sont $x = -2, 2 \text{ et } 3$. Comme elles ont toutes une multiplicité impaire de 1, le signe alternera à chaque racine.

3. Construisez le tableau de signes :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline h(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$

Conclusion :
D'après le tableau, $h(x) < 0$ sur les intervalles $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (2, 3)}$.

Défi 3 - Quadratiques irréductibles et puissances paires

Déterminez le signe du polynôme $P(x) = x^4(x^2 + 1)(x - 5)^3$ sur tous les nombres réels en utilisant un tableau de signes.

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Solution étape par étape :

1. Analysez chaque facteur :

$x^2 + 1$ : Il s'agit d'une quadratique irréductible. Elle est strictement positive ($>0$) pour tous les nombres réels $x$.
$x^4$ : C'est une puissance paire. Elle est positive pour tout $x$, sauf en $x = 0$ où elle est égale à 0.
$(x - 5)^3$ : C'est une puissance impaire. Elle est négative quand $x < 5$, nulle en $x = 5$ et positive quand $x > 5$.

2. Construisez le tableau de signes :
Nous plaçons les points critiques $x=0$ et $x=5$ dans nos intervalles.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 5) & 5 & (5, \infty) \\ \hline x^4 & + & 0 & + & + & + \\ \hline x^2+1 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-5)^3 & - & - & - & 0 & + \\ \hline P(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$

Conclusion :

$P(x) < 0$ pour $\mathbf{x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)}$
$P(x) = 0$ en $\mathbf{x = 0}$ et $\mathbf{x = 5}$
$P(x) > 0$ pour $\mathbf{x \in (5, \infty)}$

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