Questions et problèmes d'algèbre de 6e année avec des solutions détaillées. Les sujets abordés incluent le développement et la simplification d'expressions, la résolution d'équations linéaires, la factorisation d'expressions, la recherche du PGCD et du PPCM, les fractions et les pourcentages.
Énumérez tous les termes semblables inclus dans chacune des expressions données ci-dessous.
A) \(6x + 5 + 12x - 6\)
B) \(2x^2 - 4 + 9x^2 + 9\)
C) \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x}{7} + 7 \)
D) \(0.2x + 1.2x + \dfrac{x}{2} + 5\)
E) \(5x - 8 + 7x - 2x^2 - 4 + 9x^2 + 4x^3\)
F) \(5a + 8 - 7ab\)
G) \(5ab + 8 + 6ba - a + 3b\)
A) Les termes \(6x\) et \(12x\) ont la même variable \(x\) avec des exposants égaux à 1 et sont donc des termes semblables.
Les termes \(5\) et \(-6\) sont des nombres et donc des termes semblables.
B) Les termes \(2x^2\) et \(9x^2\) ont la même variable \(x\) avec des exposants égaux à 2, ce sont des termes semblables.
Les termes \(-4\) et \(+9\) sont des nombres et donc des termes semblables.
C) Les termes \(\dfrac{x}{5}\) et \(\dfrac{x}{7}\) ont la même variable avec des exposants égaux à 1, ce sont des termes semblables.
D) Les termes \(0.2x\), \(1.2x\) et \(\dfrac{x}{2}\) ont la même variable \(x\) avec des exposants égaux à 1 ; ce sont des termes semblables.
E) Les termes \(5x\) et \(7x\) sont des termes semblables.
Les termes \(-8\) et \(-4\) sont des termes semblables.
Les termes \(-2x^2\) et \(+9x^2\) sont des termes semblables.
F) Il n'y a pas de termes semblables dans cette expression.
G) Les termes \(5ab\) et \(6ba\) sont des termes semblables.
Évaluez chacune des expressions pour la ou les valeurs données de la ou des variables.
A) \(6x + 5\) pour \(x = 2\)
B) \(12x^2 + 5x - 2\) pour \(x = 1\)
C) \(2(x + 7) + x\) pour \(x = 0\)
D) \(2a + 3b - 7\) pour \(a = 2\) et \(b = 4\)
A) \(6(2) + 5 = 12 + 5 = 17\)
B) \(12(1)^2 + 5(1) - 2 = 12(1) + 5 - 2 = 12 + 5 - 2 = 15\)
C) \(2(0 + 7) + 0 = 2(7) = 14\)
D) \(2(2) + 3(4) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9\)
Développez (si nécessaire) et simplifiez chacune des expressions ci-dessous.
A) \(3x + 5x\)
B) \(2(x + 7) + x\)
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
A) \(3x + 5x\)
\(= (3 + 5)x\), factorisez \(x\)
\(= 8x\), simplifiez
B) \(2(x + 7) + x\)
\(= 2(x) + 2(7) + x = 2x + 14 + x\), développez et simplifiez
\(= (2x + x) + 14\), regroupez les termes semblables
\(= (2 + 1)x + 14 = 3x + 14\), simplifiez
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
\(= 2(x) + 2(3) + 3(x) + 3(5) + 3 = 2x + 6 + 3x + 15 + 3\), développez et simplifiez
\(= (2x + 3x) + (6 + 15 + 3)\), regroupez les termes semblables
\(= (2 + 3)x + 24 = 5x + 24\), simplifiez
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
\(= 2(a) + 2(1) + 5b + 3(a) + 3(b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\), développez et simplifiez
\(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3)\), regroupez les termes semblables
\(= (2 + 3)a + (5 + 3)b + 5 = 5a + 8b + 5\), simplifiez
Factorisez chacune des expressions ci-dessous en trouvant le plus grand commun diviseur (facteur commun).
A) \(3x + 3\)
B) \(8x + 4\)
C) \(ax + 3a\)
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
A) \(3x + 3\)
\(= 3(x) + 3(1)\), 3 est un facteur commun
\(= 3(x + 1)\), forme factorisée
B) \(8x + 4\)
\(= 4(2)(x) + 4\), écrivez 8 comme 4(2)
\(= 4(2x) + 4(1)\), 4 est un facteur commun
\(= 4(2x + 1)\), forme factorisée
C) \(ax + 3a\), a est un facteur commun
\(= a(x + 3)\), forme factorisée
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
\(= (x + 1)(y) + (x + 1)(4)\), x + 1 est un facteur commun
\(= (x + 1)(y + 4)\), forme factorisée
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
\(= (x + 2) + b(x + 2)\), factorisez b dans bx + 2b
\(= (x + 2)(1) + (x + 2)b\), x + 2 est maintenant un facteur commun
\(= (x + 2)(1 + b)\), forme factorisée
Résolvez chacune des équations ci-dessous et vérifiez votre réponse.
A) \(x + 5 = 8\)
B) \(2x = 4\)
C) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
D) \(0.2x = 1\)
E) \(3x + 6 = 12\)
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
A) \(x + 5 = 8\)
\(x + 5 - 5 = 8 - 5\), soustrayez 5 des deux côtés de l'équation
\(x = 3\), simplifiez et résolvez pour x
Remplacez \(x\) par 3 (solution trouvée ci-dessus) dans les deux côtés de l'équation donnée :
Côté droit : \(3 + 5 = 8\)
Côté gauche = \(8\)
\(x = 3\) est la solution de l'équation donnée.
B) \(2x = 4\)
\(\dfrac{2x}{2} = \dfrac{4}{2}\), divisez les deux côtés par 2
\(x = 2\), simplifiez et résolvez pour x
Remplacez \(x\) par 2 (solution trouvée ci-dessus) dans les deux côtés de l'équation donnée :
Côté droit : \(2(2) = 4\)
Côté gauche = \(4\)
\(x = 2\) est la solution de l'équation donnée.
C) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
\(3(\dfrac{x}{3}) = 3(2)\), multipliez les deux côtés par 3
\(x = 6\), simplifiez et résolvez pour x
Remplacez \(x\) par 6 (solution trouvée ci-dessus) dans les deux côtés de l'équation donnée :
Côté droit : \(\dfrac{6}{3} = 2\)
Côté gauche = \(2\)
\(x = 6\) est la solution de l'équation donnée.
D) \(0.2x = 1\)
\(x = \dfrac{1}{0.2}\), divisez les deux côtés par 0.2
\(x = 5\)
E) \(3x + 6 = 12\)
\(3x = 12 - 6 = 6\), soustrayez 6 des deux côtés
\(x = \dfrac{6}{3} = 2\), divisez par 3
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
\(3(x + 2) = 8 - 2 = 6\), soustrayez 2 des deux côtés
\(x + 2 = \dfrac{6}{3} = 2\), divisez par 3
\(x = 2 - 2 = 0\), soustrayez 2
Il y a \(n\) boîtes dans un grand sac et \(m\) jouets dans chaque boîte. Quel est le nombre total de jouets dans le sac ?
Pour trouver le total, multipliez le nombre de boîtes par le nombre de jouets par boîte :
$$\text{Total des jouets} = n \times m = nm$$
Réécrivez l'expression \(a \times a \times a - b \times b\) en utilisant des exposants.
La multiplication d'une variable par elle-même est représentée par un exposant :
$$a \times a \times a = a^3$$
$$b \times b = b^2$$
L'expression est : $$a^3 - b^2$$
La longueur d'un rectangle est donnée par \(x + 2\) et sa largeur est égale à 3. Donnez une expression simplifiée de l'aire de ce rectangle.
L'aire d'un rectangle correspond à la Longueur \(\times\) la Largeur :
$$\text{Aire} = 3(x + 2)$$
Développez l'expression :
$$\text{Aire} = 3x + 6$$
Les deux tiers des élèves d'une classe étudient les mathématiques et les huit élèves restants n'étudient pas les mathématiques. Quel est le nombre total d'élèves dans cette classe ?
Si \(\dfrac{2}{3}\) de la classe étudient les mathématiques, alors la fraction de la classe qui n'étudie pas les mathématiques est :
$$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
On nous dit que ce \(\dfrac{1}{3}\) de la classe correspond à 8 élèves. Soit \(T\) le nombre total d'élèves :
$$\dfrac{1}{3}T = 8$$
$$T = 8 \times 3 = 24$$
Il y a 24 élèves au total.
Une voiture parcourt 60 kilomètres en une heure. À la même vitesse, quelle distance sera parcourue par cette voiture en \(x\) heures ?
La vitesse est de \(60\) km/h. La distance correspond à la vitesse multipliée par le temps :
$$\text{Distance} = 60 \times x = 60x \text{ kilomètres}$$
Évaluez les expressions.
A) \(2^3 + 3^2\)
B) \(0.1^3\)
C) \(6 \times \dfrac{2}{3}\)
A) \(2^3 = 8\) et \(3^2 = 9\) :
$$8 + 9 = 17$$
B) Multipliez 0,1 par lui-même trois fois :
$$0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$$
C) Multipliez le nombre entier par le numérateur et divisez par le dénominateur :
$$\dfrac{6 \times 2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$$
Un sac contient trois billes rouges ; cinq billes bleues et sept billes vertes. Quel est le rapport des billes bleues sur le nombre total de billes ?
Tout d'abord, trouvez le nombre total de billes :
$$\text{Total} = 3 + 5 + 7 = 15$$
Le rapport des billes bleues sur le total est :
$$\dfrac{5}{15}$$
Simplifiez le rapport en divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
$$\dfrac{1}{3}$$
Résolvez la proportion : \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{5}{18}\)
Faites un produit en croix pour résoudre pour \(a\) :
$$18a = 3 \times 5$$
$$18a = 15$$
$$a = \dfrac{15}{18}$$
Simplifiez la fraction en divisant par 3 :
$$a = \dfrac{5}{6}$$
Laquelle des paires ordonnées suivantes est une solution à l'équation \(2x + 3y = 8\) ?
A) \((0, 0)\)
B) \((4, 0)\)
C) \((1, 2)\)
Testez chaque paire en remplaçant les valeurs de x et y dans l'équation :
A) \(2(0) + 3(0) = 0 \neq 8\) (Incorrect)
B) \(2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8\). Attendez ! Regardons de plus près : \(2(4) = 8\). Donc \((4,0)\) EST une solution valide.
C) \(2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8\). \((1,2)\) est ÉGALEMENT une solution valide.
Note de correction : \((4,0)\) et \((1,2)\) sont toutes les deux des solutions correctes à cette équation linéaire.
Faites la liste de tous les facteurs (ou diviseurs) des nombres suivants.
A) \(4\)
B) \(12\)
C) \(50\)
A) Facteurs de 4 : \(1, 2, 4\)
B) Facteurs de 12 : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
C) Facteurs de 50 : \(1, 2, 5, 10, 25, 50\)
Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) pour chaque paire de nombres donnés.
A) 6 et 3
B) 18 et 24
C) 50 et 60
A) Facteurs de 3 : 1, 3. Facteurs de 6 : 1, 2, 3, 6. Le PGCD est 3.
B) Facteurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Facteurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Le PGCD est 6.
C) Facteurs de 50 : 1, 2, 5, 10, 25, 50. Facteurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Le PGCD est 10.
Écrivez le nombre « Six cent soixante-douze millions deux cent cinquante-neuf » en utilisant les chiffres 0, 1, 2, ...9.
Décomposez-le par tranches (ou classes) :
Combinez-les : 672 000 259
Lesquelles des expressions suivantes sont équivalentes ?
A) \(2(x + 3) - 2\)
B) \(2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5\)
Simplifiez les expressions A et C pour les comparer à B :
A) \(2(x + 3) - 2 = 2x + 6 - 2 = 2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5 = 3x + 9 - x - 5 = 2x + 4\)
Les trois expressions (A, B et C) se simplifient en \(2x + 4\), elles sont donc toutes équivalentes.
Trouvez le plus petit commun multiple (PPCM) pour chaque paire de nombres donnés.
A) 2 et 3
B) 7 et 14
C) 25 et 15
A) Multiples de 2 : 2, 4, 6... Multiples de 3 : 3, 6... Le PPCM est 6.
B) Multiples de 7 : 7, 14, 21... Puisque 14 est un multiple de 7, le PPCM est 14.
C) Multiples de 25 : 25, 50, 75, 100... Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, 75... Le PPCM est 75.
Additionnez et/ou soustrayez et simplifiez.
A) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\)
B) \(\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{7}\)
A) Les dénominateurs sont les mêmes, additionnez donc les numérateurs :
$$\dfrac{1 + 2}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$$
B) Trouvez un dénominateur commun (35) :
$$\dfrac{2 \times 7}{5 \times 7} - \dfrac{1 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{14}{35} - \dfrac{5}{35} = \dfrac{9}{35}$$
Combien fait \(\dfrac{2}{3}\) de 21 ?
Multipliez la fraction par le nombre entier :
$$\dfrac{2}{3} \times 21 = \dfrac{2 \times 21}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$$
Méthode alternative : Divisez 21 par 3 pour obtenir 7, puis multipliez par 2 pour obtenir 14.
Combien font 40 % de \(\dfrac{1}{4}\) ?
Convertissez 40 % en fraction ou en nombre décimal. 40 % = \(\dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}\).
Maintenant, multipliez par \(\dfrac{1}{4}\) :
$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$$
Simplifiez la fraction :
$$\dfrac{1}{10}$$ (ou \(0.1\))
Combien font 20 % de 50 % ?
Convertissez les pourcentages en nombres décimaux ou en fractions :
20 % = 0.20
50 % = 0.50
Multipliez-les :
$$0.20 \times 0.50 = 0.10$$
Reconvertissez en pourcentage : 0.10 = 10 %.
Combien y a-t-il de secondes dans une heure ?
Il y a 60 minutes dans une heure, et 60 secondes dans une minute. Multipliez pour trouver le nombre total de secondes :
$$60 \times 60 = 3\,600 \text{ secondes}$$
Combien y a-t-il de minutes dans le mois de janvier ?
Janvier compte 31 jours. Il y a 24 heures dans un jour et 60 minutes dans une heure.
$$\text{Total des minutes} = 31 \times 24 \times 60$$
$$31 \times 1\,440 = 44\,640 \text{ minutes}$$
Quel est l'emplacement de chacun des points : \((-2, 0)\), \((0, 3)\) et \((-2, -3)\) dans un plan cartésien ?
Classez \(\dfrac{7}{5}\), \(\dfrac{12}{10}\), \(\dfrac{21}{20}\) et 111 % du plus petit au plus grand.
Convertissez toutes les valeurs en nombres décimaux pour faciliter la comparaison :
Maintenant, classez les nombres décimaux du plus petit au plus grand : \(1.05 < 1.11 < 1.20 < 1.40\).
Le remplacement par les valeurs d'origine donne :
\(\dfrac{21}{20}\) , 111 % , \(\dfrac{12}{10}\) , \(\dfrac{7}{5}\)