Quelle est la période de la fonction $y = \tan(2x + \dfrac{\pi}{2})$ ?

La période est $\dfrac{\pi}{2}$. Pour les fonctions tangente et cotangente, la période de base est $\pi$, donc la formule est $\dfrac{\pi}{|k|}.

Où se situent les asymptotes verticales pour la fonction de base $y = \cot(x)$ ?

Les asymptotes verticales pour $y = \cot(x)$ se situent à $x = k\pi$, où $k$ est un entier. Cela est dû au fait que $\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$, et $\sin(x) = 0$ à $k\pi$.

Comment trouver les asymptotes verticales d'une fonction tangente ?

Parce que $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, les asymptotes verticales se produisent partout où le dénominateur, $\cos(x)$, égale zéro. Pour la fonction de base, c'est à $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Pour les fonctions transformées, égalisez l'intérieur de la fonction tangente à $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ et résolvez pour $x$.

Quelle est l'image des fonctions tangente et cotangente ?

Contrairement au sinus et au cosinus, qui sont bornés, l'image des fonctions tangente et cotangente est l'ensemble des nombres réels : $(-\infty, \infty)$.

Tracer les fonctions tangente et cotangente

Cette page explique le tracé des fonctions tangente et cotangente de la forme :

$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{et} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$

Des exemples détaillés sont fournis ci-dessous pour aider les élèves à comprendre leur comportement, leurs asymptotes et les transformations de graphiques.

Paramètres de tracé des fonctions $y = \tan(x)$ et $y = \cot(x)$

Image : $ (- \infty , +\infty) $

Période : $ \pi $ (Note : Ceci est différent du sinus/cosinus qui ont une période de base de $2\pi$)

Déplacement horizontal (Translation) : $d$. Le graphique se décale vers la gauche si $(- d)$ est positif, et vers la droite si $(- d)$ est négatif.

Asymptotes verticales de la tangente : Se situent aux zéros du cosinus, donnés par :

$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Asymptotes verticales de la cotangente : Se situent aux zéros du sinus, donnés par :

$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Identités : Pour comprendre les propriétés clés de ces fonctions, rappelez-vous les identités de rapport :

$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{et} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

Tous les zéros de $\sin(x)$ correspondent aux zéros de $\tan(x)$. Tous les zéros de $\cos(x)$, qui apparaissent au dénominateur, correspondent aux asymptotes verticales de $\tan(x)$.

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Tous les zéros de $\cos(x)$ correspondent aux zéros de $\cot(x)$. Tous les zéros de $\sin(x)$, qui sont au dénominateur, correspondent aux asymptotes verticales de $\cot(x)$.

Tracer les fonctions tangente et cotangente : Exemples avec solutions détaillées

Exemple 1 : Tracer une fonction tangente transformée

Tracez le graphique de $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ sur une période.

Solution :

Paramètres de tracé

Image : $(- \infty , +\infty)$

Période : Calculée en utilisant la période de base de la tangente $\pi$ :

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$

Asymptotes verticales : Se produisent là où l'intérieur de la fonction tangente est égal aux asymptotes de base $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ :

$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

Ce qui se simplifie en :

$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Translation horizontale : La translation horizontale due à $\dfrac{\pi}{2}$ permet de réécrire la fonction en factorisant le $2$ :

$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$

Cela signifie que le graphique se décale de $\dfrac{\pi}{4}$ unités vers la gauche.

Deux étapes pour tracer la fonction $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ :

1) Tracez $\tan(2x)$ sur une période de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ (graphique bleu ci-dessous).

2) Tracez ensuite $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$ en translatant le graphique précédent de $\dfrac{\pi}{4}$ vers la gauche (graphique rouge ci-dessous), faisant commencer la période à $- \dfrac{\pi}{4}$ et se terminer à $\dfrac{\pi}{4}$, ce qui est une période complète de $\dfrac{\pi}{2}$.

Exemple 2 : Tracer une fonction cotangente transformée

Tracez le graphique de $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ sur une période.

Solution :

Paramètres de tracé

Image : $(- \infty , +\infty)$

Période : Calculée en utilisant la période de base de la cotangente $\pi$ :

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$

Asymptotes verticales : Trouvées en résolvant quand l'intérieur de la fonction cotangente est égal à $k\pi$ :

$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$

Ce qui donne :

$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Translation horizontale : La translation horizontale due à $- \dfrac{\pi}{4}$ peut être identifiée en factorisant le $4$ :

$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$

Cela représente un décalage de $\dfrac{\pi}{16}$ unités vers la droite.

Deux étapes pour tracer la fonction $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ :

1) Commencez par tracer $\cot(4x)$ sur une période de $0$ à $\dfrac{\pi}{4}$ (graphique bleu).

2) Tracez ensuite $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$ en translatant le graphique de $\dfrac{\pi}{16}$ vers la droite (graphique rouge ci-dessous), faisant commencer la période à $\dfrac{\pi}{16}$ et se terminer à $\dfrac{5\pi}{16}$, ce qui représente une période complète.

Paramètres de tracé des fonctions $y = \tan(x)$ et $y = \cot(x)$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Tracer les fonctions tangente et cotangente : Exemples avec solutions détaillées

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