Équations à une variable - 6e année

En mathématiques, une équation est une affirmation indiquant que deux expressions mathématiques sont égales. Par conséquent, une équation doit contenir un signe égal (=).

À partir de la liste donnée, seules les expressions suivantes contiennent un signe égal et sont donc des équations :

• b) \(x + 2 = 4\)
• c) \(8 = x\)
• e) \(\dfrac{x - 8}{3} = 9\)

Les autres (a, d, f) ne sont que des expressions mathématiques.

Selon la définition, une équation doit comporter un signe égal. Les éléments suivants ne sont pas des équations (ce sont des expressions) :

• a) \(3x - 9\)
• d) \(8 \times x\)

Remarque : L'option c (\(12 - 7 = 5\)) est une équation numérique, et les options b et e sont des équations algébriques.

Nous testons les valeurs de \(x\) en les remplaçant dans l'équation \(\;2x - 4 = 4\; \) et en comparant les deux côtés.

• Test de \(x = 0\) :
  Côté gauche : \(2(0) - 4 = -4\)
  Côté droit : \(4\)
  \(-4 \neq 4\) → Ce n'est pas une solution.
• Test de \(x = 4\) :
  Côté gauche : \(2(4) - 4 = 8 - 4 = 4\)
  Côté droit : \(4\)
  \(4 = 4\) → \(x = 4\) est la solution correcte.

Vérifiez quelles valeurs satisfont \(\dfrac{x}{3} - 1 = 2\) :

• a) \(x = -3\) : Côté gauche = \(\dfrac{-3}{3} - 1 = -1 - 1 = -2\). Côté droit = \(2\). Ce n'est pas une solution.
• b) \(x = 6\) : Côté gauche = \(\dfrac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1\). Côté droit = \(2\). Ce n'est pas une solution.
• c) \(x = -9\) : Côté gauche = \(\dfrac{-9}{3} - 1 = -3 - 1 = -4\). Côté droit = \(2\). Ce n'est pas une solution.
• d) \(x = 9\) : Côté gauche = \(\dfrac{9}{3} - 1 = 3 - 1 = 2\). Côté droit = \(2\). Ceci est la solution.

Pour résoudre une équation, nous isolons \(x\) en appliquant l'opération inverse des deux côtés du signe égal :

1. \(x - 6 = 12\)
   Ajoutez 6 des deux côtés : \(x = 12 + 6 \Rightarrow \mathbf{x = 18}\)
2. \(3 = x + 3\)
   Soustrayez 3 des deux côtés : \(3 - 3 = x \Rightarrow \mathbf{x = 0}\)
3. \(2 + x = 8\)
   Soustrayez 2 des deux côtés : \(x = 8 - 2 \Rightarrow \mathbf{x = 6}\)
4. \(2x = 16\)
   Divisez les deux côtés par 2 : \(x = \dfrac{16}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 8}\)
5. \(\dfrac{x}{3} = 5\)
   Multipliez les deux côtés par 3 : \(x = 5 \times 3 \Rightarrow \mathbf{x = 15}\)

Nous résolvons les deux équations de chaque paire et comparons leurs solutions :

1. \(x = 2\) et \(2x = 4\) (qui se simplifie en \(x=2\))
   Mêmes solutions.
2. \(x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 4 = 8 \Rightarrow x = 4\)
   Solutions différentes.
3. \(\dfrac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\)
   \(x = -4\)
   Solutions différentes.
4. \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
   Mêmes solutions.

Les paires (a) et (d) ont les mêmes solutions.

Posez l'équation : \(2x + 6 = 12\)

Soustrayez 6 des deux côtés : \(2x = 6\)

Divisez par 2 : \(\mathbf{x = 3}\)

Vérification : \(2(3) + 6 = 6 + 6 = 12\) ✔

Posez l'équation : \(4x + 6 = 2 + 12\)

Simplifiez le côté droit : \(4x + 6 = 14\)

Soustrayez 6 des deux côtés : \(4x = 8\)

Divisez par 4 : \(\mathbf{x = 2}\)

Vérification : \(4(2) + 6 = 8 + 6 = 14\) et \(2 + 12 = 14\) ✔

Traduisez le mot "somme" par une addition : \(d + 23 = 56\)

Soustrayez 23 des deux côtés : \(d = 56 - 23\)

\(\mathbf{d = 33}\)

Traduisez "soustrait de" attentivement (le 7 vient après le x) : \(x - 7 = 41\)

Ajoutez 7 des deux côtés : \(x = 41 + 7\)

\(\mathbf{x = 48}\)

Traduisez le mot "produit" par une multiplication : \(6y = 36\)

Divisez les deux côtés par 6 : \(y = \dfrac{36}{6}\)

\(\mathbf{y = 6}\)

Traduisez par une équation : \(\dfrac{b}{5} = 4\)

Multipliez les deux côtés par 5 : \(b = 4 \times 5\)

\(\mathbf{b = 20}\)

Posez l'équation représentant le total de leurs cartes : \(x + 23 = 121\)

Soustrayez 23 des deux côtés : \(x = 121 - 23\)

\(\mathbf{x = 98}\) (Jacky a 98 cartes)

Soit \(c\) la contribution de Toby. Posez l'équation : \(34 + 45 + c = 123\)

Simplifiez les constantes du côté gauche : \(79 + c = 123\)

Soustrayez 79 des deux côtés : \(c = 123 - 79\)

\(\mathbf{c = 44}\) (Toby a contribué à hauteur de 44 $)