Questions sur les fonctions inverses avec solutions

Ci-dessous est présenté le graphique de $f(x) = 2 x^3 - 1$.
1) Esquissez le graphique de l'inverse de $f$ dans le même système d'axes.
2) Trouvez l'inverse de $f$ et vérifiez votre réponse à l'aide de quelques points.

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1) Solution graphique : Repérez les points dont les coordonnées $(a , b)$ peuvent être facilement déterminées à partir du graphique de $f$ :
$$ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) $$

Sur le graphique de la fonction inverse, ces points auront leurs coordonnées inversées $(b , a)$ :
$$ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) $$

Placez ces points et esquissez le graphique de l'inverse de $f$ de sorte que les deux graphiques soient des réflexions par rapport à $y = x$.

2) Solution analytique : Écrivez la fonction sous forme d'équation à deux variables :
$$ y = 2x^3 - 1 $$

Résolvez pour $x$ :
$$ 2x^3 = y + 1 $$
$$ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} $$
$$ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$

Échangez $x$ et $y$ pour écrire la fonction inverse :
$$ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} $$

Vérification : Vérifiez que les points $(-1, 0)$ et $(-3, -1)$ sont sur $f^{-1}$ :
$$ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 $$
$$ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 $$
Les deux points fonctionnent parfaitement.

Étape 1 : Déterminer la correspondance entre le domaine et l'image.
On nous donne une fonction quadratique avec un domaine restreint : $x \leq 2$. Écrivons la fonction sous la forme canonique en complétant le carré :
$$ f(x) = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 $$

Le sommet est $(2, 1)$ et la parabole s'ouvre vers le haut. Puisque le domaine nous restreint à la moitié gauche ($x \leq 2$), l'image de $f$ est $y \geq 1$.
Par conséquent, pour $f^{-1}$ :
Domaine de définition de $f^{-1}$ : $[1, \infty)$
Image de $f^{-1}$ : $(-\infty, 2]$

Étape 2 : Écrire sous forme d'équation et résoudre pour $x$.
$$ y = (x - 2)^2 + 1 $$
$$ (x - 2)^2 = y - 1 $$

Prendre la racine carrée donne deux solutions :
$$ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} $$
$$ x = 2 + \sqrt{y - 1} \quad \text{ou} \quad x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

Étape 3 : Sélectionner la bonne branche en utilisant la contrainte de l'image.
Puisque l'image de l'inverse doit être $x \leq 2$ (d'après le domaine d'origine), nous devons sélectionner la branche de la racine carrée négative :
$$ x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

Étape 4 : Échanger $x$ et $y$.
$$ f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1} $$
Réponse finale : $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$ avec pour Domaine $[1, \infty)$ et Image $(-\infty, 2]$.

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1) Solution graphique : Repérez quelques points sur le graphique de $f(x)$. Une liste possible de coordonnées $(a, b)$ est :
$$ (1,5, 0), \quad (2, 1), \quad (6, 3) $$

Inversez les coordonnées en $(b, a)$ pour le graphique de l'inverse :
$$ (0, 1,5), \quad (1, 2), \quad (3, 6) $$

Placez ces points pour esquisser $f^{-1}$ par réflexion par rapport à $y = x$.

2) Solution analytique :
Définition du Domaine/Image : À partir du graphique (ou algébriquement $2x-3 \geq 0$), le domaine de définition de $f$ est $x \geq 1,5$ et l'image est $y \geq 0$. Par conséquent, le domaine de $f^{-1}$ sera $x \geq 0$.

Écrire sous forme d'équation :
$$ y = \sqrt{2x - 3} $$

Élever les deux côtés au carré et résoudre pour $x$ :
$$ y^2 = 2x - 3 $$
$$ 2x = y^2 + 3 $$
$$ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} $$

Échanger $x$ et $y$ et appliquer la contrainte du domaine :
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 $$

Esquissez le graphique de $f^{-1}$ en utilisant le graphique donné de $y = f(x)$ et déterminez son équation analytiquement.

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1) Solution graphique : Extrayez les sommets clés de la fonction définie par morceaux $f(x)$ :
$$ (0 , 3) , \quad (2 , -1) , \quad (5 , -3) $$

Inversez les coordonnées pour trouver les sommets de $f^{-1}(x)$ :
$$ (3 , 0) , \quad (-1 , 2) , \quad (-3 , 5) $$

2) Détermination analytique de $f^{-1}(x)$ : Nous devons trouver les équations des deux segments linéaires pour le graphique de la fonction inverse.

Segment 1 : Entre les valeurs de $x$ de $-3$ et $-1$. Passe par $(-3, 5)$ et $(-1, 2)$.
Pente $m_1$ :
$$ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} $$
Équation (en utilisant la forme point-pente avec $(-1,2)$) :
$$ y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 $$

Segment 2 : Entre les valeurs de $x$ de $-1$ et $3$. Passe par $(-1, 2)$ et $(3, 0)$.
Pente $m_2$ :
$$ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} $$
Équation (en utilisant la forme point-pente avec $(3,0)$) :
$$ y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x - 3) $$
(Remarque : Ceci est algébriquement équivalent à $-\dfrac{1}{2}(x+1)+2$).

Conclusion (Inverse définie par morceaux) :
$$ f^{-1}(x) = \begin{cases} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 & -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x - 3) & -1 < x \leq 3 \end{cases} $$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition et l'image.
$f(x)$ est définie si le radicande est $\geq 0$ et le dénominateur $\neq 0$ :
$$ \dfrac{2}{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2 - x}{x} \geq 0 $$
L'analyse des signes aux valeurs critiques $x=0$ et $x=2$ donne le domaine :
Domaine de définition de $f$ : $(0, 2]$

Parce que le radical donne un nombre positif (ou zéro) et est multiplié par un signe négatif, l'image correspond à tous les nombres réels négatifs ou nuls.
Image de $f$ : $(-\infty, 0]$

Par conséquent, pour la fonction inverse :
Domaine de définition de $f^{-1}$ : $(-\infty, 0]$
Image de $f^{-1}$ : $(0, 2]$

Étape 2 : Esquisser le graphique.
Points sur $f$ : $(2 , 0)$ et $(1 , -1)$.
Points sur $f^{-1}$ : $(0 , 2)$ et $(-1 , 1)$.

Étape 3 : Trouver $f^{-1}(x)$ analytiquement.
$$ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} $$

Élever les deux côtés au carré (cela nécessite de suivre notre domaine pour éviter des solutions étrangères) :
$$ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 $$
$$ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 $$
$$ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} $$

Échanger $x$ et $y$, et indiquer la restriction de domaine requise :
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}, \quad x \leq 0 $$

Ci-dessous sont présentés les graphiques de 6 fonctions. Esquissez le graphique de l'inverse de chaque fonction.

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Solution : Pour chaque graphique, sélectionnez des points dont les coordonnées sont faciles à déterminer. Utilisez ces points et le principe de réflexion par rapport à la droite $y = x$ pour esquisser les fonctions inverses.

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition et l'image.
Pour que le logarithme soit défini, l'argument doit être strictement positif : $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Les logarithmes ont pour image tous les nombres réels, l'image n'est donc pas restreinte.
Domaine de définition de $f$ : $(-2, \infty)$
Image de $f$ : $(-\infty, \infty)$

Par conséquent, pour la fonction inverse :
Domaine de définition de $f^{-1}$ : $(-\infty, \infty)$
Image de $f^{-1}$ : $(-2, \infty)$

Étape 2 : Résoudre algébriquement.
$$ y = \log_4(x + 2) - 5 $$
$$ \log_4(x + 2) = y + 5 $$

Convertir sous forme exponentielle :
$$ x + 2 = 4^{(y + 5)} $$
$$ x = 4^{(y + 5)} - 2 $$

Étape 3 : Échanger $x$ et $y$.
$$ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2 $$

Si $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$, quelle est la valeur de $f^{-1}(-4)$ ?

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Solution : Nous n'avons pas besoin de trouver l'équation inverse complète. Soit $a = f^{-1}(-4)$. En utilisant la propriété de composition des inverses, $f(f^{-1}(x)) = x$, nous savons que :
$$ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 $$

Nous devons trouver un $a$ tel que $f(a) = -4$ :
$$ \ln(a) + 4a - 8 = -4 $$
$$ \ln(a) = 4 - 4a $$

Cette équation transcendante ne peut pas être résolue purement algébriquement, mais sa solution peut être approximée graphiquement comme la coordonnée $x$ du point d'intersection de $y = \ln(x)$ et $y = 4 - 4x$.

L'intersection est située exactement à $a = 1$. Nous pouvons vérifier cela algébriquement :
$$ \ln(1) = 4 - 4(1) \Rightarrow 0 = 0 $$

Réponse finale :
$$ f^{-1}(-4) = 1 $$