Questions et problèmes d'algèbre de 7e année avec solutions

Remplacez chaque variable par sa valeur numérique donnée, appliquez l'ordre des opérations et simplifiez.

1. \(12 (-1)^3 + 5 (-1)^2 + 4 (-1) - 6 = 12(-1) + 5(1) - 4 - 6 = -12 + 5 - 4 - 6 = \mathbf{-17}\)
2. \(2 (2)^2 + 3 (-2)^3 - 10 = 2(4) + 3(-8) - 10 = 8 - 24 - 10 = \mathbf{-26}\)
3. \(\dfrac{-2(2) - 1}{2 + 3} = \dfrac{-4 - 1}{5} = \dfrac{-5}{5} = \mathbf{-1}\)
4. \(2 + 2|(-4) - 4| = 2 + 2|-8| = 2 + 2 \times 8 = 2 + 16 = \mathbf{18}\)

Utilisez la règle de distribution \(a(b + c) = ab + ac\) pour développer les expressions, puis regroupez les termes semblables.

1. \(-2(x - 8) + 3(x - 7) = -2x + 16 + 3x - 21\)
   \(= (-2x + 3x) + (16 - 21) = \mathbf{x - 5}\)
2. \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\)
   \(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3) = \mathbf{5a + 8b + 5}\)
3. \(a(b + 3) + b(a - 2) + 2a - 5b + 8 = ab + 3a + ba - 2b + 2a - 5b + 8\)
   \(= (ab + ba) + (3a + 2a) + (-2b - 5b) + 8 = \mathbf{2ab + 5a - 7b + 8}\)
4. \(\dfrac{1}{2}(4x + 4) + \dfrac{1}{3}(6x + 12) = 2x + 2 + 2x + 4\)
   \(= (2x + 2x) + (2 + 4) = \mathbf{4x + 6}\)
5. \(4(-x + 2 - 3(x - 2)) = -4x + 8 - 12x + 24\)
   \(= (-4x - 12x) + (8 + 24) = \mathbf{-16x + 32}\)

Simplifiez en utilisant les règles relatives aux fractions (addition, multiplication et division).

1. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y} = \mathbf{\dfrac{x + 4}{y}}\)
2. \(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x \times 1}{4 \times 2} = \dfrac{2x}{8} = \mathbf{\dfrac{x}{4}}\)
3. \(\dfrac{3x}{5} \div \dfrac{x}{5} = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{5}{x} = \dfrac{15x}{5x} = \mathbf{3}\)

Utilisez les règles de multiplication et de division avec les exposants (additionnez les exposants lors de la multiplication de bases identiques, soustrayez-les lors de la division).

1. \(3 x^{2} \times 5 x^{3} = (3 \times 5) x^{2 + 3} = \mathbf{15 x^{5}}\)
2. \(\dfrac{(2 y)^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 (3 x)^2} = \dfrac{16 y^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 \cdot 9 x^2} = \dfrac{16 \times 9}{4 \times 9} y^{4 - 4} x^{3 - 2} = \mathbf{4x}\)

Trouvez les plus grands facteurs communs (PGCF) et factorisez les expressions en inversant la distribution.

1. \(9x - 3 = 3 \times 3x - 3 \times 1 = \mathbf{3(3x - 1)}\)
2. \(24x + 18y = 6 \times 4x + 6 \times 3y = \mathbf{6(4x + 3y)}\)
3. \(bx + dx = \mathbf{x(b + d)}\)

Résolvez les équations étape par étape en effectuant des opérations inverses pour isoler \(x\).

1. \[ \begin{aligned} 2x + 5 &= 11 \\ 2x &= 6 \\ x &= \mathbf{3} \end{aligned} \]
2. \[ \begin{aligned} 3x &= \dfrac{6}{5} \\ 15x &= 6 \quad \text{(en multipliant les deux côtés par 5)} \\ x &= \dfrac{6}{15} = \mathbf{\dfrac{2}{5}} \end{aligned} \]
3. \[ \begin{aligned} 3(2x + 2) + 2 &= 20 \\ 6x + 6 + 2 &= 20 \\ 6x + 8 &= 20 \\ 6x &= 12 \\ x &= \mathbf{2} \end{aligned} \]

Réécrivez les produits de multiplications répétées à l'aide d'exposants.

\[3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b = \mathbf{3 a^3 - 5 b^2}\]

Utilisez la formule du périmètre \(P = 2 \times \text{longueur} + 2 \times \text{largeur}\), substituez les expressions et le périmètre connu, puis résolvez pour \(x\).

\[ \begin{aligned} 2(2x + 3) + 2(x + 1) &= 32 \\ 4x + 6 + 2x + 2 &= 32 \\ 6x + 8 &= 32 \\ 6x &= 24 \\ x &= \mathbf{4} \end{aligned} \]

Utilisez la formule de l'aire \(A = \text{largeur} \times \text{longueur}\), substituez les valeurs connues et résolvez.

\[ \begin{aligned} 3(2x - 1) &= 27 \\ 6x - 3 &= 27 \\ 6x &= 30 \\ x &= \mathbf{5} \end{aligned} \]

Puisque 45 % sont des garçons, \( 100\% - 45\% = 55\% \) sont des filles.

Calculez le ratio des filles par rapport aux garçons.

\[ \text{Ratio} = \dfrac{55\%}{45\%} = \dfrac{55}{45} = \mathbf{\dfrac{11}{9}} \]

Utilisez la formule : \(\text{Distance} = \text{temps} \times \text{vitesse}\).

\[ \begin{aligned} 300 &= 3(x + 30) \\ 300 &= 3x + 90 \\ 210 &= 3x \\ x &= \mathbf{70} \end{aligned} \]

Résolvez la proportion par multiplication croisée.

\[ \begin{aligned} \dfrac{4}{5} &= \dfrac{a}{16} \\ 4 \times 16 &= 5 \times a \\ 64 &= 5a \\ a &= \dfrac{64}{5} = \mathbf{12{,}8} \end{aligned} \]

Substituez le couple solution \(x = 2\) et \(y = a + 2\) dans l'équation donnée et résolvez pour \(a\).

\[ \begin{aligned} 2(2) + 2(a + 2) &= 10 \\ 4 + 2a + 4 &= 10 \\ 2a + 8 &= 10 \\ 2a &= 2 \\ a &= \mathbf{1} \end{aligned} \]

Listez tous les diviseurs de 25 et 45.

Les diviseurs de 25 sont : 1, 5, 25

Les diviseurs de 45 sont : 1, 3, 5, 9, 15, 45

Le plus grand commun diviseur de 25 et 45 est \(5\).

\[ \mathbf{1\,234\,750\,002} \]

trois cent quatre-vingt-treize milliards deux cent trente-quatre millions trente-quatre

Trouvez les premiers multiples de 15 et 35 jusqu'à en trouver un en commun :

Multiples de 15 : \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, \ldots\)

Multiples de 35 : \(35, 70, 105, 140, \ldots\)

Sélectionnez le plus petit commun multiple (PPCM) :

Le PPCM est \(105\).

Les \(\dfrac{2}{3}\) de \(x\) valent 30 s'écrit mathématiquement :

\[ \dfrac{2}{3} \times x = 30 \]

Multipliez par 3 et simplifiez :

\[ 2x = 90 \]

Résolvez pour \(x\) :

\[ x = 90 \div 2 = \mathbf{45} \]

20 % de \(\dfrac{1}{3}\) s'écrit :

\[ 20\% \times \dfrac{1}{3} \]

Utilisez l'équivalent en fraction \( 20\% = \dfrac{20}{100} \) pour simplifier :

\[ = \dfrac{20}{100} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{300} = \mathbf{\dfrac{1}{15}} \]

Soit \( x \) le plus petit nombre. Alors le plus grand nombre est \( x + 17 \).

Leur somme est donnée comme étant 69, donc : \[ x + (x + 17) = 69 \]

Simplifiez : \[ 2x + 17 = 69 \]

Soustrayez 17 des deux côtés : \[ 2x = 52 \]

Divisez les deux côtés par 2 pour résoudre pour \( x \) : \[ x = 26 \]

Le plus grand nombre est donc : \[ x + 17 = 26 + 17 = \mathbf{43} \]

Convertissez toutes les valeurs en nombres décimaux et classez-les :

\[ \begin{aligned} \dfrac{12}{5} &= 2{,}4 \\ 250\% = \dfrac{250}{100} &= 2{,}5 \\ \dfrac{21}{10} &= 2{,}1 \\ 2{,}3 &= 2{,}3 \end{aligned} \]

Classez du plus petit au plus grand (2,1 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5) :

\( \mathbf{\dfrac{21}{10}, 2{,}3, \dfrac{12}{5}, 250\%} \)

Soient \( x \), \( x + 1 \) et \( x + 2 \) les 3 entiers consécutifs.

La somme des trois entiers consécutifs est 96, donc :

\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 96 \]

Regroupez les termes semblables :

\[ \begin{aligned} 3x + 3 &= 96 \\ 3x &= 93 \\ x &= 31 \end{aligned} \]

Le plus grand de ces nombres est \( x + 2 \) :

\[ x + 2 = 31 + 2 = \mathbf{33} \]

Soit \(x\) la note en géographie. La chimie est \(2x\). La moyenne des 4 cours est 79 :

\[ \dfrac{93 + 88 + x + 2x}{4} = 79 \]

Regroupez les termes semblables au numérateur :

\[ \dfrac{3x + 181}{4} = 79 \]

Multipliez les deux côtés par 4 et simplifiez :

\[ \begin{aligned} 3x + 181 &= 316 \\ 3x &= 135 \\ x &= 45 \end{aligned} \]

Sa note en géographie est \(x = \mathbf{45}\).

Sa note en chimie est \(2x = 2(45) = \mathbf{90}\).

Soit \(x\) la note en anglais.

La note en mathématiques est : \( x + 7 \)

La note en physique est supérieure de 5 à celle de mathématiques : \( (x + 7) + 5 = x + 12 \).

Linda a obtenu un total de 265 points :

\[ x + (x + 7) + (x + 12) = 265 \]

Regroupez les termes semblables et simplifiez :

\[ \begin{aligned} 3x + 19 &= 265 \\ 3x &= 246 \\ x &= 246 \div 3 = 82 \end{aligned} \]

La note en anglais est \( x = \mathbf{82} \)

La note en mathématiques est \( x + 7 = 82 + 7 = \mathbf{89} \)

La note en physique est \( x + 12 = 82 + 12 = \mathbf{94} \)

Chaque bicyclette a 2 roues, le nombre de bicyclettes est donc :

\[ \dfrac{100}{2} = \mathbf{50} \text{ bicyclettes} \]

Le nombre de roues de voitures correspond au total moins les roues de bicyclettes :

\[ 300 - 100 = 200 \text{ roues de voitures} \]

Chaque voiture a 4 roues, le nombre de voitures est donc :

\[ \dfrac{200}{4} = \mathbf{50} \text{ voitures} \]