Applications réelles des fonctions sinusoïdales avec solutions

Une masse fixée à un ressort est tirée vers le sol de sorte que sa hauteur au-dessus du sol soit de 10 mm. La masse est ensuite relâchée et commence à monter et descendre, atteignant des hauteurs maximale et minimale de 20 mm et 10 mm, respectivement, avec un cycle de 0,8 seconde.

1. En supposant que la hauteur $h(t)$ de la masse est une fonction sinusoïdale, où $t$ est le temps en secondes, tracez un graphique de $h$ de $t = 0$ à $t = 0,8$ seconde. $t = 0$ est le moment où la masse est relâchée.
2. Trouvez une fonction sinusoïdale pour la hauteur $h(t)$.
3. Pendant combien de secondes la hauteur de la masse est-elle supérieure à 17 mm au cours d'un cycle ?

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Solution

1. La masse est relâchée à $t = 0$ lorsque $h$ est au minimum. Un demi-cycle plus tard, $h$ atteint son maximum et, un autre demi-cycle plus tard, elle atteint à nouveau son minimum. Par conséquent, sur un cycle, $h$ varie avec $t$ comme suit :

   

2. Selon le graphique obtenu à la partie a), $h(t)$ pourrait être modélisée par une fonction cosinus décalée (translatée) verticalement vers le haut et horizontalement vers la droite. Ainsi,

   $$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$

   Soit $h_{\text{max}}$ la valeur maximale de $h$ et $h_{\text{min}}$ la valeur minimale de $h$. Ainsi

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15 $$

   $$ \text{Période} = \dfrac{2\pi}{|b|} = 0,8 \Rightarrow b = \pm 2,5\pi $$

   Nous utilisons $a = 5$ et $b = 2,5\pi$. Le décalage de la fonction cosinus est vers la droite et égal à un demi-cycle. D'où $d = 0,4$

   $$ h(t) = 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 $$

   Vérifiez que $h$ a un minimum à $t = 0$ :

   $$ h(0) = 5 \cos[ 2,5\pi(0 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$

   Vérifiez que $h$ a un maximum à $t = 0,4$ :

   $$ h(0,4) = 5 \cos[ 2,5\pi(0,4 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$

3. Le graphique de $y = h(t)$ et $y = 17$ est présenté ci-dessous. Nous devons d'abord trouver $t_1$ et $t_2$, qui sont les valeurs de $t$ pour lesquelles $h(t) = 17$ en résolvant l'équation

   

   $$ 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 = 17 $$

   $$ \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] = \dfrac{17 - 15}{5} = 0,4 $$

   $$ 2,5\pi(t - 0,4) = \arccos(0,4) $$

   $$ t = \dfrac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 = 0,547 \text{ secondes} $$

   La solution $t$ trouvée ci-dessus est supérieure à 0,4, qui est la position du maximum, et inférieure à 0,8 ; elle correspond donc à $t_2$. Ainsi

   $$ t_2 = \dfrac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 = 0,547 \text{ secondes} $$

   $t_1$ est obtenu en utilisant la symétrie des deux solutions par rapport à la position du maximum à $t = 0,4$. Ainsi

   $$ t_1 = 0,4 - (0,547 - 0,4) = 0,252 \text{ secondes} $$

   La hauteur de la masse est supérieure à 17 mètres pour

   $$ t_2 - t_1 = 0,547 - 0,252 = 0,295 \text{ seconde} $$

Le nombre d'heures d'ensoleillement $H$ dans une certaine zone est approximativement donné par la fonction

$$ H(t) = 2,5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11,5 $$

où $H$ est en heures et $t$ en jours, et la fonction a une période d'un an (365 jours).

1. Trouvez $b$ ($b > 0$) et $d$ si $H$ est maximal le 21 juin (le mois de février a 28 jours).
2. Quel jour est le plus court (a le plus petit nombre d'heures d'ensoleillement) ?

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Solution

1. Puisque la période est connue et égale à 365 jours, nous utilisons la formule :

   $$ 365 = \dfrac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   Si nous définissons $d = 0$ dans la fonction

   $$ H(t) = 2,5 \cos[b(t - d)] + 11,5 $$

   elle devient

   $$ H(t) = 2,5 \cos(bt) + 11,5 $$

   qui a un maximum à $t = 0$.

   Dans notre problème, le maximum a lieu le 21 juin, ce qui correspond à

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   (jours du 1er janvier au 21 juin).

   Par conséquent, le décalage horizontal est de 172 unités vers la droite, et $d = 172$. Ainsi,

   $$ H(t) = 2,5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 $$

2. Le jour le plus court correspond à la valeur de $t$ qui donne le minimum de $H$, qui est :

   $$ 11,5 - 2,5 = 9 $$

   Nous résolvons l'équation :

   $$ 2,5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 = 9 $$

   $$ \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \dfrac{9 - 11,5}{2,5} = -1 = \cos(\pi) $$

   ce qui donne

   $$ \dfrac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$

   $$ t = \dfrac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354,5 \text{ jours} $$

   Note : Nous aurions pu déterminer cela en reconnaissant que le temps entre un maximum et le minimum suivant dans une fonction cosinus est la moitié de la période. Par conséquent, le minimum se produit à :

   $$ t = 172 + \dfrac{1}{2}(365) = 354,5 \text{ jours} $$

   Pour calculer le nombre de jours de janvier à novembre :

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$

   Ensuite, le nombre de jours dans le mois de décembre est :

   $$ 354,5 - 334 = 20,5 $$

   ce qui correspond approximativement au 21 décembre.

La température moyenne mensuelle $T$ (en $^{\circ} \mathrm{C}$) dans une certaine ville peut être approximée par

$$ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c $$

où $t$ est le temps en mois, $t = 0$ correspond au 1er janvier, et nous supposons que la fonction $T(t)$ a une période de 12 mois.

1. Trouvez $a$, $b$ (avec $b > 0$), $c$ et $d$ si $T$ a un maximum de $22,4^{\circ} \mathrm{C}$ à la mi-juillet ($t = 6,5$) et un minimum de $-10^{\circ} \mathrm{C}$.
2. En quel mois $T$ est-elle minimale ?
3. Pendant combien de mois $T$ est-elle supérieure à $18^{\circ} \mathrm{C}$ ?

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Solution

1. Les valeurs minimale et maximale de $T$, notées $T_{\text{max}}$ et $T_{\text{min}}$ respectivement, nous permettent de trouver $a$ et $c$ comme suit :

   Nous avons :

   $$ T_{\text{max}} = 22,4 \quad \text{et} \quad T_{\text{min}} = -10 $$

   $$ c = \dfrac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6,2 $$

   $$ |a| = \dfrac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16,2 \quad \text{(nous prenons } a > 0 \text{)} $$

   Le graphique de $T$ est celui d'une fonction cosinus $a \cos(bt)$ décalée de 6,5 unités vers la droite. Ainsi,

   $$ T(t) = 16,2 \cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2 $$

   Nous utilisons maintenant la période pour trouver $b$. La période est de 12, et comme

   $$ \text{Période} = \dfrac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{nous obtenons } b = \dfrac{\pi}{6} $$

   Ainsi, la fonction de température est

   $$ T(t) = 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 $$

2. Trouvez $t$ pour lequel $T$ est minimale. La valeur minimale de $T$ est -10. Nous résolvons :

   $$ 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = -10 $$

   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) = \pi $$

   $$ t = 12,5 $$

   Note : Nous aurions pu répondre à cela en utilisant le fait que la distance entre un maximum et le minimum suivant dans une fonction sinusoïdale est la moitié de la période. Donc,

   $$ t = 6,5 + \dfrac{1}{2}(12) = 12,5 \text{ mois} $$

   Puisque $t = 12,5$ est légèrement supérieur à une période (12 mois), cela correspond à la mi-janvier, ce qui signifie que la température est minimale autour de cette période.

3. Nous trouvons maintenant les temps $t_1$ et $t_2$ auxquels $T = 18$ en résolvant l'équation :

   $$ 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = 18 $$

   $$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = \dfrac{18 - 6,2}{16,2} $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) = \arccos\left( \dfrac{18 - 6,2}{16,2} \right) $$

   $$ t = \dfrac{6}{\pi} \arccos\left( \dfrac{18 - 6,2}{16,2} \right) + 6,5 = 7,94 \text{ mois} $$

   D'après le graphique de $T(t)$ et la ligne horizontale $y = 18$, la solution $t = 7,94$ correspond à $t_2 = 7,94$. Par symétrie,

   $$ t_1 = 6,5 - (t_2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 \text{ mois} $$

   Le nombre de mois pendant lesquels $T > 18$ est :

   $$ t_2 - t_1 = 7,94 - 5,06 = 2,88 \text{ mois (environ 3 mois)} $$

Le diamètre d'une grande grande roue est de 48 mètres et il faut 2,8 minutes pour que la roue fasse un tour complet. Un passager monte sur la roue à son point le plus bas qui est à 60 cm au-dessus du sol à $t = 0$.

1. Trouvez une fonction sinusoïdale $h(t)$ qui donne la hauteur $h$, en mètres, du passager au-dessus du sol en fonction du temps $t$ en minutes.
2. Trouvez les intervalles de temps pour lesquels le passager est à une hauteur inférieure à 30 mètres pour la période de temps allant de $t = 0$ à $t = 2,8$ minutes.
3. Combien de minutes, à partir de $t = 0$, faut-il au passager pour atteindre le point le plus haut pour la deuxième fois ?

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Solution

1. La hauteur minimale $h_{\text{min}}$ au-dessus du sol est de 0,6 mètre. La hauteur maximale $h_{\text{max}}$ est égale à la hauteur minimale plus le diamètre de la roue.

   $$ h_{\text{max}} = 0,6 + 48 = 48,6 $$

   Comme $h(t)$ est minimale à $t = 0$, il serait plus facile de la modéliser par une fonction cosinus réfléchie. Ainsi :

   $$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   $$ |a| = \dfrac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = -\dfrac{48,6 - 0,6}{2} = 24 $$

   Deux solutions pour $a$ sont $\pm 24$.

   Nous choisissons $a = -24$ où le signe moins tient compte de la réflexion sur l'axe horizontal.

   $$ c = \dfrac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \dfrac{48,6 + 0,6}{2} = 24,6 $$

   La période est de 2,8, et comme :

   $$ \text{période} = \dfrac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{2,8} $$

   $$ h(t) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 $$

   Vérification : À $t = 0$,

   $$ h(0) = -24 \cos(0) + 24,6 = -24(1) + 24,6 = 0,6 \, \text{m} $$

   À $t = 1,4$ (un demi-cycle plus tard),

   $$ h(1,4) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} \cdot 1,4 \right) + 24,6 = -24 \cos(\pi) + 24,6 = 48,6 \, \text{m} $$

2. Nous devons d'abord résoudre l'équation :

   $$ -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 = 30 $$

   $$ \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) = \dfrac{30 - 24,6}{-24} $$

   $$ t = \dfrac{2,8}{2\pi} \arccos\left( \dfrac{30 - 24,6}{-24} \right) = 0,8 \, \text{minute} $$

   La solution correspond à $t_1$, la première intersection du graphique de $h(t)$ et de la droite $y = 30$. Ainsi :

   $$ t_1 = 0,8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2,8 - 0,8 = 2 \, \text{min} $$

   $h(t) \lt 30$ de $t = 0$ à $t = 0,8$ et de $t = 2$ à $t = 2,8$, pour un total de 1,6 minute.

3. Le passager atteint le maximum à $t = \dfrac{1}{2} \cdot 2,8$ pour la première fois et à nouveau à :

   $$ t = \dfrac{1}{2} \cdot 2,8 + 2,8 = 4,2 \, \text{minutes} $$

   pour atteindre la hauteur maximale pour la deuxième fois.

En raison des attractions gravitationnelles de la lune et du soleil sur la Terre, l'eau des mers et des océans a tendance à monter et descendre périodiquement, ce que l'on appelle les marées hautes et basses. Dans une situation typique, le temps entre deux marées hautes est proche de 12 heures. Dans une certaine zone côtière, la profondeur de l'eau peut être approximée par une fonction sinusoïdale de la forme

$$ d(t) = -2,5 \cos[ b(t - 2) ] + 3,5 $$

où $d$ est en mètres et $t$ en heures, avec $t = 0$ correspondant à minuit.

1. Trouvez $b$ ($b > 0$) si $d$ a une période de 12 heures.
2. De $t = 0$ à $t = 12$, à quelle heure $d$ est-elle la plus petite (marée basse) et à quelle heure est-elle la plus élevée (marée haute) ?
3. De $t = 0$ à $t = 12$, quels sont les intervalles de temps pendant lesquels la profondeur de l'eau est de 4,5 mètres ou plus ?

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Solution

1. En utilisant la période, nous avons

   $$ 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ b = \dfrac{\pi}{6} $$

2. $d(t)$ est maintenant donné par

   $$ d(t) = -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 $$

   La plus petite valeur de $d$ est

   $$ -2,5 + 3,5 = 1 $$

   Ainsi $d$ est minimale pour $t$ tel que

   $$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 1 $$

   Résolvez pour obtenir :

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$

   $$ t = 2 \quad \text{(correspondant à 2h du matin)} $$

   La plus grande valeur de $d$ est

   $$ 2,5 + 3,5 = 6 $$

   Ainsi $d$ est maximale pour $t$ tel que

   $$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 6 $$

   Résolvez pour obtenir :

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$

   $$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$

   $$ t = 8 \quad \text{(correspondant à 10h du matin)} $$

   NOTE : Nous aurions pu répondre à la partie b) en utilisant le fait que la distance entre un minimum et le maximum suivant dans une fonction sinusoïdale est la moitié de la période. Donc,

   $$ d \text{ est maximale à } t = 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 8 $$

3. Nous devons d'abord trouver $t$ pour lequel $h(t) = 4,5$ en résolvant l'équation

   $$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 4,5 $$

   

   qui peut s'écrire :

   $$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2,5} $$

   Résolvez pour $t$ :

   $$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\dfrac{1}{2,5} \right) + 2 = 5,8 \text{ heures} $$

   $$ t_2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 \text{ heures (en utilisant la symétrie par rapport à la position du maximum)} $$

   Le nombre total d'heures pendant lesquelles $d(t) > 4,5 \, \text{m}$ est :

   $$ 10,2 - 5,8 = 4,4 \text{ heures} $$

En raison des marées hautes et basses, la profondeur $d$ de l'eau dans une zone côtière peut être exprimée par une fonction sinusoïdale. La marée haute se produit à 8h et la marée basse se produit 6 heures plus tard. Le niveau maximum de l'eau est de 2,8 mètres et le niveau le plus bas est de 0,4 mètre.

1. Utilisez des fonctions sinusoïdales pour trouver la profondeur $d(t)$ de l'eau, en mètres, en fonction du temps $t$ en heures. (Supposez que 8h correspond à $t = 0$).
2. Trouvez la profondeur de l'eau à midi.
3. Utilisez le graphique de $d(t)$ et des calculs analytiques pour calculer l'intervalle de temps pendant lequel la profondeur $d$ est inférieure à 1,5 m entre midi et 18h.

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Solution

1. Soit $d(t)$ écrit comme

   $$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   Le minimum $d_{\min}$ et le maximum $d_{\max}$ de $d$ sont

   $$ d_{\min} = 0,4 $$

   $$ d_{\max} = 2,8 $$

   $$ c = \dfrac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \dfrac{2,8 + 0,4}{2} = 1,6 $$

   $$ |a| = \dfrac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \dfrac{2,8 - 0,4}{2} = 1,2 $$

   Comme $d(t)$ a un minimum à $t = 0$ (8h), nous pouvons choisir $a = -1,2$ et $d = 0$

   $$ d(t) = -1,2 \cos(bt) + 1,6 $$

   où il est facile de vérifier que $d = -1,2 + 1,6 = 0,4$ à $t = 0$.

   Nous utilisons maintenant la période pour trouver $b$ ($b > 0$) comme suit

   $$ \text{période} = 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ \Rightarrow b = \dfrac{\pi}{6} $$

   $d(t)$ est maintenant écrit comme

   $$ d(t) = -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1,6 $$

   où il est facile de vérifier que le maximum se produit à $t = 6$.

2. À midi, $t = 4$, donc

   $$ d(4) = -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1,6 = 2,2 \, \text{m} $$

3. Le graphique de $d(t)$ est illustré ci-dessous avec des lignes verticales correspondant à midi et 18h et une ligne horizontale correspondant à $d = 1,5$. La profondeur de l'eau est inférieure à 1,5 de $t_0$ à 18h ($t = 10$). Nous devons trouver $t_0$, qui est un point d'intersection de $d(t)$ et $y = 1,5$, en résolvant l'équation

   $$ -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1,6 = 1,5 $$

   $$ t = \dfrac{6 \cdot \arccos\left( \dfrac{1,5 - 1,6}{-1,2} \right)}{\pi} \approx 2,84 $$

   La solution trouvée correspond au point d'intersection gauche de $d(t)$ et $y = 1,5$. Le point droit $t_0$ peut être trouvé en utilisant la symétrie du graphique par rapport au point maximum. Ainsi

   $$ t_0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 \, \text{heures} $$

   $0,16$ heures correspond à

   $$ 0,16 \times 60 \, \text{minutes} \approx 10 \text{ minutes} $$

   $9,16$ heures correspond à

   $$ \approx 17:10 \, \text{h} $$

   De midi à 18h, la profondeur de l'eau est inférieure à 1,5 de 17h10 à 18h.

Un système de panneaux solaires produit une puissance moyenne quotidienne $P$ qui change au cours de l'année. Elle est maximale le 21 juin (jour avec le plus grand nombre d'heures d'ensoleillement) et égale à $20 \ \text{kWh/jour}$. Nous supposons que $P$ varie avec le temps $t$ selon la fonction sinusoïdale :

$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

où $t = 0$ correspond au 1er janvier, $P$ est la puissance en kWh/jour, et $P(t)$ a une période de 365 jours (28 jours en février). La valeur minimale de $P$ est de $4 \ \text{kWh/jour}$.

1. Trouvez les paramètres $a$, $b$, $c$ et $d$.
2. Tracez $P(t)$ sur une période de $t = 0$ à $t = 365$.
3. À quel moment la puissance produite par le système solaire est-elle minimale ?
4. La puissance produite par ce système solaire est suffisante pour alimenter un groupe de machines si la puissance produite par le système est supérieure ou égale à $16 \ \text{kWh/jour}$. Pendant combien de jours par an la puissance produite par le système est-elle suffisante ?

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Solution

1. Soit $P(t)$ écrit comme

   $$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$

   Le minimum $P_{\text{min}}$ et le maximum $P_{\text{max}}$ de $P(t)$ sont donnés :

   $$ P_{\text{min}} = 4 $$

   $$ P_{\text{max}} = 20 $$

   $$ c = \dfrac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $$

   $$ |a| = \dfrac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \dfrac{20 - 4}{2} = 8 $$

   Nous devons maintenant trouver le nombre de jours $t$ après le 1er janvier où $P(t)$ est maximale en comptant les jours des mois de janvier à mai et en ajoutant 21 jours en juin :

   $$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$

   Nous utilisons maintenant la période pour trouver $b$ (avec $b > 0$) comme suit :

   $$ \text{période} = 365 = \dfrac{2\pi}{b} $$

   $$ \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{365} $$

   Une fonction cosinus sans décalage a un maximum à $t = 0$. $P(t)$ a un maximum à $t = 172$. Nous pouvons modéliser $P(t)$ par une fonction cosinus décalée de 172 unités vers la droite :

   $$ P(t) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$

   Vérifiez que $P(t)$ est maximale à $t = 172$ :

   $$ P(172) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$

2. Le graphique de $P(t)$ est présenté ci-dessous.

   

3. Il y a une différence d'une demi-période entre le maximum à $t = 172$ et le minimum qui suit ce maximum. Par conséquent, $P(t)$ est minimale à

   $$ t = 172 + 0,5(365) = 354,5 $$

   Les 11 premiers mois ont 334 jours. Par conséquent, 354,5 correspond au 21 décembre, le jour où $P(t)$ est minimale.

4. Pour trouver le nombre de jours pour lesquels la puissance produite est suffisante, nous devons trouver $t_1$ et $t_2$ correspondant aux points d'intersection de $P(t)$ et $y = 16$, comme le montre le graphique, en résolvant l'équation :

   $$ P(t) = 16 $$

   $$ 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$

   $$ \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \dfrac{1}{2} $$

   $$ t = 172 + \dfrac{365}{2\pi} \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 232,8 $$

   La solution trouvée ci-dessus est supérieure à 172, ce qui correspond au maximum. Par conséquent, la solution ci-dessus correspond à $t_2$ dans le graphique (solution de droite). La solution à gauche est trouvée par symétrie :

   $$ t_1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2 $$

   $$ t_2 - t_1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 \text{ jours} $$

   Le système produit suffisamment de puissance pendant environ 121 jours.