Cette page présente des méthodes efficaces pour résoudre des équations trigonométriques, avec des solutions détaillées étape par étape et des interprétations graphiques pour améliorer la compréhension des identités trigonométriques et des propriétés du cercle trigonométrique.
Problèmes pratiques étape par étape
Problème 1 : Équation sinus de base
Trouvez toutes les solutions de l'équation \(\sin(x) = \dfrac{1}{2}\) dans l'intervalle \([0 , 2\pi)\) et expliquez les solutions graphiquement.
Solution :
\(\sin(x)\) est positif dans les quadrants I et II. Dans le Q1, la solution est \(x = \dfrac{\pi}{6}\). Dans le Q2, \(x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\).
Problème 2 : Équation trigonométrique linéaire
Trouvez toutes les solutions de l'équation \(\sin(x) + \cos(x) = 0\) dans \([0 , 2\pi)\).
Solution :
\(\sin(x) = -\cos(x) \implies \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1 \implies \tan(x) = -1\).
\(\tan(x)\) est négatif dans Q2 et Q4. Les solutions sont \(x = \dfrac{3\pi}{4}\) et \(x = \dfrac{7\pi}{4}\).
Problème 3 : Angles composés
Résolvez : \( \sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0 \).
Solution :
En utilisant \(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\), l'équation se simplifie en \(\sin\left(\dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0\).
\(\dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{3} = k\pi \implies x = 2k + \dfrac{2}{3}\).
Problème 4 : Forme quadratique (Sinus)
Résolvez l'équation : \(2 \sin^2(x) + \cos(x) = 1\).
Solution :
En utilisant \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), nous obtenons \(2(1-\cos^2(x)) + \cos(x) = 1 \implies -2\cos^2(x) + \cos(x) + 1 = 0\).
Soit \(u = \cos(x) \implies -2u^2 + u + 1 = 0 \implies (u-1)(-2u-1) = 0\).
\(\cos(x) = 1 \implies x = 0, 2\pi\) ; \(\cos(x) = -1/2 \implies x = 2\pi/3, 4\pi/3\).
Problème 5 : Forme de l'angle moitié
Résolvez : \(6 \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) - \cos(x) = 4\).
Solution :
Utilisez \(\cos(x) = 2\cos^2(x/2) - 1\). L'équation devient \(4\cos^2(x/2) = 3 \implies \cos(x/2) = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
La résolution pour \(x\) donne \(x = \dfrac{\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{11\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 4k\pi, \dfrac{7\pi}{3} + 4k\pi\).
Problème 6 : Sécante et tangente
Résolvez : \(\tan^2(x) + 2 \sec(x) + 1 = 0\) dans \([0 , 2\pi)\).
Solution :
En utilisant \(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\), nous obtenons \(\sec^2(x) + 2\sec(x) = 0 \implies \sec(x)(\sec(x)+2) = 0\).
\(\sec(x) = 0\) (impossible) ; \(\sec(x) = -2 \implies \cos(x) = -1/2\). Solutions : \(2\pi/3, 4\pi/3\).
Problème 7 : Identités de somme et de différence
Résolvez : \(\cos(3x) + \sin(2x) = \cos(x)\).
Solution :
Réécrivez en utilisant \(\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)\) et \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\).
Après avoir factorisé \(\cos(x)\), nous obtenons \(2\sin(x)\cos(x)(1 - 2\sin(x)) = 0\). Les solutions incluent \(x = k\pi, \pi/2 + k\pi, \pi/6 + 2k\pi, 5\pi/6 + 2k\pi\).
Problème 8 : Égalité de cosinus
Résolvez : \(\cos(3x) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)\).
Solution :
Appliquez la règle : si \(\cos(A) = \cos(B)\), alors \(A = B + 2k\pi\) ou \(A = -B + 2k\pi\).
\(3x = 2x + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\).
\(3x = -(2x + \dfrac{\pi}{4}) + 2k\pi \implies 5x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = -\dfrac{\pi}{20} + \dfrac{2k\pi}{5}\).
Problèmes de défi
Défi 1 : Quadratique en sinus
Résolvez : \(2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0\) pour \(x \in [0, 2\pi]\).
Solution :
Utilisez \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \implies -2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0\).
Factorisez \((2\cos(x) + 1)(\cos(x) - 2) = 0\).
\(\cos(x) = -1/2 \implies x = 2\pi/3, 4\pi/3\). (\(\cos(x) = 2\) est impossible).
Défi 2 : Démonstration de somme en produit
Démontrez : \(\sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x)\).
Solution :
Utilisez \(\sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\).
\(2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(x)\). Identité démontrée.