Si \( \sin(x) = \dfrac{2}{5}\) et x est un angle aigu, trouver les valeurs exactes de
a) \( \cos(2x) \)
b) \( \cos(4x) \)
c) \( \sin(2x) \)
d) \( \sin(4x) \)
Trouvez la longueur du côté AB dans la figure ci-dessous. Arrondissez votre réponse à 3 chiffres significatifs.
.
Solutions aux problèmes ci-dessus
Nous commençons par le côté gauche de l'identité donnée
Utilisez l'identité \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) dans la partie gauche de l'identité donnée.
\( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{ \sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \sin^2(x) \tan^2(x) \) qui est égal au membre droit de l'identité donnée.
Utilisez les identités \( \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \) et \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) dans le côté gauche de l'identité donnée.
\( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} \)
\( = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x)) } \)
\( = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
\( = \cot(x) \) qui est égal au membre droit de l'identité donnée.
Utilisez l'identité \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) pour écrire \( \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \) à droite côté de l'identité donnée.
\( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)}\)
\( = 2 \sin(2x) \)
\( = 2 \times 2 \sin(x) \cos(x) \)
\( = 4 \sin(x) \cos(x) \) qui est égal au côté gauche de l'identité donnée.
Utilisez l'identité \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) pour écrire \( \sin(x) \) comme
\( \sin(x) = \sin(2 \times x/2) = 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) \)
et utilisez dans le côté droit de l'équation donnée pour l'écrire comme suit
\( 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) + \sin(x / 2) = 0 \)
Facteur \( \sin(x / 2) \)
\( \sin(x/2) ( 2 \cos(x/2) + 1 ) = 0 \)
ce qui donne deux équations à résoudre
\( \sin(x/2) = 0 \) ou \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \)
a) L'équation \( \sin(x / 2) = 0 \) a pour solutions \( x / 2 = 0 \) ou \( x / 2 = \pi \)
Résolvez pour x pour obtenir les solutions : \( x = 0 \) ou \( x = 2 \pi \)
b) L'équation \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \) conduit à \( \cos(x/2) = -1/2 \) qui a pour solutions \( x/2 = 2 \pi/ 3 \) et \( x/2 = 4 \pi/3 \)
Résolvez pour x pour obtenir les solutions : \( x = 4 \pi/3 \) et \( x = 8 \pi/3 \)
Notez que \( 8 \pi/3 \) est supérieur à \( 2 \pi \) et n'est donc pas accepté.
Les solutions finales pour l'équation donnée sont : \( \{ 0 , 4 \pi/3 , 2 \pi \} \)
L'équation donnée est déjà factorisée
\( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \)
ce qui conduit à deux équations
\( 2\sin(x) - 1 = 0 \) ou \( \tan(x) - 1 = 0 \)
Les équations ci-dessus peuvent être écrites comme
\( \sin(x) = 1/2 \) ou \( \tan(x) = 1 \)
Les solutions de \( \sin(x) = 1/2 \) sont les solutions : \( x = \pi/6 \) et\( x = 5 \pi/6 \)
Les solutions de \( \tan(x) = 1 \) sont : \( x = \pi /4 \) et \( x = 5 \pi/4 \)
Les solutions de l'équation donnée dans l'intervalle donné sont : \( \{\pi/6, 5 \pi/6 , \pi /4 , 5 \pi/4 \}\)
Utilisez la formule pour \( \cos(A + B) \) pour écrire
\( \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) \) .
D'où l'équation donnée
\( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \)
peut s'écrire comme
\( \cos(3x) = 0 \)
Résolvez l'équation ci-dessus pour \( 3x \) pour obtenir :
\( 3x = \pi/2 \), \( 3x = 3\pi/2 \), \( 3x = 5\pi/2 \), \( 3x = 7\pi/2 \), \( 3x = 9\pi/2 \) et \( 3x = 11\pi/2 \)
Résolvez ce qui précède pour x pour obtenir les solutions : \( \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 7\pi/6, 3\pi/2 , 11\pi/6 \} \ )
Utilisez les identités \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) et \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) pour réécrire l'expression donnée comme suit
\( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } = \dfrac{ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos (x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1 } \)
Simplifier le côté droit et factoriser le numérateur et le dénominateur
\( = \dfrac{\cos(x)( 2 \sin(x) -1) }{ \sin(x)( - 2 \sin(x) + 1) } \)
Simplifier
\( = - \dfrac{\cos(x)}{ \sin(x)} \)
\( = - \cot(x) \)
\( 105^{\circ} \) peut être écrit comme la somme de deux angles spéciaux comme suit :
\( 105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}\)
Ainsi
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \)
Utilisez les identités \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ}) \sin(45^{ \circ}) \)
Utiliser le tableau des angles spéciaux
\( = (\sqrt {3} / 2 )(\sqrt {2}/2) + (1/2)(\sqrt {2}/2) \)
\( = \dfrac{ \sqrt {6} + \sqrt {2} } {4} \)
Notez que le triangle \( DAC \) est isocèle et donc si nous traçons la perpendiculaire de D à AC, elle coupera AC en deux moitiés et coupera l'angle D. Par conséquent
.
\( (1/2) CA = 10 \sin(35^{\circ}) \)
qui donne
\( CA = 20 \sin(35^{\circ}) \)
Notez que les deux angles internes B et C du triangle ABC totalisent \( 90^{\circ} \) et donc le troisième angle du triangle ABC est un angle droit.
On peut donc écrire
\( \tan(32^{\circ}) = AB / AC \)
Qui donne
\( AB = AC \tan(32^{\circ}) \)
\( = 20 \sin(35^{\circ})\tan(32^{\circ}) = 7,17 \quad \) (arrondi à 3 chiffres significatifs)
