Tracer les fonctions sinus et cosinus

Tracez le graphique de $y = 2 \cos(x) + 1$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

• Amplitude : $|2| = 2$
• Période : $2\pi$
• Translation verticale : $1$ (1 unité vers le haut)
• Déplacement horizontal : $0$

Trois étapes pour tracer la fonction $y = 2 \cos(x) + 1$ :

1) Nous commençons par tracer $y = \cos(x)$ en utilisant les valeurs de $x$ et $y$ du cercle trigonométrique (graphique bleu ci-dessous).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$

2) Nous traçons ensuite $y = 2 \cos(x)$ en étirant $y = \cos(x)$ par un facteur de 2 (graphique vert ci-dessous).

3) Enfin, tracez $y = 2 \cos(x) + 1$ en décalant d'une unité vers le haut (graphique rouge ci-dessous).

Tracez le graphique de $y = - 2 \sin(x) - 1$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

• Amplitude : $|-2| = 2$
• Période : $2\pi$
• Translation verticale : $-1$ (1 unité vers le bas)
• Déplacement horizontal : $0$

Trois étapes pour tracer la fonction $y = - 2 \sin(x) - 1$ :

1) Nous commençons par tracer $y = \sin(x)$ en utilisant les valeurs de $x$ et $y$ du cercle trigonométrique (graphique bleu ci-dessous).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

2) Nous traçons ensuite $y = - 2 \sin(x)$ en étirant $y = \sin(x)$ par un facteur de 2 et en le reflétant par rapport à l'axe des x (graphique vert ci-dessous).

3) Enfin, tracez $y = - 2 \sin(x) - 1$ en décalant d'une unité vers le bas (graphique rouge ci-dessous).

Tracez le graphique de $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

• Amplitude : $|3| = 3$
• Période : $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
• Translation verticale : $-1$ (1 unité vers le bas)

Déplacement horizontal (Déphasage) : En raison du terme $\dfrac{\pi}{3}$, le graphique est décalé horizontalement. Nous réécrivons d'abord la fonction donnée comme :
$$ y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 $$
et nous pouvons maintenant écrire le décalage comme étant égal à $\dfrac{\pi}{6}$ vers la gauche.

Trois étapes pour tracer la fonction $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ :

1) Nous commençons par tracer $3 \cos(2x)$ avec des valeurs minimale et maximale de -3 et +3 sur une période $= \pi$ (graphique bleu ci-dessous).

2) Nous traçons ensuite $y = 3 \cos(2x) - 1$ en translatant le graphique précédent d'une unité vers le bas (graphique vert ci-dessous).

3) Nous décalons maintenant le graphique précédent de $\dfrac{\pi}{6}$ vers la gauche (graphique rouge ci-dessous) de sorte que la période tracée commence à $-\dfrac{\pi}{6}$ et se termine à $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$, ce qui représente une période $= \pi$.

Tracez le graphique de $y = -0,2 \sin\left(0,5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0,1$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

• Amplitude : $|-0,2| = 0,2$
• Période : $\dfrac{2\pi}{0,5} = 4\pi$
• Translation verticale : $0,1$ (0,1 unité vers le haut)

Déplacement horizontal : En raison du terme $- \dfrac{\pi}{6}$, le graphique est décalé horizontalement. Nous réécrivons d'abord la fonction donnée comme :
$$ y = -0,2 \sin\left( 0,5\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \right) + 0,1 $$
et nous pouvons maintenant écrire le décalage comme étant égal à $\dfrac{\pi}{3}$ vers la droite.

Trois étapes pour tracer la fonction $y = -0,2 \sin\left(0,5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0,1$ :

1) Nous commençons par tracer $y = -0,2 \sin(0,5x)$ avec des valeurs minimale et maximale de $-0,2$ et $0,2$ sur une période $= 4\pi$ (graphique bleu ci-dessous).

2) Nous traçons ensuite $y = -0,2 \sin(0,5x) + 0,1$ en translatant le graphique précédent de 0,1 unité vers le haut (graphique vert ci-dessous).

3) Nous décalons ensuite le graphique précédent de $\dfrac{\pi}{3}$ vers la droite (graphique rouge ci-dessous) de sorte que la période tracée commence à $\dfrac{\pi}{3}$ et se termine à $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$, ce qui représente une période $= 4\pi$.

Tracez le graphique de $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

• Amplitude : $|2| = 2$
• Période : $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
• Translation verticale : $-2$ (2 unités vers le bas)

Déplacement horizontal : En raison du terme $-60^\circ$, le graphique est décalé horizontalement. Nous réécrivons d'abord la fonction donnée comme :
$$ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 $$
et nous pouvons maintenant écrire le décalage comme étant égal à $30^\circ$ vers la droite.

Trois étapes pour tracer la fonction $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ :

1) Nous commençons par tracer $y = 2 \cos(2x)$ avec des valeurs minimale et maximale de $-2$ et $+2$ sur une période $= 180^\circ$ (graphique bleu ci-dessous).

2) Nous traçons ensuite $y = 2 \cos(2x) - 2$ en translatant le graphique précédent de 2 unités vers le bas (graphique vert ci-dessous).

3) Enfin, nous décalons le graphique précédent de $30^\circ$ vers la droite (graphique rouge ci-dessous) de sorte que la période tracée commence à $30^\circ$ et se termine à $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$, ce qui représente une période $= 180^\circ$.

Tracez le graphique de $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ sur une période.

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Solution :

Paramètres de tracé

• Amplitude : $|-2| = 2$
• Période : $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
• Translation verticale : $-1$ (1 unité vers le bas)

Déplacement horizontal : En raison du terme $\dfrac{\pi}{3}$, le graphique est décalé horizontalement. Nous réécrivons d'abord la fonction donnée comme :
$$ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 $$
et nous pouvons maintenant écrire le décalage comme étant égal à $\pi$ vers la gauche.

Trois étapes pour tracer la fonction $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ :

1) Nous commençons par tracer $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$ avec des valeurs minimale et maximale de $-2$ et $+2$ sur une période $= 6\pi$ (graphique bleu ci-dessous).

2) Nous traçons ensuite $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$ en translatant le graphique précédent d'une unité vers le bas (graphique vert ci-dessous).

3) Nous décalons ensuite le graphique précédent de $\pi$ vers la gauche (graphique rouge ci-dessous) de sorte que la période tracée commence à $-\pi$ et se termine à $5\pi$, ce qui représente une période $= 6\pi$.