Les exposants en mathématiques expliqués | Exemples et pratique pour la 7e année

Les exposants sont un concept fondamental en mathématiques qui indiquent combien de fois un nombre, appelé la base, est multiplié par lui-même. Sur cette page, vous trouverez des exemples de mathématiques de 7e année et des questions d'algèbre impliquant des exposants, accompagnés de solutions claires étape par étape.

Ces problèmes pratiques couvrent des sujets tels que l'écriture d'expressions avec des puissances, l'évaluation des exposants et la simplification à l'aide des règles des exposants.

Que sont les exposants en mathématiques et où sont-ils utilisés ?

Les exposants sont un moyen de représenter la multiplication répétée d'un nombre par lui-même. La formule s'écrit :

\[ \Large{a \times a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ fois}) = a^n} \]

Exemples concrets d'utilisation des exposants

Exemple 1 : Exponentiation de base

\[ 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \]

Ici :

  • Base = \(5\)
  • Exposant = \(3\)
  • Signification : Multiplier 5 par lui-même 3 fois.

Exemple 2 : Représentation de grands nombres

\[ 100\,000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 \]

Exemple 3 : Représentation de petits nombres

\[ 0{,}00001 = \frac{1}{100\,000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5} \]

Un exposant négatif signifie que l'on prend l'inverse. Par exemple :

\[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \]

Exemples 4 et 5 : Unités de surface et de volume

Surface : L'aire d'un carré d'un mètre de côté est :
\[ 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} = 1 \,\text{m}^2 \] (Se lit : 1 mètre carré)

Volume : Le volume d'un cube d'un mètre de côté est :
\[ 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} \times 1 \,\text{m} = 1 \,\text{m}^3 \] (Se lit : 1 mètre cube)

Exemple 6 : Préfixes scientifiques

  • Kilo (\(10^3\)) : \( 1\,000 = 10^3 \)
    (ex. : 1 kilogramme = \(10^3\) grammes = \(1\,000\) grammes)
  • Méga (\(10^6\)) : \( 1\,000\,000 = 10^6 \)
    (ex. : 1 mégaoctet = \(10^6\) octets = \(1\,000\,000\) octets)
  • Giga (\(10^9\)) : \( 1\,000\,000\,000 = 10^9 \)
    (ex. : 1 gigaoctet = \(10^9\) octets = \(1\,000\,000\,000\) octets)

Problèmes pratiques sur les exposants et solutions

Résolvez les problèmes d'exposants suivants. Développez les blocs de solution pour vérifier votre raisonnement et les réponses finales.

Question 1

Écrivez ce qui suit en utilisant des exposants :

  1. \( 8 \times 8 \times 8 \times 8 \)
  2. \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \)
  3. \( A \times A \times A \)
  4. \( \text{mètre} \times \text{mètre} \)
  5. \( \text{centimètre} \times \text{centimètre} \times \text{centimètre} \)
Voir la solution

Utilisez la définition d'un exposant, où la base est le facteur répété et l'exposant est le nombre de fois qu'il est multiplié par lui-même.

  1. \( 8 \times 8 \times 8 \times 8 = \mathbf{8^4} \)
    (8 multiplié par lui-même 4 fois)
  2. \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10^7} \)
  3. \( A \times A \times A = \mathbf{A^3} \)
  4. \( \text{mètre} \times \text{mètre} = \mathbf{\text{mètre}^2} \)
  5. \( \text{centimètre} \times \text{centimètre} \times \text{centimètre} = \mathbf{\text{centimètre}^3} \)

Question 2

Évaluez ce qui suit :

  1. \( 2^4 \)
  2. \( 10^4 \)
  3. \( (-2)^4 \)
  4. \( -2^4 \)
Voir la solution

Développez chaque puissance en utilisant la multiplication et calculez le résultat. Faites particulièrement attention à l'emplacement des signes négatifs dans (c) et (d).

  1. \( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{16} \)
  2. \( 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = \mathbf{10\,000} \)
  3. \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = \mathbf{16} \)
    (Le signe négatif est inclus dans la base à cause des parenthèses. La multiplication de quatre nombres négatifs donne un résultat positif.)
  4. \( -2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = \mathbf{-16} \)
    (Il n'y a pas de parenthèses, donc l'exposant ne s'applique qu'au 2. Le signe négatif est appliqué après l'exponentiation.)

Question 3

Utilisez les exposants pour écrire ce qui suit en utilisant une seule puissance :

  1. \( 4 \times 8 \)
  2. \( 25 \times 5 \)
  3. \( 16 \times 4 \times 4^3 \)
  4. \( 2 \times 2 \times 8 \times 2^3 \)
  5. \( B \times B \times B^3 \)
Voir la solution

Pour combiner en une seule puissance, décomposez les nombres pour obtenir une base commune, puis additionnez les exposants.

  1. \( 4 \times 8 = (2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 2^2 \times 2^3 = \mathbf{2^5} \)
  2. \( 25 \times 5 = (5 \times 5) \times 5 = 5^2 \times 5^1 = \mathbf{5^3} \)
  3. \( 16 \times 4 \times 4^3 = (4 \times 4) \times 4^1 \times 4^3 = 4^2 \times 4^1 \times 4^3 = \mathbf{4^6} \)
  4. \( 2 \times 2 \times 8 \times 2^3 = 2^1 \times 2^1 \times (2 \times 2 \times 2) \times 2^3 = 2^1 \times 2^1 \times 2^3 \times 2^3 = \mathbf{2^8} \)
  5. \( B \times B \times B^3 = B^1 \times B^1 \times B^3 = \mathbf{B^5} \)

Question 4

Utilisez les exposants pour réécrire les expressions suivantes sous forme simplifiée :

  1. \( 2^3 \times 2^4 \)
  2. \( 6 \times 6^3 \)
  3. \( 5 \times 5^2 \times 5^3 \)
Voir la solution

Lorsque vous multipliez des puissances ayant la même base, il vous suffit d'additionner les exposants (Règle du produit : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)).

  1. \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = \mathbf{2^7} \)
    (Preuve développée : \((2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7\))
  2. \( 6 \times 6^3 = 6^1 \times 6^3 = 6^{1+3} = \mathbf{6^4} \)
  3. \( 5 \times 5^2 \times 5^3 = 5^1 \times 5^2 \times 5^3 = 5^{1+2+3} = \mathbf{5^6} \)

Références et liens supplémentaires

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