Questions sur les graphiques de polynômes avec solutions

Donnez quatre raisons différentes pour lesquelles le graphique ci-dessous ne peut pas être le graphique de la fonction polynomiale $$ p(x) = x^4-x^2+1 $$

---

Solution : Les quatre raisons sont :

1. Symétrie : La fonction polynomiale donnée $p(x) = x^4-x^2+1$ ne contient que des puissances paires, ce qui en fait une fonction paire. Par conséquent, son graphique doit être symétrique par rapport à l'axe des y (axe des ordonnées). Le graphique donné n'est pas symétrique par rapport à l'axe des y.
2. Zéros réels (racines réelles) : Le polynôme $p(x)$ peut être analysé en posant $u = x^2$. Le discriminant de $u^2 - u + 1$ est $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$. Parce que le discriminant est négatif, le polynôme n'a pas de zéros réels. Cependant, le graphique donné a clairement des abscisses à l'origine.
3. Ordonnée à l'origine : L'ordonnée à l'origine est calculée en évaluant $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$, ce qui est positif. L'ordonnée à l'origine du graphique donné est clairement négative.
4. Comportement asymptotique : Ayant un coefficient dominant positif ($a = 1$) et un degré pair ($n = 4$), le polynôme doit avoir un graphique où les côtés gauche et droit montent ($y \to \infty$). Dans le graphique donné, les deux côtés descendent.

Associez les fonctions polynomiales à leurs graphiques où toutes les abscisses à l'origine sont indiquées.

$$ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 $$

$$ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 $$

$$ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) $$

$$ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 $$

$$ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 $$

$$ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) $$

---

Solution :

D'après leurs équations, les 6 fonctions polynomiales données sont de degré 5 (somme des exposants des facteurs). Cependant, leurs coefficients dominants sont de signes différents. Nous classons les polynômes en deux groupes :

Groupe I : Coefficients dominants positifs

Les polynômes $f$, $h$ et $i$ ont des coefficients dominants positifs.

$$ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 $$

$$ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) $$

$$ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 $$

Étant de degré 5 (impair) et ayant des coefficients dominants positifs, ces graphiques ont le comportement asymptotique suivant :
Quand $x \to \infty$, $y \to \infty$ (le côté droit monte).
Quand $x \to -\infty$, $y \to -\infty$ (le côté gauche descend).

Les graphiques donnés dans les parties a), c) et e) correspondent à ce comportement. Nous les associons en utilisant leurs racines et leurs multiplicités :

1. Le polynôme $f(x)$ a un zéro de multiplicité 1 en $x = -1$ (traverse), de multiplicité 2 en $x = 1$ (touche), et de multiplicité 2 en $x = -2$ (touche). Cela correspond au graphique e).
2. Le polynôme $h(x)$ a un zéro de multiplicité 1 en $x = -1$ (traverse), de multiplicité 3 en $x = 1$ (traverse et s'aplatit), et de multiplicité 1 en $x = 3$ (traverse). Cela correspond au graphique a).
3. Le polynôme $i(x)$ a un zéro de multiplicité 2 en $x = -1$ (touche) et de multiplicité 3 en $x = 2$ (traverse et s'aplatit). Cela correspond au graphique c).

Groupe II : Coefficients dominants négatifs

Les polynômes $g$, $j$ et $k$, une fois développés, ont des coefficients dominants négatifs (Remarque : pour $j(x)$, le terme $(1-x)$ crée le coefficient négatif).

$$ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 $$

$$ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 $$

$$ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) $$

Étant de degré 5 (impair) et ayant des coefficients dominants négatifs, ces graphiques ont le comportement asymptotique suivant :
Quand $x \to \infty$, $y \to -\infty$ (le côté droit descend).
Quand $x \to -\infty$, $y \to \infty$ (le côté gauche monte).

Les graphiques donnés dans les parties b), d) et f) correspondent à ce comportement. Nous les associons en utilisant leurs racines :

1. Le polynôme $g(x)$ a un zéro de multiplicité 1 en $x = -1$ (traverse) et de multiplicité 4 en $x = 1$ (touche). Cela correspond au graphique f).
2. Le polynôme $j(x)$ a un zéro de multiplicité 2 en $x = -1$ (touche), de multiplicité 1 en $x = 1$ (traverse), et de multiplicité 2 en $x = 2$ (touche). Cela correspond au graphique d).
3. Le polynôme $k(x)$ a un zéro de multiplicité 2 en $x = -1$ (touche), de multiplicité 2 en $x = 1$ (touche), et de multiplicité 1 en $x = 3$ (traverse). Cela correspond au graphique b).