Problèmes de mathématiques avec solutions pour la 6e année

Suivez la règle de la suite étape par étape :

• 1er nombre : 2
• 2ème nombre : \(2 \times 3 + 2 = 8\)
• 3ème nombre : \(8 \times 3 + 2 = 26\)
• 4ème nombre : \(26 \times 3 + 2 = 80\)
• 5ème nombre : \(80 \times 3 + 2 = 242\)

Le 5ème nombre est 242.

Tout d'abord, calculez l'aire initiale du carton :

\[ \text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, trouvez l'aire d'un carré découpé dans un coin :

\[ \text{Aire} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]

Puisqu'il y a quatre coins, l'aire totale retirée est :

\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]

Soustrayez l'aire retirée de l'aire initiale pour trouver l'aire restante :

\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]

Le produit de deux entiers est toujours égal au produit de leur PPCM et PGCD. Par conséquent :

\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]

Résolution pour \( N \) :

\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]

Tout d'abord, écrivez la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre :

• \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
• \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
• \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Identifiez les facteurs premiers communs avec les plus petits exposants. Le seul facteur premier commun aux trois nombres est 2, et la plus petite puissance de 2 commune aux trois est \(2^2\).

\[ \text{PGCD} = 2^2 = \mathbf{4} \]

a) Ratio filles/garçons :

\[ \dfrac{260}{240} \]

Réduisez la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 20 : \( \dfrac{13}{12} \). Le ratio est de 13:12.

b) Ratio garçons/élèves totaux :

Total des élèves = \( 240 + 260 = 500 \).

\[ \dfrac{240}{500} \]

Réduisez la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 20 : \( \dfrac{12}{25} \). Le ratio est de 12:25.

Le pourboire est de 20 % de ce qu'il a payé pour le déjeuner. Calculez le pourboire :

\[ \text{Pourboire} = 20\% \text{ de } 50.50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50.50 = 10.10 \]

Ajoutez le pourboire au coût initial du déjeuner :

\[ \text{Total} = 50.50 + 10.10 = \mathbf{60{,}60 \text{ \$}} \]

La division est liée à la multiplication. L'équation peut être réécrite sous la forme d'une multiplication :

\[ 64 = 4k \]

Réécrivez cette multiplication en division pour résoudre pour \( k \) :

\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]

Remplacez \( y = 3 \) dans l'équation :

\[ x + 2(3) = 10 \]

\[ x + 6 = 10 \]

Soustrayez 6 des deux côtés pour isoler \( x \) :

\[ x = \mathbf{4} \]

Le coût \( C \) se compose de frais initiaux fixes (0,50 $) et d'un tarif variable (0,11 $ multiplié par le nombre de minutes, \( N \)).

\[ C = \mathbf{0.50 + 0.11N} \]

Pour chaque tranche de 40 kilomètres, 1 gallon est nécessaire. Divisez la distance totale par la distance par gallon pour trouver le nombre de segments de 40 km :

\[ \dfrac{180}{40} = 4.5 \]

La voiture aurait besoin de 4,5 gallons d'essence.

Tout d'abord, trouvez combien de groupes de 150 bouteilles entrent dans 675 :

\[ \dfrac{675}{150} = 4.5 \text{ groupes} \]

Puisque chaque groupe nécessite 8 minutes, multipliez le nombre de groupes par 8 :

\[ 4.5 \times 8 = \mathbf{36 \text{ minutes}} \]

Utilisez la formule de la distance :

\[ \text{Distance} = \text{Temps} \times \text{Vitesse} \]

\[ \text{Distance} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{ miles}} \]

Puisque les rectangles sont semblables, le ratio de leurs côtés correspondants est égal :

\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \]

\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \]

\[ 3 = \dfrac{W_2}{5} \quad \Rightarrow \quad W_2 = 15 \text{ cm} \]

Trouvez maintenant l'aire du rectangle \( B \) :

\[ \text{Aire}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]

Soit \( x \) le nombre d'élèves inscrits dans une classe. Nous devons exprimer les élèves absents sous forme de fractions de \( x \) :

• 5 classes sont à moitié pleines (soit \( \frac{1}{2} \) absents) : \( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
• 3 classes sont pleines aux \( \frac{3}{4} \) (soit \( \frac{1}{4} \) absents) : \( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
• 2 classes ont \( \frac{1}{8} \) d'absents : \( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)

Réglez la somme des absences égale à 70 :

\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]

Trouvez un dénominateur commun (4) :

\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]

Résolvez pour \( x \) :

\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ élèves par classe} \]

Puisqu'il y a 10 classes, la population totale d'élèves inscrits est de \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{ élèves}} \).

Il existe des carrés de 4 dimensions différentes. Nous les comptons systématiquement :

• 16 carrés de dimension \( 1 \times 1 \).
• 9 carrés de dimension \( 2 \times 2 \).
• 4 carrés de dimension \( 3 \times 3 \).
• 1 carré de dimension \( 4 \times 4 \).

Nombre total de carrés = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)

Soit \( x \) le nombre de timbres avec lesquels John a commencé.

Jim a reçu : \( \dfrac{1}{2}x \)

Carla a reçu : \( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)

Carla en a donné \( \frac{1}{4} \), ce qui signifie qu'elle a gardé les \( \frac{3}{4} \) de ce qu'elle a reçu :

\[ \text{Carla a gardé} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]

On nous dit qu'elle a gardé 12 timbres. Donc :

\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]

\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{ timbres}} \]

Tout d'abord, trouvez le temps nécessaire à chaque balle pour faire une rotation complète.

Balle A : \( \dfrac{120}{4} = 30 \text{ secondes par rotation} \)

Balle B : \( \dfrac{60}{3} = 20 \text{ secondes par rotation} \)

Elles se rencontreront au point de départ au plus petit commun multiple (PPCM) de leurs temps de rotation.

\[ \text{PPCM}(30, 20) = \mathbf{60 \text{ secondes}} \]

Si un segment de 3 unités est divisé en 9 parties égales, la longueur d'une partie est :

\[ 1 \text{ partie} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{ d'une unité} \]

Par conséquent, 2 parties valent :

\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{ d'une unité}} \]

Convertissez les kilomètres en mètres et les heures en minutes :

\[ 1 \text{ kilomètre} = 1000 \text{ mètres} \]

\[ 1 \text{ heure} = 60 \text{ minutes} \]

Maintenant, appliquez les conversions à la vitesse :

\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{ mètres}}{60 \text{ minutes}} \]

\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{ mètres par minute}} \]

Soit \( x \) ses économies totales. Si elle a dépensé les \( \frac{3}{4} \) de ses économies, il lui restait \( \frac{1}{4} \).

Elle a dépensé la moitié de ce reste pour un réfrigérateur, qui a coûté 150 $ :

\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]

\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]

Multipliez les deux côtés par 8 :

\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{1200 \text{ \$}} \]

Soit \( x \) la longueur du côté du carré A et \( y \) la longueur du côté du carré B. Leurs périmètres sont \( 4x \) et \( 4y \).

\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]

Le ratio de leurs aires est :

\[ \dfrac{\text{Aire}_A}{\text{Aire}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]

Remplacez \( x = 3y \) :

\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] (Le ratio est de 9:1).

La hauteur de la boîte sera la taille du carré découpé (\( 3 \text{ cm} \)).

La nouvelle longueur est la longueur initiale moins les deux carrés découpés de chaque côté :

\[ \text{Longueur} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]

La nouvelle largeur est la largeur initiale moins les deux carrés découpés de chaque côté :

\[ \text{Largeur} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]

Calculez le volume :

\[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]

Trouvez l'aire totale du rectangle initial :

\[ A_{\text{rect}} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 20 \times 10 = 200 \]

Trouvez l'aire du petit carré découpé :

\[ A_{\text{carré}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]

L'aire restante est l'aire du rectangle moins l'aire du carré :

\[ \text{Aire restante} = \mathbf{200 - 4x^2} \]

L'aire d'un cercle est donnée par \( \pi r^2 \) :

\[ \pi r^2 = 81\pi \]

Divisez les deux côtés par \( \pi \) :

\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ pieds} \]

La circonférence est \( 2\pi r \) :

\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ pieds}} \]

Soit \( P \) l'âge actuel de Peter. Cela fait de l'âge actuel de Jim \( P - 13 \).

Il y a un an, leurs âges étaient :

• Peter : \( P - 1 \)
• Carla : \( 5 - 1 = 4 \)
• Jim : \( (P - 13) - 1 = P - 14 \)

Posez l'équation en fonction de la condition d'il y a un an :

\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]

\[ P - 1 = 2(P - 10) \]

\[ P - 1 = 2P - 20 \]

Soustrayez \( P \) et ajoutez 20 aux deux côtés :

\[ P = \mathbf{19} \]

Peter a 19 ans, Jim a 6 ans (\(19 - 13\)) et Carla a 5 ans.

Ajoutez les distances qu'elle a déjà courues :

\[ 2.4 + 1.75 = 4.15 \text{ km} \]

Soustrayez cela de son objectif total :

\[ 6 - 4.15 = \mathbf{1.85 \text{ km}} \]

Soit \( x \) la quantité de farine. Posez le ratio :

\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]

Faites un produit en croix :

\[ 2x = 12 \]

\[ x = \mathbf{6 \text{ tasses}} \]

La somme des angles d'un triangle est toujours de \( 180^\circ \). Soit \( x \) le troisième angle.

\[ x + 47 + 58 = 180 \]

\[ x + 105 = 180 \]

\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]

Soustrayez 4 des deux côtés :

\[ 3x = 19 - 4 \]

\[ 3x = 15 \]

Divisez par 3 :

\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]

Commencez à \( -4^\circ\text{C} \) et ajoutez la hausse de température :

\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]

Soustrayez la baisse de température :

\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]

Soit \( x \) le prix initial. Une réduction de 30 % signifie qu'elle a payé 70 % du prix initial :

\[ 100\% - 30\% = 70\% \]

\[ 0.70x = 84 \]

Divisez par 0,70 :

\[ x = \dfrac{84}{0.70} = \mathbf{120 \text{ \$}} \]

Puisqu'ils marchent l'un vers l'autre, leur vitesse combinée est la somme de leurs vitesses individuelles :

\[ \text{Vitesse combinée} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]

Le temps qu'il leur faut pour se rencontrer est la distance divisée par leur vitesse combinée :

\[ \text{Temps} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{ minutes} \]

Le chien court continuellement pendant ces 25 minutes à 120 mètres par minute. La distance totale parcourue par le chien est :

\[ \text{Distance} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{ mètres}} \]