Décomposition en facteurs premiers - 6e année

Cette page propose des leçons complètes, des exemples et des questions pratiques sur la décomposition en facteurs premiers pour les élèves de 6e année. Chaque question pratique comprend une solution étape par étape avec des explications détaillées.

Avant de plonger, il est fortement recommandé de revoir les bases des facteurs et multiples. Développez les onglets de solution sous chaque question pour vérifier votre travail et comprendre la logique sous-jacente.

Concepts et exemples

1. Nombres premiers

Définition : Un nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à 1 qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

2. Nombres composés

Définition : Un nombre composé est un nombre entier strictement supérieur à 1 qui a plus de deux diviseurs (il peut être divisé exactement par d'autres nombres que 1 et lui-même).

3. Factorisation

Définition : Factoriser un nombre entier, c'est l'écrire comme un produit de deux nombres entiers ou plus. La division et la multiplication sont étroitement liées ; la division \(6 \div 3 = 2\) peut être réécrite comme la multiplication \(6 = 2 \times 3\).

4. Décomposition en facteurs premiers

Définition : La décomposition en facteurs premiers est le processus consistant à écrire un nombre entier composé strictement comme le produit de nombres premiers.

Comment trouver la décomposition en facteurs premiers de 12 ?

  1. Testez le plus petit nombre premier, 2. \(12 \div 2 = 6\). Donc, \(12 = 2 \times 6\).
  2. Puisque 6 est composé, testez-le à nouveau. \(6 \div 2 = 3\). Donc, \(6 = 2 \times 3\).
  3. Combinez-les : \(12 = 2 \times 2 \times 3\). Puisque 2 et 3 sont premiers, la décomposition est complète.

Comment trouver la décomposition en facteurs premiers de 21 ?

  1. Testez 2 : \(21 \div 2\) laisse un reste. 2 n'est pas un diviseur.
  2. Testez le nombre premier suivant, 3 : \(21 \div 3 = 7\). Donc, \(21 = 3 \times 7\).
  3. Puisque 3 et 7 sont tous deux premiers, la décomposition en facteurs premiers est \(3 \times 7\).

Questions pratiques

Question 1 : Premier ou composé

Pour chaque nombre ci-dessous, décidez s'il s'agit d'un nombre premier ou d'un nombre composé. Expliquez votre raisonnement.

  1. 9
  2. 11
  3. 16
  4. 22
  5. 39
  6. 41
  7. 49
  8. 57
Voir la solution
Rappel : Un nombre premier a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre composé a 3 diviseurs ou plus.
  • a) 9 : Composé. \(9 = 3 \times 3\). Il a 3 diviseurs : 1, 3, 9.
  • b) 11 : Premier. Il a seulement 2 diviseurs : 1 et 11.
  • c) 16 : Composé. \(16 = 4 \times 4 = 2 \times 8\). Il a 5 diviseurs : 1, 2, 4, 8, 16.
  • d) 22 : Composé. \(22 = 2 \times 11\). Il a 4 diviseurs : 1, 2, 11, 22.
  • e) 39 : Composé. \(39 = 3 \times 13\). Il a 4 diviseurs : 1, 3, 13, 39.
  • f) 41 : Premier. Il a seulement 2 diviseurs : 1 et 41.
  • g) 49 : Composé. \(49 = 7 \times 7\). Il a 3 diviseurs : 1, 7, 49.
  • h) 57 : Composé. \(57 = 3 \times 19\). Il a 4 diviseurs : 1, 3, 19, 57.

Question 2 : Identifier les décompositions en facteurs premiers

Laquelle des affirmations mathématiques suivantes représente une décomposition en facteurs premiers correcte ? Expliquez pourquoi ou pourquoi pas.

  1. \(8 = 2 \times 4\)
  2. \(10 = 2 \times 5\)
  3. \(20 = 2 \times 10\)
  4. \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
  5. \(38 = 2 \times 19\)
  6. \(42 = 2 \times 3 \times 7\)
  7. \(56 = 2 \times 2 \times 14\)
  8. \(75 = 3 \times 25\)
  9. \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\)
  10. \(100 = 2 \times 2 \times 25\)
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Rappel : Une véritable décomposition en facteurs premiers doit être constituée uniquement de nombres premiers multipliés entre eux.
Équation Est-ce une décomposition en facteurs premiers ? Raison
a) \(8 = 2 \times 4\) Non Le facteur 4 est un nombre composé.
b) \(10 = 2 \times 5\) Oui 2 et 5 sont tous deux des nombres premiers.
c) \(20 = 2 \times 10\) Non Le facteur 10 est un nombre composé.
d) \(30 = 2 \times 3 \times 5\) Oui Tous les facteurs (2, 3, 5) sont premiers.
e) \(38 = 2 \times 19\) Oui 2 et 19 sont tous deux premiers.
f) \(42 = 2 \times 3 \times 7\) Oui Tous les facteurs (2, 3, 7) sont premiers.
g) \(56 = 2 \times 2 \times 14\) Non Le facteur 14 est un nombre composé.
h) \(75 = 3 \times 25\) Non Le facteur 25 est un nombre composé.
i) \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\) Oui Tous les facteurs (2 et 5) sont premiers.
j) \(100 = 2 \times 2 \times 25\) Non Le facteur 25 est un nombre composé.

Question 3 : Calculer la décomposition en facteurs premiers

Déterminez la décomposition en facteurs premiers pour chacun des nombres entiers suivants. Vous pouvez utiliser des exposants pour simplifier votre réponse finale.

  1. 8
  2. 18
  3. 24
  4. 45
  5. 63
  6. 88
  7. 96
Voir la solution

La décomposition en facteurs premiers s'effectue par divisions successives à l'aide de nombres premiers (2, 3, 5, 7...) :

  • a) 8
    \(8 = 2 \times 4 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2}\) (ou \(2^3\))
  • b) 18
    \(18 = 2 \times 9 \rightarrow \mathbf{2 \times 3 \times 3}\) (ou \(2 \times 3^2\))
  • c) 24
    \(24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 3}\) (ou \(2^3 \times 3\))
  • d) 45
    \(45 = 3 \times 15 \rightarrow \mathbf{3 \times 3 \times 5}\) (ou \(3^2 \times 5\))
  • e) 63
    \(63 = 7 \times 9 \rightarrow \mathbf{3 \times 3 \times 7}\) (ou \(3^2 \times 7\))
  • f) 88
    \(88 = 2 \times 44 = 2 \times 2 \times 22 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 11}\) (ou \(2^3 \times 11\))
  • g) 96
    \(96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}\) (ou \(2^5 \times 3\))

Références et liens supplémentaires