Exemples de résolution d'inéquations rationnelles avec solutions

Résolvez l'inéquation :

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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Solution :

Étape 1 : Identifier les points critiques (zéros du numérateur et du dénominateur)

Les points critiques se situent là où l'expression est nulle ou indéfinie.

• Numérateur : $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• Dénominateur : $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Les points critiques sont donc : $x = -1$ (indéfini) et $x = 2$ (zéro).

Étape 2 : Diviser la droite numérique en intervalles

Utilisez les points critiques pour diviser la droite numérique :

• Intervalle 1 : $(-\infty, -1)$
• Intervalle 2 : $(-1, 2)$
• Intervalle 3 : $(2, \infty)$

Étape 3 : Tester un point dans chaque intervalle

Choisissez une valeur dans chaque intervalle et testez le signe de l'expression.

Intervalle 1 : $x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{Positif}) $$

Intervalle 2 : $x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{Négatif}) $$

Intervalle 3 : $x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{Positif}) $$

Étape 4 : Inclure ou exclure les points critiques

$x = -1$ rend le dénominateur nul et est donc exclu.

$x = 2$ rend le numérateur nul, ce qui satisfait $\ge 0$, et est donc inclus.

Réponse finale : L'ensemble solution de l'inéquation donnée est :

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

Résolvez l'inéquation :

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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Solution :

Étape 1 : Réécrire l'inéquation avec zéro d'un côté

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

Réécrivez avec un dénominateur commun :

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

Simplifiez le numérateur :

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

L'inéquation devient donc :

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

Étape 2 : Identifier les points critiques

• Numérateur : $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• Dénominateur : $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Les points critiques sont donc : $x = -5$ (zéro) et $x = -3$ (indéfini).

Étape 3 : Diviser la droite numérique en intervalles

• Intervalle 1 : $(-\infty, -5)$
• Intervalle 2 : $(-5, -3)$
• Intervalle 3 : $(-3, \infty)$

Étape 4 : Tester un point dans chaque intervalle

Intervalle 1 : $x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

Intervalle 2 : $x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

Intervalle 3 : $x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

Étape 5 : Inclure ou exclure les points critiques

$x = -3$ rend le dénominateur nul et est donc exclu.

$x = -5$ rend le numérateur nul, ce qui satisfait $\le 0$, et est donc inclus.

Réponse finale : L'ensemble solution de l'inéquation donnée est :

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

Résolvez l'inéquation :

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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Solution :

Étape 1 : Factoriser le numérateur et le dénominateur

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

L'inéquation devient :

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

Étape 2 : Identifier les points critiques

Numérateur :

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Dénominateur :

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Les points critiques sont : $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$.

Étape 3 : Arranger les points critiques sur la droite numérique

De gauche à droite sur la droite numérique : $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. Les intervalles sont donc :

• Intervalle 1 : $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• Intervalle 2 : $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• Intervalle 3 : $(-2, 1)$
• Intervalle 4 : $(1, 3)$
• Intervalle 5 : $(3, \infty)$

Étape 4 : Tester un point dans chaque intervalle

Intervalle 1 : $x = -3$

$$ \dfrac{(4(-3) + 9)(-3 - 1)}{(-3 - 3)(-3 + 2)} = \dfrac{(-3)(-4)}{(-6)(-1)} = \dfrac{12}{6} = 2 > 0 $$

Intervalle 2 : $x = -2,1$

$$ \dfrac{(4(-2,1) + 9)(-2,1 - 1)}{(-2,1 - 3)(-2,1 + 2)} \approx -3,64705\dots < 0 $$

Intervalle 3 : $x = 0$

$$ \dfrac{(4(0) + 9)(0 - 1)}{(0 - 3)(0 + 2)} = \dfrac{(9)(-1)}{(-3)(2)} = \dfrac{-9}{-6} = 1,5 > 0 $$

Intervalle 4 : $x = 2$

$$ \dfrac{(4(2) + 9)(2 - 1)}{(2 - 3)(2 + 2)} = \dfrac{(17)(1)}{(-1)(4)} = \dfrac{17}{-4} = -4,25 < 0 $$

Intervalle 5 : $x = 4$

$$ \dfrac{(4(4) + 9)(4 - 1)}{(4 - 3)(4 + 2)} = \dfrac{(25)(3)}{(1)(6)} = \dfrac{75}{6} > 0 $$

Étape 5 : Inclure ou exclure les points critiques

• $x = -\dfrac{9}{4}$ et $x = 1$ $\to$ zéros du numérateur $\to$ satisfont $\ge 0$ $\to$ inclus
• $x = -2$ et $x = 3$ $\to$ rendent le dénominateur nul $\to$ exclus

Étape 6 : Déterminer où l'expression est $\ge 0$

• $(-\infty, -\dfrac{9}{4}]$ : positif $\to$ inclus
• $(-\dfrac{9}{4}, -2)$ : négatif $\to$ exclu
• $(-2, 1]$ : positif $\to$ inclus
• $(1, 3)$ : négatif $\to$ exclu
• $(3, \infty)$ : positif $\to$ inclus

Réponse finale :

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

Résolvez l'inéquation :

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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Solution :

Étape 1 : Factoriser l'expression

• Numérateur : $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• Dénominateur : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

L'inéquation devient donc :

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

Étape 2 : Identifier les points critiques

• $x + 1 = 0 \implies x = -1$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Note : $x^2 - x + 1$ n'a pas de racines réelles car son discriminant est négatif ($\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$). De plus, comme le coefficient dominant est positif, ce terme est toujours positif pour tout $x$ réel et n'affectera pas le tableau de signes.

Les points critiques sont : $x = -3$ (indéfini), $x = -1$ (zéro), $x = 3$ (indéfini).

Étape 3 : Diviser la droite numérique en intervalles

• Intervalle 1 : $(-\infty, -3)$
• Intervalle 2 : $(-3, -1)$
• Intervalle 3 : $(-1, 3)$
• Intervalle 4 : $(3, \infty)$

Étape 4 : Tester un point dans chaque intervalle

Intervalle 1 : $x = -4$

$$ \dfrac{(-3)(21)}{(-7)(-1)} = \dfrac{-63}{7} = -9 < 0 $$

Intervalle 2 : $x = -2$

$$ \dfrac{(-1)(7)}{(-5)(1)} = \dfrac{-7}{-5} = \dfrac{7}{5} > 0 $$

Intervalle 3 : $x = 0$

$$ \dfrac{(1)(1)}{(-3)(3)} = \dfrac{1}{-9} < 0 $$

Intervalle 4 : $x = 4$

$$ \dfrac{(5)(13)}{(1)(7)} = \dfrac{65}{7} > 0 $$

Étape 5 : Inclure ou exclure les points critiques

$x = -3$ et $x = 3$ rendent le dénominateur nul et sont donc exclus.

$x = -1$ rend le numérateur nul, ce qui ne satisfait pas $< 0$ (inéquation stricte) et est donc exclu.

Réponse finale : L'ensemble solution de l'inéquation donnée est :

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

Résolvez graphiquement :

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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Solution :

Tracez les deux côtés de l'inéquation et approximez les coordonnées des points d'intersection des deux graphiques ; déterminez ensuite les intervalles sur lesquels $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ est supérieur ou égal à $\ln(x + 1)$.

$\ln(x + 1)$ est définie pour $x > -1$, donc tout ensemble solution doit satisfaire $x > -1$. La fonction $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ a une asymptote verticale en $x = 1$.

D'après les graphiques, $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (vert) est supérieur ou égal à $\ln(x + 1)$ (rouge) pour :

$$ (-1, -0,59] \cup (1, 4,88] $$

Résolvez l'inéquation rationnelle double :

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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Solution :

Une inéquation double doit être résolue en la scindant en deux inéquations distinctes. La solution finale est l'intersection (le chevauchement) des deux ensembles solutions.

Partie 1 : Inéquation de gauche

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

Trouvez un dénominateur commun :

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

Points critiques : $x = -\dfrac{1}{3}$ et $x = -2$.

Le tableau de signes pour $(-\infty, -2)$, $(-2, -1/3)$, $(-1/3, \infty)$ donne des résultats positifs sur les intervalles extérieurs.

Ensemble solution 1 : $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

Partie 2 : Inéquation de droite

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

Trouvez un dénominateur commun :

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

Points critiques : $x = -7$ et $x = -2$.

Le tableau de signes pour $(-\infty, -7)$, $(-7, -2)$, $(-2, \infty)$ donne des résultats négatifs sur les intervalles extérieurs. Nous incluons $-7$ à cause du signe $\le$.

Ensemble solution 2 : $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

Intersection :

Nous devons trouver où la Solution 1 ET la Solution 2 se chevauchent.

• Les côtés gauches se chevauchent de $(-\infty, -7]$.
• Les côtés droits se chevauchent de $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$.

Réponse finale :

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

Résolvez l'inéquation :

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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Solution :

Ce problème introduit le concept de multiplicité. Lorsqu'un facteur est au carré (ou a une puissance paire), le signe de l'expression ne changera pas lors du passage par ce point critique. Lorsqu'un facteur a une puissance impaire, le signe changera.

Étape 1 : Identifier les points critiques

• Numérateur : $x = 3$ (multiplicité paire), $x = -1$ (multiplicité impaire)
• Dénominateur : $x = 2$ (multiplicité impaire, exclu)

Étape 2 : Tableau de signes

Intervalles à tester : $(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• Test $x = -2$ : $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• Test $x = 0$ : $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (Cet intervalle fonctionne)
• Test $x = 2,5$ : $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• Test $x = 4$ : $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (Notez que le signe n'a pas changé en passant par $x=3$)

Étape 3 : Analyser les points d'extrémité

Nous avons besoin de savoir où la fonction est négative OU exactement zéro.

• L'intervalle $(-1, 2)$ est négatif.
• $x = -1$ donne zéro (Inclus).
• $x = 2$ rend indéfini (Exclu).
• $x = 3$ donne zéro (Inclus).

Bien que l'intervalle autour de $3$ soit positif, le point exact $x=3$ donne $0$, ce qui satisfait $\le 0$. Cela crée un point de solution isolé.

Réponse finale :

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$