Deux grandes et une petite pompe peuvent remplir une piscine en 4 heures. Une grande et 3 petites pompes peuvent également remplir la même piscine en 4 heures. Combien d'heures faudra-t-il à 4 grandes et 4 petites pompes pour remplir la piscine. (Nous supposons que toutes les grandes pompes sont similaires et que toutes les petites pompes sont également similaires.)
Trouvez tous les côtés d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à 60 cm et son aire est égale à 150 cm carrés.
Un cercle de centre (-3 , -2) passe par les points (0 , -6) et (a , 0). Trouver a.
Trouver l'équation de la tangente en ( 0 , 2) au cercle d'équation
(x + 2)2 + (y + 1)2 = 13
Un examen comprend trois parties. Dans la partie A, un étudiant doit répondre à 2 questions sur 3. Dans la partie B, un étudiant doit répondre à 6 questions sur 8 et dans la partie C, un étudiant doit répondre à toutes les questions. Combien de choix de questions l’élève a-t-il ?
Résoudre pour x
x 2 - 3|x - 2| - 4x = - 6
Le triangle rectangle ABC illustré ci-dessous est inscrit à l’intérieur d’une parabole. Le point B est également le point maximum de la parabole (sommet) et le point C est l'intersection x de la parabole. Si l'équation de la parabole est donnée par y = -x2 + 4x + C, trouvez C de telle sorte que l'aire du triangle ABC soit égale à 32 unités carrées.
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Le triangle délimité par les droites y = 0, y = 2x et y = - 0,5x + k, avec k positif, est égal à 80 unités carrées. Trouvez k.
Une parabole a deux interceptions x en (-2 , 0) et (3 , 0) et passe par le point (5 , 10). Trouvez l'équation de cette parabole.
Lorsque le polynôme P(x) = x3 + 3x 2 - 2 A x + 3, où A est une constante, est divisé par x 2 + 1 on obtient un reste égal à -5 x. Trouver A.
Lorsqu'il est divisé par x - 1, le polynôme P(x) = x5 + 2 x3 + A x + B, où A et B sont des constantes, le reste est égal à 2. Lorsque P(x) est divisé par x + 3, le reste est égal à -314. Trouvez A et B.
Trouver tous les points d'intersections des 2 cercles définis par les équations
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
(x - 1)2 + (y - 1)2 = 4
Si 200 est ajouté à un entier positif I, le résultat est un nombre carré. Si 276 est ajouté au même entier I, un autre nombre carré est obtenu. Trouvez I.
La somme des trois premiers termes d'une suite géométrique est égale à 42. La somme des carrés des mêmes termes est égale à 1092. Trouver les trois termes de la suite.
Une pierre est larguée dans un puits d'eau et parcourt environ 16 t 2 pieds en t secondes. Si l’éclaboussure se fait entendre 3,5 secondes plus tard et que la vitesse du son est de 1 087 pieds/seconde, quelle est la hauteur du puits ?
Deux bateaux sur les rives opposées d'une rivière commencent à se rapprocher l'un de l'autre. Ils se croisent d'abord à 1400 mètres d'une rive. Ils continuent chacun vers la rive opposée, font immédiatement demi-tour et repartent vers l'autre rive. Lorsqu'ils se croisent une seconde fois, ils se trouvent à 600 mètres de l'autre rive. Nous supposons que chaque bateau se déplace à une vitesse constante tout au long du trajet. Trouver la largeur de la rivière ?
Trouvez les constantes a et b pour que les 4 droites dont l'équation soit donnée par
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passer par le même point.
Trouvez l’aire du triangle rectangle indiqué ci-dessous.
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Il faut à la pompe A 2 heures de moins qu'à la pompe B pour vider une piscine. La pompe A démarre à 8h00 et la pompe B démarre à 10h00. À 12h00. 60% de la piscine est vide lorsque la pompe B est en panne. Combien de temps après 12h00 faudrait-il la pompe A pour vider la piscine ?
The number of pupils in school A is equal to half the number of pupils in school B. The ratio of the boys in school A and the boys in school B is 1:3 and the ratio of the girls in school A and the girls in school B is 3:5. The number of boys in school B is 200 higher than the number of boys in school A. Find the number of boys and girls in each school.
Le nombre d'élèves de l'école A est égal à la moitié du nombre d'élèves de l'école B. Le rapport entre les garçons de l'école A et les garçons de l'école B est de 1 : 3 et le rapport entre les filles de l'école A et les filles l'école B est 3:5. Le nombre de garçons dans l’école B est 200 plus élevé que le nombre de garçons dans l’école A. Trouvez le nombre de garçons et de filles dans chaque école.
Quatre grandes pompes et deux petites pompes peuvent remplir une piscine en 2 heures. Deux grandes et 6 petites pompes peuvent également remplir la même piscine en 2 heures. Combien de temps faut-il à 8 grandes et 8 petites pompes pour remplir 50 % de la piscine. (REMARQUE : toutes les grandes pompes ont la même puissance et toutes les petites pompes ont la même puissance).
Solutions aux problèmes ci-dessus
Soit R et r les débits de remplissage de la grande et de la petite pompe respectivement
4(2R + r) = 1 : 2 grandes et 1 petite travail pendant 4 heures pour faire 1 travail (remplir la piscine)
4(R + 3r) = 1 : 1 grande et 3 petites travail pendant 4 heures pour faire 1 travail (remplir la piscine)
T(4R + 4r) = 1 : Trouvez le temps T si 4 grands et 4 petits doivent faire un seul travail.
Résoudre le système des deux premières équations pour trouver R et r, puis remplacez-les dans la troisième equation et trouver T.
T = 5/3 heures = 1 heure 40 minutes.
x + y + H = 60 (Eq 1) : périmètre , x, y et H étant les deux cotes et l'hypoténuse du triangle rectangle
(1/2)xy = 150 : aire du triangle (Eq 2)
x2 + y2 = H2 (Eq 3) : théorème de Pythagore.
3 équations à 3 inconnues.
(x + y)2 - 2 x y = H2 (Eq 4) : compléter le carré de l'équation 3.
Equation 1 donne: x + y = 60 - H :
Utilisez la deuxième équation pour trouver x y = 300.
(60 - H)2 - 2(300) = H2 : Remplacer dans l'équation 4 pour trouver une équation à une inconnue.
Résoudre pour H pour trouver H = 25 cm. Remplacez et resoudre pour x et y pour trouver x = 15 cm et y = 20 cm.
√((-6 + 2)2 + (0 + 3)2) = √((a + 3)2 + (0 + 2)2) : les distances du centre à n’importe quel point du cercle sont égales.
(25) = (a + 3)2 + 4 : Elever au carre les deux cotes de l'equation et simplifier
(a + 3)2 = 21 : Réécrivez l'équation ci-dessus comme
Résoudre l'équation pour a pour trouver deux solutions.
a = -3 + √(21) , a = -3 - √(21)
(-2 , -1) : centre du cercle
m = (2 - -1) / (0 - -2) = 3 / 2 : pente de la ligne passant par le centre et le point de tangence (0 , 2)
La ligne passant par le centre et le point de tangence (0 , 2) est perpendiculaire à la tangente.
M = -2 / 3 : pente de la tangente
y = -(2/3)x + 2 : équation de la tangente étant donné sa pente et son point (0 , 2).
3C2 × 8C6 × 1 = 84 : Utilisation du théorème fondamental de multiplication du comptage.
x2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 : donné
Soit Y = x - 2 ce qui donne x = Y + 2
(Y + 2)2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 : remplacer dans l'équation ci-dessus
Y2 - 3|Y| + 2 = 0
Y2 = |Y|2 : noter
|Y|2 - 3|Y| + 2 = 0 : réécrire l'équation comme
(|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0
|Y| = 2 , |Y| = 1 : résoudre pour |Y|
Y = 2, -2 , 1 , -1 : résoudre pour Y
x = 4 , 0 , 3 , 1 : résoudre pour x en utilisant x = Y + 2.
h = -b / 2a = 2 : coordonnée x du sommet de la parabole
k = -(2)2 + 4(2) + C = 4 + C : coordonnée y du sommet de la parabole
x = (2 + √(4 + C)) , x = (2 - √(4 + C)) : les deux interceptions x de la parabole.
longueur de: BA = k = 4 + C
longueur de: AC = 2 + √(4 + C) - 2 = √(4 + C)
aire du triangle = (1/2)BA × AC = (1/2) (4 + C) × √(4 + C)
(1/2) (4 + C) × √(4 + C) = 32 : l'aire est égale à 32
C = 12 : résoudre ci-dessus pour C.
A(0,0) , B(2k/5 , 4k/5) , C(2k ,0) : 3 points d'intersection des 3 lignes
(1/2) × (4k/5) × (2k) = 80 : aire du triangle est egale a 80.
k = 10 : résoudre l’équation ci-dessus pour k , k positif est une condition donnée.
y = a(x + 2)(x - 3) : équation de la parabole sous forme factorisée
10 = a(5 + 2)(5 - 2) : (5 , 10) est un point sur le graphique de la parabole et satisfait donc l'équation de la parabole.
a = 5/7: résoudre l’équation ci-dessus pour a.
Divisez x3 + 3 x 2 -2 A x + 3 par (x 2 + 1) pour obtenir un reste = -x (1 + 2A)
-x(1 + 2A) = 5 x : le reste de la division est donné
-(1 + 2A) = 5 : les polynômes sont égaux si leurs coefficients correspondants sont égaux.
A = -3 : Résoudre ce qui précède pour A.
P(1) = 15 + 2(13) +A × (1) + B = 2 : d'apres le théorème des restes des polynômes
P(-3) = (-3)5 + 2(-3)3 +A × (-3) + B = -314
A = 4 and B = -5 : résoudre les systèmes d’équations ci-dessus.
x2 - 4x + 2 + y2 - 4y + 2 = 4 : développer l'équation du premier cercle
x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 4 : développer l'équation du deuxième cercle
-2x - 2y - 6 = 0 : soustraire les termes gauche et droit des équations ci-dessus
y = 3 - x : résooudre ce qui précède pour y.
2x2 - 6x + 1 = 0 : remplacez y par 3 - x dans la première équation, développez et regroupez les termes similaires.
(3/2 + √(7)/2 , 3/2 - √(7)/2) , (3/2 - √(7)/2 , 3/2 + √(7)/2) : résooudre ce qui précède pour x et utilisez y = 3 - x pour trouver y.
I + 200 = A2 : 200 ajouté à I (entier inconnu) donne un carré.
I + 276 = B2 : 276 ajouté à I (entier inconnu) donne un autre carré.
B2 = A2 + 76 : éliminer I des deux équations.
ajoutez les carrés A2 (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) à 76 jusqu'à obtenir un autre carré B2.
76 + 182 = 400 = 202 A2 = 182 and B2 = 202 I = A2 - 200 = 124
sum1 = a + a r + a r2 = 42: la somme des trois termes donnés, r est la raison de la suite geometrique.
sum2 = a2 + a2r2 + a2r4 = 1092: la somme des carrés des trois termes donnés.
sum1 = a + ar + ar2 = a(r3 - 1) / (r - 1) = 42 : appliquer la formule pour une somme finie de séries géométriques.
sum2 = a2 + a2r2 + a r2r4 = a2(r6 - 1) / (r2 - 1) = 1092: la somme des carrés est aussi une somme de séries géométriques de raison r 2.
sum2/sum12 = 1092 / 422 = [ a2(r6 - 1)/(r2 - 1)] / [a2(r3 - 1)2 / (r - 1)2]
(r2 - r + 1) / (r2 + r + 1) = 1092 / 422 r = 4 , r = 1/4 : résoudre pour r
a = 2 : remplacez r = 4 et résoudre pour a
a = 32 : remplacez r = 1/4 et résoudre pour a
a = 2 , a r = 8 , a r 2 = 32 : trouver les trois termes pour r = 4
a = 32 , a r = 8 , a r 2 = 2 : trouver les trois termes pour r = 1/4
T1 + T2 = 3,5 : Temps T1 pour que la roche atteigne le fond du puits et temps T2 pour que le son atteigne le sommet du puits.
16 × T12 = 1087 × T2 : même distance que la hauteur du puits.
T2 = 3,5 - T1 : résoudre la première équation pour T2
16 × T12 = 1087 × (3,5 - T1)
T1 = 3,34 seconds
Hauteur du puit = 16 × (3,34)2 = 178 pieds (à l'unité la plus proche)
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S1×t1 = 1400 : S1 est la vitesse S1 du bateau 1, t1 : temps pour faire 1400 mètres (bateau 1)
1400 + S2×t1 = X : S2 est la vitesse S1 du bateau 2
S1×t2 = X + 600 (Eq. 3) : t2 temps pour faire X + 600 (bateau 2)
S2×t2 = 2X - 600 (Eq. 4)
S1 = 1400 / t1
S2 = (X-1400) / t1
T = t2 / t1 : définir T comme
remplacez S1, S2 et t2 / t1 en utilisant les expressions ci-dessus dans les équations 3 et 4 pour obtenir
1400×T = X + 600
X×T - 1400×T = 2X - 600 : 2 equations 2 unknowns
Eliminate T and solve for X to obtain X = 3600 meters.
résoudre le système des deux premières équations pour obtenir la solution (2 , -3)
La solution ci-dessus est également une solution aux deux dernières équations.
a(2) + b(-3) = 4
2a(2) - b(-3) = 2
a = 1 and b = -2/3 : solution au système d’équations ci-dessus.
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