Maîtrisez les mathématiques de 12e année : 21 problèmes complets et solutions

Soient $R$ et $r$ les débits de travail respectifs des grandes et des petites pompes.

$4(2R + r) = 1$ : 2 grandes et 1 petite travaillent pendant 4 heures pour faire 1 tâche

$4(R + 3r) = 1$ : 1 grande et 3 petites travaillent pendant 4 heures pour faire 1 tâche

$T(4R + 4r) = 1$ : Trouver le temps $T$ si 4 grandes et 4 petites doivent faire la tâche.

Résolvez le système formé par les deux premières équations pour $R$ et $r$, puis substituez dans la troisième et résolvez pour $T$ afin de trouver le temps : $T = \dfrac{5}{3}$ heures = 1 heure et 40 minutes.

$x + y + H = 60$ : périmètre, $x$, $y$ et $H$ sont les deux cathètes (côtés de l'angle droit) et l'hypoténuse du triangle rectangle

$\dfrac{1}{2}xy = 150$ : aire

$x^2 + y^2 = H^2$ : Théorème de Pythagore

3 équations à 3 inconnues.

$(x + y)^2 - 2xy = H^2$ : en complétant le carré dans la troisième équation.

$x + y = 60 - H$ : exprimez $x + y$ à l'aide de la première équation et utilisez la deuxième équation pour trouver $xy = 300$, puis substituez dans l'équation 5.

$(60 - H)^2 - 600 = H^2$ : une équation à une inconnue.

Résolvez pour $H$ pour trouver $H = 25$ cm. Substituez et résolvez pour $x$ et $y$ pour trouver $x = 15$ cm et $y = 20$ cm.

$\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}$ : les distances du centre à tout point du cercle sont égales.

$25 = (a + 3)^2 + 4$ : Simplifiez et élevez les deux côtés au carré

$(a + 3)^2 = 21$ : Réécrivez l'équation ci-dessus

Résolvez pour $a$ :

$a = -3 + \sqrt{21}$ ou $a = -3 - \sqrt{21}$

(-2, -1) : centre du cercle

$m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}$ : pente de la droite passant par le centre et le point de tangence (0, 2)

La droite passant par le centre et le point de tangence (0, 2) est perpendiculaire à la tangente.

$M = -\dfrac{2}{3}$ : pente de la tangente

$y = -\dfrac{2}{3}x + 2$ : équation de la tangente étant donné sa pente et le point (0, 2).

$_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84$ : Utilisation du principe fondamental du dénombrement (combinaisons)

$ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 $ : donnée

Soit $ Y = x - 2 $, ce qui donne $ x = Y + 2 $

$ (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 $ : substituez $ x $ par $ Y + 2 $ dans l'équation donnée

$ Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 $

$ Y^2 = |Y|^2 $ : à noter

$ |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 $ : réécrivez l'équation comme suit

$ (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 $ : factorisez

$ |Y| = 2 , |Y| = 1 $ : résolvez pour $ |Y| $

$ Y = 2, -2 , 1 , -1 $ : résolvez pour $ Y $

$ x = 4 , 0 , 3 , 1 $ : résolvez pour $ x $ en utilisant $ x = Y + 2$

$ h = \dfrac{-b}{2a} = 2 $ : coordonnée x du sommet de la parabole

$ k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C $ : coordonnée y du sommet

$ x = (2 + \sqrt{4 + C}), x = (2 - \sqrt{4 + C}) $ : les deux abscisses à l'origine de la parabole.

Longueur de $ BA = k = 4 + C $

Longueur de $ AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C}$

$ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} $

$ \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 $ : l'aire est égale à 32

$ C = 12 $ : résolvez ce qui précède pour $ C $.

$ A(0,0) $, $ B(2k/5 , 4k/5) $, $ C(2k ,0) $ : points d'intersection des 3 droites

Aire = $ (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 $ : donné

$ k = 10 $ : résolvez l'équation ci-dessus pour $ k $ positif.

$y = a(x + 2)(x - 3) $ : Utilisez les abscisses à l'origine pour écrire l'équation de la parabole sous forme factorisée

$ 10 = a(5 + 2)(5 - 3) $ puisque $ (5 , 10) $ est un point sur le graphique de la parabole et satisfait donc l'équation de la parabole.

$ a = 5/7 $ : résolvez l'équation ci-dessus pour a.

La division de $ x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 $ par $ x^2 + 1 $ donne le reste $ -x (1 + 2 A) $

$ - x (1 + 2A) = 5 x $ : Le reste est donné comme étant $ 5 x $

$ -(1 + 2A) = 5 $ : deux polynômes sont égaux si leurs coefficients correspondants sont égaux.

$ A = -3 $ : Résolvez ce qui précède pour $ A $.

$ P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 $ : théorème du reste

$ P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 $ : théorème du reste

ce qui donne le système d'équations en $ A $ et $ B $ :

$$ A + B = -1 $$ $$ -3 A + B = -17 $$

$ A = 4 $ et $ B = -5 $ : résolvez le système d'équations ci-dessus.

$ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 $ : développez l'équation du premier cercle

$ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 $ : développez l'équation du deuxième cercle

$ -2x - 2y + 6 = 0 $ : soustrayez les termes de gauche et de droite des équations ci-dessus

$ y = 3 - x $ : résolvez ce qui précède pour $ y $.

$ 2x^2 - 6x + 1 = 0 $ : substituez $ y $ par $ 3 - x $ dans la première équation, développez et regroupez les termes semblables.

$\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)$ :

résolvez ce qui précède pour $x $ et utilisez $ y = 3 - x $ pour trouver y.

$ I + 200 = A^2 $ : 200 ajouté à $ I $ donne un carré parfait.

$ I + 276 = B^2 $ : 276 ajouté à $ I $ donne un autre carré parfait.

$ B^2 = A^2 + 76 $ : éliminez $ I $ des deux équations.

Ajoutez les carrés $ A^2 $ (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) à 76 jusqu'à obtenir un autre carré parfait $ B^2 $.

$ 76 + 18^2 = 400 = 20^2 $

$ A^2 = 18^2 $ et $ B^2 = 20^2 $

$ I = A^2 - 200 = 124 $

$sum_1 = a + a r + a r^2 = 42$ : la somme des trois premiers termes donnée, $ r $ est la raison (ratio).

$ sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092$ : la somme des carrés des trois termes donnée.

$ sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 $ : appliquez la formule de la somme d'une série géométrique finie.

$ sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 $ : la somme des carrés est également une somme de série géométrique.

$ \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2(r^6 - 1)}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}}$ : définissez le ratio (le rapport).

$ \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} $ : Simplifiez le rapport ci-dessus pour obtenir une équation.

$ r = 4 , r = 1/4 $ : résolvez pour $ r $

$ a = 2 $ : substituez $ r = 4 $ dans $ sum_1$ et résolvez pour $ a $

$ a = 32 $ : substituez $ r = 1/4 $ dans $ sum_1$ et résolvez pour $ a $

$ a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 $ : trouvez les trois termes pour $ r = 4 $

$ a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 $ : trouvez les trois termes pour $ r = 1/4 $

$ T_1 + T_2 = 3.5 $ : où $ T_1 $ est le temps mis par la pierre pour atteindre le fond du puits, et $ T_2 $ est le temps mis par le son pour atteindre le haut du puits.

$ 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 $ : Puisque les deux termes représentent la même distance, qui est la profondeur du puits.

Résolution pour $ T_2 $ : $ T_2 = 3.5 - T_1 $

Substitution de $ T_2 $ dans l'équation : $ 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) $

Résolution pour $ T_1 $ : $ T_1 = 3.34 \text{ secondes} $

Enfin, calcul de la profondeur du puits : $ \text{Hauteur} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \text{ pieds} $ (à l'unité près).

$ S_1 \times t_1 = 1400 $ : $ S_1 $ est la vitesse du bateau 1, $ t_1 $ est le temps pour parcourir 1400 mètres.

$ 1400 + S_2 \times t_1 = X $ : $ S_2 $ est la vitesse du bateau 2, $ X $ est la largeur.

$ S_1 \times t_2 = X + 600 $ : $ t_2 $ est le temps pour parcourir $ X + 600 $ mètres pour le bateau 1.

$ S_2 \times t_2 = 2X - 600 $

$ S_1 = \dfrac{1400}{t_1} $

$ S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} $

Soit $ T = \dfrac{t_2}{t_1} $

Substitution dans les équations : $ 1400 \times T = X + 600 $ et $ X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 $

Résolution du système pour $ X $ : $ X = 3600 \text{ mètres} $.

Résolvez le système formé par les deux premières équations pour obtenir la solution $ (2, -3) $.

Le point $ (2, -3) $ doit satisfaire les deux dernières équations :

$ a(2) + b(-3) = 4 $

$ 2a(2) - b(-3) = 2 $

En résolvant pour $ a $ et $ b $ : $ a = 1, b = -\dfrac{2}{3} $.

La pente de $ AB $ est $ -3 $ car elle est perpendiculaire à $ OB $ (pente $ 1/3 $).

Équation de $ AB $ : $ y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20 $.

Point $ B $ : résolvez $ y = -3x + 20 $ et $ y = x/3 \implies B(6,2) $.

Point $ A $ : résolvez $ y = -3x + 20 $ et $ y = 2x \implies A(4,8) $.

$ \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} $

$ \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{40} $

$ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} = 20 $.

Soit $ t $ le temps de B ; A prend $ t - 2 $. A travaille 4h, B travaille 2h.

$ \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \implies 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) $

$ 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 $. Solution valide $ t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} $.

Temps de la pompe A : $ t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} $.

Temps pour les 40 % restants : $ \text{Temps} = 0.4 \times (4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}) \approx 3.766 \text{ heures} $.

Soient $ x $ et $ y $ le nombre d'élèves dans les écoles A et B respectivement. Soient $ b_A, g_A, b_B \text{ et } g_B $ les nombres de garçons et de filles dans les écoles A et B

$ x = y/2 $, $ b_B = 3b_A $.

Donné $ b_B = b_A + 200 \implies 2b_A = 200 \implies b_A = 100, b_B = 300 $.

$ g_B = \dfrac{5}{3} g_A $. Puisque $ 2(100 + g_A) = 300 + g_B $ :

$ 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3}g_A \implies \dfrac{1}{3}g_A = 100 \implies g_A = 300, g_B = 500 $.

École A : 100 garçons, 300 filles. École B : 300 garçons, 500 filles.

Soient $ L $ et $ S $ les taux de remplissage d'une grande et d'une petite pompe respectivement

$ 2(4L + 2S) = 1 $ et $ 2(2L + 6S) = 1 $. En résolvant : $ L = 1/10, S = 1/20 $.

Taux total pour 8L et 8S : $ 8(1/10) + 8(1/20) = 6/5 $ d'une piscine par heure.

Temps pour 50 % : $ \dfrac{6}{5}t = 0.5 \implies t = 5/12 \text{ heures} = 25 \text{ minutes} $.