Apprenez comment effectuer une multiplication croisée pour résoudre des équations algébriques comportant des fractions et pour vérifier si deux fractions sont équivalentes. Cette page propose des exemples clairs, des explications étape par étape et des questions pratiques accompagnées de leurs solutions détaillées pour aider les élèves, les parents et les enseignants à maîtriser cette compétence mathématique essentielle.
Considérons l'équation :
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
Les équations avec des fractions telles que celle ci-dessus sont parfois difficiles à résoudre à cause des dénominateurs. Trouvons une équation équivalente sans dénominateurs.
Cette méthode qui consiste à transformer une équation avec des fractions en une équation sans fractions s'appelle la multiplication croisée.
Exemple 1 : Résolvez l'équation \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
Étape 1 : Effectuez une multiplication croisée pour éliminer les dénominateurs :
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
Étape 2 : Divisez les deux côtés par le coefficient de \( x \) (qui est 6) :
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
Étape 3 : Simplifiez pour trouver \( x \) :
\[ x = 5 \]
Exemple 2 : Les fractions \( \dfrac{4}{3} \) et \( \dfrac{12}{9} \) sont-elles équivalentes ?
Étape 1 : Effectuez une multiplication croisée :
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{et} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
Étape 2 : Comparez les résultats. Puisque les deux produits sont égaux, les fractions sont équivalentes. Ainsi, nous pouvons écrire :
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
Les exercices ci-dessous consistent tous à utiliser la multiplication croisée pour trouver des variables et vérifier l'équivalence de fractions.
Résolvez l'équation : \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
Utilisez la multiplication croisée pour réécrire l'équation :
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
Simplifiez :
\[ 2x = 18 \]
Divisez les deux côtés par 2 :
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
Résolvez l'équation : \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
Effectuez la multiplication croisée des dénominateurs et des numérateurs :
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
Simplifiez :
\[ 24 = 6x \]
Divisez les deux côtés par 6 :
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
Résolvez l'équation : \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
Utilisez la multiplication croisée :
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
Simplifiez :
\[ 12x = 24 \]
Divisez les deux côtés par 12 :
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
Résolvez l'équation : \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
Effectuez la multiplication croisée :
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
Simplifiez et résolvez pour \(x\) :
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
Résolvez l'équation : \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
Exprimez 2 sous forme de fraction (\(\frac{2}{1}\)) et effectuez la multiplication croisée :
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
Multipliez en croix :
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
Simplifiez :
\[ \mathbf{28 = x} \]
Résolvez l'équation : \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
Effectuez la multiplication croisée :
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
Simplifiez et résolvez pour \(x\) :
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
Laquelle des paires de fractions suivantes est équivalente (égale) ?
Définition : Pour que deux fractions soient équivalentes, les produits de leur multiplication croisée doivent être égaux.
a) \( \dfrac{5}{6} \) et \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
Puisque \(A = B\), les fractions sont équivalentes (\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)).
b) \( \dfrac{5}{3} \) et \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
Puisque \(A \neq B\), les fractions ne sont pas équivalentes.
c) \( \dfrac{25}{35} \) et \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
Puisque \(A = B\), les fractions sont équivalentes (\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)).
d) \( \dfrac{23}{7} \) et \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
Puisque \(A \neq B\), les fractions ne sont pas équivalentes.