Simplifier les fonctions trigonométriques inverses

Simplifiez les expressions :

1. $\sin(\arcsin(x))$ et $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ et $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ et $\arctan(\tan(x))$

---

Solution :

1. Le sinus et l'arcsinus sont des fonctions inverses l'une de l'autre. Par conséquent, les propriétés des fonctions inverses peuvent être utilisées pour écrire :

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{pour } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{pour } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   NOTE : Si $x$ dans $\arcsin(\sin(x))$ n'est pas dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, trouvez $\theta$ dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin(x) = \sin(\theta)$, puis simplifiez : $\arcsin(\sin(x)) = \theta$.

2. Le cosinus et l'arccosinus sont des fonctions inverses l'une de l'autre :

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{pour } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{pour } x \in [0, \pi] $$

   NOTE : Si $x$ dans $\arccos(\cos(x))$ n'est pas dans l'intervalle $[0, \pi]$, trouvez $\theta$ dans l'intervalle $[0, \pi]$ tel que $\cos(x) = \cos(\theta)$, puis simplifiez : $\arccos(\cos(x)) = \theta$.

3. La tangente et l'arctangente sont des fonctions inverses l'une de l'autre :

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$

   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{pour } x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $$

   NOTE : Si $x$ dans $\arctan(\tan(x))$ n'est pas dans l'intervalle $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$, trouvez $\theta$ dans l'intervalle $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ tel que $\tan(x) = \tan(\theta)$, puis simplifiez : $\arctan(\tan(x)) = \theta$.

Exprimez les expressions suivantes sous forme algébrique :

$$ \sin(\arccos(x)) \quad \text{et} \quad \tan(\arccos(x)) $$

---

Solution :

Soit $A = \arccos(x)$. Par conséquent,

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Utilisez un triangle rectangle avec l'angle $A$ tel que $\cos(A) = x$ (ou $\dfrac{x}{1}$). Trouvez le deuxième côté et calculez $\sin(A)$ et $\tan(A)$.

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{pour } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{pour } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $$

Exprimez les expressions suivantes sous forme algébrique :

$$ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{et} \quad \tan(\arcsin(x)) $$

---

Solution :

Soit $A = \arcsin(x)$. Par conséquent,

$$ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x $$

Utilisez un triangle rectangle avec l'angle $A$ tel que $\sin(A) = x$ (ou $\dfrac{x}{1}$), trouvez le deuxième côté et calculez $\cos(A)$ et $\tan(A)$.

$$ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{pour } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{pour } x \in (-1, 1) $$

Exprimez les expressions suivantes sous forme algébrique :

$$ \sin(\arctan(x)) \quad \text{et} \quad \cos(\arctan(x)) $$

---

Solution :

Soit $A = \arctan(x)$. Par conséquent,

$$ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x $$

Utilisez un triangle rectangle avec l'angle $A$ tel que $\tan(A) = x$ (ou $\dfrac{x}{1}$). Trouvez l'hypoténuse et calculez $\sin(A)$ et $\cos(A)$.

$$ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

$$ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

Simplifiez les expressions suivantes :

1. $\arccos(0)$, $\arcsin(-1)$, $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$, $\arccos(\cos(\pi/2))$, $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$, $\arcsin(\sin(\pi/3))$, $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$, $\arcsin(\sin(13\pi/3))$, $\arctan(\tan(-17\pi/4))$, $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

---

Solution :

1. Utilisez les définitions directes des fonctions inverses :

   $$ \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{car} \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{et} \quad \dfrac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$

   $$ \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{car} \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{et} \quad -\dfrac{\pi}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   $$ \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \quad \text{car} \quad \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{et} \quad -\dfrac{\pi}{4} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

2. Simplifiez les fonctions intérieures puis les fonctions extérieures en utilisant les définitions :

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

3. Simplifiez les fonctions intérieures puis les fonctions extérieures :

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} $$

   $$ \arcsin\left(\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} $$

4. Ajustez les angles pour qu'ils tombent dans les intervalles corrects avant d'appliquer les fonctions inverses :

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$

   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$

   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$

   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

Soit $A = \arcsin(2/3)$ et $B = \arccos(-1/2)$. Trouvez la valeur exacte de $\sin(A + B)$.

---

Solution :

Utilisez l'identité d'addition des angles :

$$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$

Développez l'expression donnée en substituant $A$ et $B$ :

$$ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) $$

Utilisez les identités inverses pour simplifier chaque terme individuel :

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

Substituez ces valeurs dans l'équation développée et calculez :

$$ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} $$

Écrivez $Y = \sin(2 \arcsin(x))$ sous forme d'expression algébrique.

---

Solution :

Soit $A = \arcsin(x)$. Par conséquent, $Y$ peut s'écrire :

$$ Y = \sin(2A) $$

Utilisez l'identité d'angle double $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$ pour réécrire $Y$ :

$$ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) $$

Appliquez les identités standards $\sin(\arcsin(x)) = x$ et $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ pour obtenir l'expression finale :

$$ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} $$

Trouvez la valeur exacte de $Y = \sin(2 \arctan(3/4))$.

---

Solution :

Soit $A = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$. Par conséquent, $Y$ peut s'écrire :

$$ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $$

Évaluez les fonctions intérieures en utilisant les propriétés de conversion algébrique standard pour l'arctangente :

$$ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{3}{5} $$

$$ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{4}{5} $$

Substituez ces valeurs dans la formule de l'angle double :

$$ Y = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25} $$