Problèmes sur les droites en 3D avec solutions détaillées

Écrivez l'équation de la droite donnée sous forme vectorielle par $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$ sous formes paramétrique et symétrique.

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Solution :

L'égalité des composantes vectorielles de l'équation vectorielle ci-dessus donne la forme paramétrique :

$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$

Résolvez pour $t$ à partir de chacune des équations ci-dessus :

$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$

Toutes étant égales à $t$, d'où la forme symétrique de l'équation :

$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$

Trouvez la forme symétrique de l'équation de la droite passant par le point $P(1, -2, 3)$ et parallèle au vecteur $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$.

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Solution :

Équation vectorielle : $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$

L'égalité des composantes vectorielles donne : $$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$

Résolvez pour $t$ : $$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$

Parce que la direction en $y$ est $0$, $y$ est constamment $-2$. La forme symétrique est :

$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$

Trouvez les équations paramétriques de la droite passant par les deux points $P(1, 2, 3)$ et $Q(0, -2, 1)$.

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Solution :

Vecteur directeur $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$

Équation vectorielle : $$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$

L'égalité des composantes vectorielles de l'équation vectorielle ci-dessus donne :

$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$

Trouvez les équations paramétriques de la droite qui passe par le point $P(-3, 5, 2)$ et est parallèle à la droite d'équations : $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$

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Solution :

Écrivez la droite donnée sous forme symétrique :

$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$

Le vecteur directeur est : $\langle 2, -4, -1 \rangle$

La droite passant par le point $P(-3, 5, 2)$ est parallèle à la droite donnée et elles ont donc le même vecteur directeur. Les équations paramétriques de la droite passant par $P$ sont :

$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$

Trouvez l'équation d'une droite passant par $P(1 , -2 , 3)$ et perpendiculaire aux deux droites $L_1$ et $L_2$ données par :

Droite $L_1$ : $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$

Droite $L_2$ : $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$

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Solution :

La droite $L$ (à trouver) est perpendiculaire aux droites $L_1$ et $L_2$, et est donc perpendiculaire à leurs vecteurs directeurs $\vec{d}_1$ et $\vec{d}_2$. Par conséquent, le produit vectoriel de $\vec{d}_1$ et $\vec{d}_2$ donne le vecteur directeur de la droite $L$.

À partir de l'équation symétrique de $L_1$, le vecteur directeur est : $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$

Le vecteur directeur de $L_2$ est : $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$

Le vecteur directeur de la droite $L$ peut être pris comme le produit vectoriel :

$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$

L'équation de la droite $L$ passant par le point $P(1, -2, 3)$ et parallèle au vecteur $\vec{d}$ est donnée par :

$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$

Trouvez le point d'intersection des droites $L_1$ et $L_2$ en 3D définies par :

Droite $L_1$ : $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$

Droite $L_2$ : $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$

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Solution :

Écrivez les équations de la droite $L_2$ sous forme paramétrique en utilisant un paramètre différent $s$ :

$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$

Soit $A(x, y, z)$ le point d'intersection. Égaler les coordonnées donne le système :

$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$

$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$

$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$

Réécrivez les équations (1) et (2) :

$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{et} \quad -3t - 2s = -4 $$

Résolvez pour $t$ et $s$ : $$ t = 2 \quad \text{et} \quad s = -1 $$

Vérifiez-les dans l'équation (3) :

Côté gauche : $4(2) - 3 = 5$. Côté droit : $-3(-1) + 2 = 5$. Ils correspondent, donc elles s'intersectent.

Substituez $t=2$ dans les équations de $L_1$ pour trouver le point d'intersection :

$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$

Trouvez l'angle entre les droites $L_1$ et $L_2$ d'équations symétriques :

$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$

$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$

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Solution :

Soient $\mathbf{d}_1$ et $\mathbf{d}_2$ les vecteurs directeurs des droites $L_1$ et $L_2$.

$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{et} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$

L'angle $\theta$ entre les droites $L_1$ et $L_2$ est égal à l'angle entre leurs vecteurs directeurs, donné par :

$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$

Calculez le produit scalaire :

$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$

Puisque le produit scalaire est de $0$ et que les grandeurs sont non nulles :

$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$

Montrez que les équations symétriques données ci-dessous représentent la même droite.

Droite $L_1$ : $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$

Droite $L_2$ : $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$

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Solution :

Nous pouvons montrer que les deux droites ont deux points en commun. Réécrivez les deux équations sous forme paramétrique comme suit :

$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$

$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$

Point $P_1$ sur $L_1$ : $(2, 0, -1)$

Point $P_2$ sur $L_2$ : $(1, 2, 3)$

Vérifiez que $P_1(2, 0, -1)$ est sur $L_2$ en utilisant les équations symétriques de $L_2$ :

$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$

Tous les termes sont égaux, donc $P_1$ est sur $L_2$.

Vérifiez que $P_2(1, 2, 3)$ est sur $L_1$ en utilisant les équations symétriques de $L_1$ :

$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$

Tous les termes sont égaux, donc $P_2$ est sur $L_1$.

Puisqu'elles partagent au moins deux points distincts, les deux équations représentent la même droite.

Trouvez la distance entre le point $P_0(1, -2, 3)$ et la droite donnée par l'équation vectorielle : $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$

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Solution :

D'après l'équation, le point $P(2, 3, 0)$ se trouve sur la droite. Le vecteur directeur est $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$.

La distance $D$ de la droite au point $P_0$ est donnée par :

$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$

Soit $\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$.

Alors, $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$.

$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$

$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$

$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$

Trouvez la distance la plus courte entre les deux droites $L_1$ et $L_2$ définies par leurs équations :

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Solution :

Les points $P_1(2, 0, -1)$ et $P_2(1, -2, 3)$ sont des points sur les droites $L_1$ et $L_2$ respectivement. Les vecteurs directeurs sont :

$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{et} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$

La distance la plus courte $D$ entre les deux droites est donnée par la formule :

$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$

où $\mathbf{n}$ est le produit vectoriel de $\mathbf{d}_1$ et $\mathbf{d}_2$.

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$

$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

Trouvez la valeur de $b$ pour que les droites $L_1$ et $L_2$ données par leurs équations ci-dessous soient parallèles.

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Solution :

Les vecteurs directeurs doivent être proportionnels : $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$

À partir de la première composante : $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$

À partir de la troisième composante (pour vérifier) : $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$

À partir de la deuxième composante : $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$

Trouvez l'équation d'une droite passant par le point $P(1, -2, 3)$ qui coupe et est perpendiculaire à la droite donnée par les équations paramétriques $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$ Trouvez également le point d'intersection des deux droites.

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Solution :

Équation de la droite à trouver : $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$

Perpendiculaire à : $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$

L'intersection nécessite de trouver un point spécifique $M(x_0, y_0, z_0)$ sur la droite donnée tel que $\vec{PM}$ soit perpendiculaire à la direction de la droite donnée $\langle 1,1,1 \rangle$.

$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$.

Puisque $\vec{PM}$ est perpendiculaire à $\langle 1,1,1 \rangle$, leur produit scalaire est nul :

$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$

$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$

Le point d'intersection $M$ (lorsque $t=1$) est : $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$

Le vecteur directeur $\vec{PM}$ est $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$. Cela peut être mis à l'échelle en $\langle 1, -2, 1 \rangle$.

Équation de la nouvelle droite : $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$

Lequel des points $A(3, 4, 4)$, $B(0, 5, 3)$ et $C(6, 3, 7)$ se trouve sur la droite définie par les équations paramétriques $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$

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Solution :

Écrivez la forme des équations symétriques de la droite : $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$

Point A $(3, 4, 4)$ : $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
La dernière expression n'est pas égale aux deux premières, par conséquent $A$ n'est pas sur la droite.

Point B $(0, 5, 3)$ : $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
Toutes les expressions sont égales, par conséquent $B$ est sur la droite.

Point C $(6, 3, 7)$ : $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
Toutes les expressions sont égales, par conséquent $C$ est sur la droite.