Problèmes et questions de trigonométrie avec solutions

Démontrez l'identité : $$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$

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Solution :

Nous commençons par le côté gauche de l'identité donnée.

Utilisez l'identité $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ pour écrire :

$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) $$

$$ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) $$

Trouvez un dénominateur commun :

$$ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

Factorisez $\sin^2(x)$ au numérateur :

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} $$

Appliquez l'identité pythagoricienne $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$ :

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

$$ = \sin^2(x) \tan^2(x) $$

Ceci est exactement égal au côté droit de l'identité donnée.

Démontrez l'identité : $$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$

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Solution :

Utilisez les identités de l'angle double $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ et $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ dans le côté gauche de l'identité donnée :

$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} $$

$$ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Simplifiez le numérateur en annulant le $1$ et le $-1$ :

$$ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Factorisez $\cos(x)$ au numérateur et $\sin(x)$ au dénominateur :

$$ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x))} $$

Annulez le facteur binomial commun $(1 + 2 \cos(x))$ :

$$ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = \cot(x) $$

Ceci est égal au côté droit.

Démontrez l'identité : $$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$

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Solution :

Utilisez l'identité de l'angle double $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$. En substituant $\theta = 2x$, nous pouvons réécrire $\sin(4x)$ sous la forme $2 \sin(2x) \cos(2x)$.

Substituez ceci dans le côté droit de l'identité donnée :

$$ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} $$

Annulez $\cos(2x)$ :

$$ = 2 \sin(2x) $$

Appliquez à nouveau l'identité de l'angle double pour $\sin(2x)$ :

$$ = 2 \times [2 \sin(x) \cos(x)] $$

$$ = 4 \sin(x) \cos(x) $$

Ceci est égal au côté gauche.

Résolvez l'équation trigonométrique :

$$ \sin(x) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \quad \text{pour} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Solution :

Utilisez l'identité $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ pour réécrire $\sin(x)$ en posant $\theta = \dfrac{x}{2}$ :

$$ \sin(x) = \sin\left(2 \left( \dfrac{x}{2} \right)\right) = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) $$

Substituez ceci dans l'équation donnée :

$$ 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 $$

Factorisez $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ :

$$ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \left( 2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 \right) = 0 $$

Cela donne deux équations distinctes à résoudre :

a) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$

Les solutions pour l'angle sont $\dfrac{x}{2} = 0$ et $\dfrac{x}{2} = \pi$.

Résolvez pour $x$ pour obtenir : $x = 0$ et $x = 2\pi$.

b) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$

Ceci peut s'écrire $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$.

Les solutions pour l'angle sont $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$.

Résolvez pour $x$ pour obtenir : $x = \dfrac{4\pi}{3}$ et $x = \dfrac{8\pi}{3}$.

Notez que $\dfrac{8\pi}{3}$ est supérieur à $2\pi$ et se situe en dehors de l'intervalle donné, il est donc rejeté.

Solutions finales : $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$

Résolvez l'équation trigonométrique :

$$ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{pour} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Solution :

L'équation donnée est déjà sous forme factorisée, ce qui mène directement à deux équations à résoudre :

$$ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{et} \quad \tan(x) - 1 = 0 $$

Les équations ci-dessus peuvent s'écrire :

$$ \sin(x) = \dfrac{1}{2} \quad \text{et} \quad \tan(x) = 1 $$

Les solutions de l'équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ dans l'intervalle $[0, 2\pi]$ sont :

$$ x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{et} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} $$

Les solutions de l'équation $\tan(x) = 1$ dans l'intervalle $[0, 2\pi]$ sont :

$$ x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{et} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} $$

Solutions finales : $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$

Résolvez l'équation trigonométrique :

$$ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{pour} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Solution :

Utilisez la formule $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ pour condenser l'expression. Ici, posons $A = 2x$ et $B = x$ :

$$ \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$

L'équation donnée peut donc s'écrire :

$$ \cos(3x) = 0 $$

Puisque $x \in [0, 2\pi]$, le domaine pour $3x$ est $[0, 6\pi]$. Résolvez l'équation pour $3x$ afin d'obtenir tous les zéros de la fonction cosinus dans cet intervalle étendu :

$$ 3x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2} $$

Divisez chacun par $3$ pour résoudre $x$ :

Solutions finales : $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$

Simplifiez l'expression trigonométrique :

$$ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1} $$

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Solution :

Utilisez les identités $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ et $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ pour réécrire l'expression :

$$ \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1} $$

Simplifiez le dénominateur en annulant le $1$ et le $-1$ :

$$ = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{-2 \sin^2(x) + \sin(x)} $$

Factorisez $\cos(x)$ au numérateur et $\sin(x)$ au dénominateur :

$$ = \dfrac{\cos(x)(2 \sin(x) - 1)}{\sin(x)(-2 \sin(x) + 1)} $$

Notez que $(2 \sin(x) - 1)$ et $(-2 \sin(x) + 1)$ sont opposés (ils donnent $-1$ lorsqu'ils sont divisés). Annulez-les en laissant un $-1$ :

$$ = - \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = - \cot(x) $$

Démontrez que :

$$ \sin(105^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

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Solution :

$105^\circ$ peut s'écrire comme la somme de deux angles remarquables :

$$ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $$

Donc :

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) $$

Utilisez l'identité $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$ pour écrire :

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) $$

Utilisez le tableau des angles remarquables pour les valeurs exactes :

$$ = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Multipliez les fractions :

$$ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

Si $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$ et que $x$ est un angle aigu, trouvez les valeurs exactes de :

1. $\cos(2x)$
2. $\cos(4x)$
3. $\sin(2x)$
4. $\sin(4x)$

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Solution :

Si $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$, alors en utilisant l'identité pythagoricienne $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$ :

$$ \cos(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{25}} = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} $$

a) Trouvez $\cos(2x)$ :

Utilisez l'identité $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ :

$$ \cos(2x) = 1 - 2\left(\dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{8}{25} = \dfrac{17}{25} $$

c) Trouvez $\sin(2x)$ d'abord (nécessaire pour les parties b et d) :

Utilisez l'identité $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ :

$$ \sin(2x) = 2 \left(\dfrac{2}{5}\right) \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right) = \dfrac{4\sqrt{21}}{25} $$

b) Trouvez $\cos(4x)$ :

Utilisez l'identité $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$ :

$$ \cos(4x) = 2\left(\dfrac{17}{25}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{289}{625}\right) - 1 = \dfrac{578}{625} - \dfrac{625}{625} = -\dfrac{47}{625} $$

d) Trouvez $\sin(4x)$ :

Utilisez l'identité $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$ :

$$ \sin(4x) = 2 \left(\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\right) \left(\dfrac{17}{25}\right) = \dfrac{136\sqrt{21}}{625} $$

Trouvez la longueur du côté $AB$ dans la figure ci-dessous. Arrondissez votre réponse à 3 chiffres significatifs.

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Solution :

Notez que le triangle $DAC$ est isocèle. Par conséquent, si nous traçons la perpendiculaire de $D$ à $AC$, elle coupera $AC$ en deux parties égales et bissectera l'angle $D$.

En utilisant le triangle rectangle dont l'hypoténuse est $AD$ ($10$ unités) et l'angle est $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$, nous pouvons écrire :

$$ \sin(35^\circ) = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{10} \implies \dfrac{1}{2}AC = 10 \sin(35^\circ) $$

Ce qui donne :

$$ AC = 20 \sin(35^\circ) $$

Ensuite, notez que les deux angles internes $B$ et $C$ du triangle $ABC$ s'additionnent pour donner $90^\circ$ et donc le troisième angle du triangle $ABC$ (angle $A$) est un angle droit.

Nous pouvons donc écrire :

$$ \tan(32^\circ) = \dfrac{AB}{AC} $$

Ce qui donne :

$$ AB = AC \tan(32^\circ) $$

Substituez la valeur de $AC$ dans l'équation :

$$ AB = 20 \sin(35^\circ)\tan(32^\circ) \approx 7,17 \quad \text{(arrondi à 3 chiffres significatifs)} $$

Résolvez l'équation pour toutes les valeurs réelles de $x \in [0, 2\pi]$ :

$$ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

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Solution :

Utilisez l'identité pythagoricienne $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ pour exprimer le tout en fonction du cosinus :

$$ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 $$

$$ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

Multipliez par $-1$ pour rendre le terme dominant positif :

$$ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0 $$

Soit $u = \cos(x)$ pour révéler la forme quadratique :

$$ 2u^2 - 3u - 2 = 0 \implies (2u + 1)(u - 2) = 0 $$

Ceci donne deux équations :

$$ \cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad \text{et} \quad \cos(x) = 2 $$

Parce que l'image de la fonction cosinus est $[-1, 1]$, l'équation $\cos(x) = 2$ n'a aucune solution réelle.

Nous résolvons $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ pour $x$ dans le domaine $[0, 2\pi]$ :

$$ x = \dfrac{2\pi}{3}, \ \dfrac{4\pi}{3} $$

Démontrez l'identité suivante :

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) $$

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Solution :

Nous pouvons démontrer cela en commençant par le côté gauche et en appliquant l'identité de somme en produit :

$$ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) $$

Posons $A = 3x$ et $B = x$. Substituez-les dans la formule :

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) $$

Simplifiez les fractions à l'intérieur des fonctions trigonométriques :

$$ = 2\sin\left(\dfrac{4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x}{2}\right) $$

$$ = 2\sin(2x)\cos(x) $$

L'identité est démontrée.