Comment tracer les fonctions sécante et cosécante avec des exemples

Tracez le graphique de $y = \sec(2x - \pi/3)$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

Image : $(-\infty , -1] \cup [ 1, +\infty)$

Période : Calculée en utilisant $\frac{2\pi}{|k|}$ :

$$ \text{Période} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$

Asymptotes verticales : Trouvez les asymptotes en résolvant l'intérieur de la fonction sécante pour les zéros du cosinus standard :

$$ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi $$

La résolution pour $x$ donne :

$$ 2x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k = 0 , \pm1, \pm2, \ldots $$

Translation horizontale (Déphasage) : En raison du terme $-\pi/3$, le graphique est décalé horizontalement. Nous factorisons d'abord la valeur de $k$ ($2$) pour réécrire la fonction donnée sous la forme standard $y = a\sec(k(x-d))$ :

$$ y = \sec\left[2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] $$

Nous pouvons maintenant identifier la translation horizontale comme étant $\frac{\pi}{6}$ vers la droite.

Tracé : Nous traçons $y = \sec(2x - \pi/3)$ en décalant le graphique de $y = \sec(2x)$ de $\pi/6$ vers la droite (graphique rouge ci-dessous), de sorte que la période tracée commence à $\pi/6$ et se termine à $\pi/6 + \pi = 7\pi/6$, ce qui correspond à une période complète égale à $\pi$.

Tracez le graphique de $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

Image : En raison du facteur d'étirement vertical $a = -3$, l'image s'étend :

$$ (-\infty , -3] \cup [ 3, +\infty) $$

Période : Calculée en utilisant $\frac{2\pi}{|k|}$ :

$$ \text{Période} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi $$

Asymptotes verticales : Trouvez les asymptotes en égalant l'intérieur de la fonction cosécante aux zéros du sinus standard ($k\pi$) :

$$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} = k\pi $$

En résolvant pour $x$, nous obtenons :

$$ \frac{x}{2} = k\pi - \frac{\pi}{2} \implies x = (2k - 1)\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Translation horizontale : En raison du terme $\frac{\pi}{2}$, le graphique est décalé horizontalement. En réécrivant la fonction en factorisant $\frac{1}{2}$ :

$$ y = -3 \csc\left(\frac{1}{2}(x + \pi)\right) $$

Cela montre une translation horizontale de $\pi$ unités vers la gauche.

Tracé : Nous traçons $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$ en décalant le graphique de $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2}\right)$ vers la gauche de $\pi$, de sorte que la période tracée commence à $-\pi$ et se termine à $-\pi + 4\pi = 3\pi$, ce qui correspond à une période complète.

Une fonction cosécante de la forme $y = a \csc(k(x - d))$ a une période de $6\pi$. Elle possède une asymptote verticale en $x = \pi$ et son minimum local se situe à $y = 4$. En supposant $a > 0$ et $k > 0$, déterminez l'équation de la fonction.

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Solution :

1. Trouver $k$ : La période est $6\pi$. Puisque $\text{Période} = \frac{2\pi}{k}$ pour $k > 0$ :
$$ \frac{2\pi}{k} = 6\pi \implies k = \frac{1}{3} $$

2. Trouver $a$ : Le minimum local d'un graphique de cosécante positive représente le début des formes en "U" ouvertes vers le haut. Pour $y = a \csc(\dots)$, cette valeur minimale est $a$. Ainsi, $a = 4$.

3. Trouver $d$ : Une fonction cosécante standard $y = \csc(x)$ a sa première asymptote positive à $x=0$, suivie d'une autre à exactement une demi-période, et une autre à une période complète. Puisque notre fonction $y = 4\csc(\frac{1}{3}(x-d))$ a un déphasage, utilisons la condition de l'asymptote :
L'intérieur de la cosécante doit être égal à zéro pour la première asymptote principale :
$$ \frac{1}{3}(x - d) = 0 \implies x = d $$

On nous dit qu'il y a une asymptote en $x = \pi$. Si nous définissons ceci comme le décalage principal, alors $d = \pi$.

Équation finale :
$$ y = 4 \csc\left(\frac{1}{3}(x - \pi)\right) $$

Donnez le facteur d'amplitude, la période, le déphasage, la translation verticale et l'image de la fonction : $$ y = -2 \sec\left(3x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 $$ Puis, trouvez les équations de ses asymptotes verticales.

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Solution :

1. Forme standard : Factorisez 3 pour identifier le vrai déphasage.
$$ y = -2 \sec\left[3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] + 1 $$

2. Paramètres :
* Facteur d'amplitude ($|a|$) : $2$ (Note : Les courbes sécantes n'ont pas une vraie "amplitude" car elles s'étirent jusqu'à l'infini, mais le facteur d'étirement est 2, inversé par le signe négatif).
* Période : $\frac{2\pi}{3}$
* Déphasage (Translation horizontale) : $\frac{\pi}{6}$ vers la droite.
* Translation verticale : 1 unité vers le haut.
* Image : Les maximums locaux sont à $c - |a| = 1 - 2 = -1$. Les minimums locaux sont à $c + |a| = 1 + 2 = 3$. Par conséquent, l'image est $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

3. Asymptotes verticales : Égalisez l'intérieur de la sécante à $\frac{\pi}{2} + n\pi$ (où $n$ est un entier) :
$$ 3x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $$
$$ 3x = \pi + n\pi $$
$$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{n\pi}{3} $$