Résoudre des équations incluant des fonctions trigonométriques inverses

Résoudre pour $x$ l'équation $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$.

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Solution :

Divisez les deux côtés de l'équation par 3.

$$ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} $$

Appliquez $\sin$ aux deux côtés et simplifiez.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $$

Ce qui précède se simplifie en

$$ x = \dfrac{1}{2} $$

En raison du domaine de $\arcsin(x)$, nous devons vérifier que la solution obtenue est valide.

Vérification de la solution :

Pour $x = \dfrac{1}{2}$

• Côté droit de l'équation : $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
• Côté gauche de l'équation : $\dfrac{\pi}{2}$

La solution à l'équation ci-dessus est $x = \dfrac{1}{2}$.

L'approximation graphique de la solution à l'équation donnée est présentée ci-dessous. La coordonnée x du point d'intersection des graphiques constituant le côté gauche et le côté droit de l'équation donnée est $0,5$, ce qui est la solution trouvée analytiquement.

Résoudre pour $x$ l'équation $3 \cot(\arccos(x)) = 2$.

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Solution :

Divisez les deux côtés de l'équation donnée par 3 et simplifiez.

$$ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} $$

Soit $A = \arccos(x)$ et appliquez $\cos$ des deux côtés pour obtenir.

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

En utilisant la définition de $A$ ci-dessus, l'équation peut s'écrire

$$ \cot(A) = \dfrac{2}{3} $$

Utilisez $\cot(A) = \dfrac{2}{3}$ pour construire un triangle rectangle et trouver $\cos(A)$. Trouvez d'abord l'hypoténuse $h$.

$$ h = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $$

Nous utilisons maintenant le même triangle montré ci-dessus pour trouver $\cos(A)$.

$$ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0,55 $$

L'approximation graphique de la solution à l'équation donnée est présentée ci-dessous.

Résoudre pour $x$ l'équation $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

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Solution :

Appliquez la fonction $\sin$ des deux côtés.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) $$

Simplifiez le côté gauche en utilisant l'identité $\sin(\arcsin(A)) = A$.

$$ x = \sin(\arccos(x)) $$

Soit $A = \arccos(x)$, alors $\cos(A) = x$. En utilisant la trigonométrie du triangle rectangle (ou l'identité pythagoricienne) :

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Utilisez ce qui précède pour réécrire l'équation donnée sous forme algébrique.

$$ x = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Élevez les deux côtés au carré.

$$ x^2 = 1 - x^2 $$

$$ 2x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} $$

En raison du domaine de la fonction arccos et du fait que nous avons élevé les deux côtés de l'équation au carré, nous devons vérifier les solutions et éliminer celles qui sont invalides (étrangères).

Vérification de la solution :

1) Pour $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Côté gauche : $\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
• Côté droit : $\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ est une solution à l'équation donnée.

2) Pour $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Côté gauche : $\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
• Côté droit : $\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$

$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ n'est PAS une solution à l'équation donnée.

L'approximation graphique de la solution à l'équation donnée est présentée ci-dessous. La coordonnée x du point d'intersection $0,71$ est proche de $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Résoudre pour $x$ l'équation $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$.

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Solution :

Appliquez la fonction $\cos$ des deux côtés.

$$ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Simplifiez le côté gauche en utilisant l'identité $\cos(\arccos(A)) = A$.

$$ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Développez le côté droit en utilisant l'identité de l'angle composé $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

$$ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $$

Utilisez les valeurs connues : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin(\arcsin(x)) = x$, et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.

$$ x = \cos(\arcsin(x)) \cdot 0 - x \cdot 1 $$

$$ x = -x $$

$$ 2x = 0 $$

$$ x = 0 $$

Vérification de la solution :

• Côté gauche : $\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
• Côté droit : $\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 0$ est une solution valide à l'équation donnée.

L'approximation graphique de la solution à l'équation donnée est présentée ci-dessous. La coordonnée x du point d'intersection est égale à $0$, exactement comme la valeur calculée analytiquement ci-dessus.

Résoudre pour $x$ l'équation $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$.

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Solution :

Appliquez la fonction cosinus des deux côtés.

$$ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) $$

Simplifiez le côté gauche en utilisant l'identité inverse, et développez le côté droit en utilisant la formule de l'angle composé.

Côté gauche : $\cos(\arccos(2x)) = 2x$

Côté droit :

$$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) $$

$$ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

En égalant les deux côtés, réécrivez l'équation avec le radical isolé sur le côté droit.

$$ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

$$ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} $$

Élevez les deux côtés au carré.

$$ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) $$

Multipliez par 4 pour éliminer les dénominateurs :

$$ 9x^2 = 3(1 - x^2) $$

$$ 9x^2 = 3 - 3x^2 $$

$$ 12x^2 = 3 $$

$$ x^2 = \dfrac{1}{4} $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{2} $$

Vérification de la solution :

1) Pour $x = \dfrac{1}{2}$

• Côté gauche : $\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
• Côté droit : $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

$\implies x = \dfrac{1}{2}$ n'est PAS une solution.

2) Pour $x = -\dfrac{1}{2}$

• Côté gauche : $\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
• Côté droit : $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$

$\implies x = -\dfrac{1}{2}$ est une solution valide à l'équation donnée.

L'approximation graphique de la solution à l'équation donnée est présentée ci-dessous. Le point d'intersection a une coordonnée x égale à $-0,5$, ce qui est exactement la solution trouvée analytiquement.