Visualiseur du Théorème de De Moivre | Laboratoire de Nombres Complexes

Théorème de De Moivre

Le théorème de De Moivre est un résultat fondamental en théorie des nombres complexes qui relie les nombres complexes à la trigonométrie. Il offre un moyen puissant de calculer les puissances et racines des nombres complexes.

Le Théorème

Pour tout nombre complexe sous forme polaire et tout entier n :

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \]

Applications

• Calcul des puissances : Le théorème simplifie l'élévation des nombres complexes à des puissances entières en multipliant le module par lui-même n fois et en multipliant l'argument par n.
• Recherche des racines : Le théorème peut être étendu pour trouver les racines n-ièmes d'un nombre complexe en utilisant la formule :

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right) \]

pour \( k = 0, 1, 2, ..., n-1 \) donnant les \( n \) racines : \( \; w_0, \; w_1, ..., \; w_{n-1} \)

Comment utiliser cet outil

• Entrez les parties réelle et imaginaire de votre nombre complexe
• Choisissez de calculer les puissances ou les racines
• Définissez l'exposant (pour les puissances) ou le degré de racine (pour les racines)
• Cliquez sur "Calculer et Visualiser" pour voir les résultats
• Utilisez les contrôles de zoom pour ajuster la vue du plan complexe

La visualisation montre le nombre complexe original et ses puissances ou racines calculées sur le plan complexe, avec les angles mesurés dans le sens antihoraire à partir de l'axe réel positif pour les angles positifs et dans le sens horaire pour les angles négatifs.