Comprendre comment trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) est une compétence mathématique essentielle, en particulier lorsque vous devez simplifier des fractions ou factoriser des expressions algébriques.
Cette page présente une leçon sur deux méthodes différentes pour trouver le PGCD, suivie de questions pratiques de niveau 7e année. Chaque question comprend une solution détaillée, étape par étape, pour vous aider à vérifier votre travail et à maîtriser le processus.
Le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres est le plus grand nombre entier qui divise exactement chacun de ces nombres.
Exemple : Trouvez le plus grand commun diviseur des nombres 12 et 18.
Recherchez les diviseurs communs de 12 et 18 : ils partagent tous les deux 1, 2, 3 et 6. Le plus grand de ces diviseurs communs est 6.
Exemple : Trouvez le plus grand commun diviseur des nombres 60 et 90.
Recherchez les facteurs premiers qu'ils partagent en commun : un 2, un 3 et un 5.
Multipliez ces facteurs premiers communs entre eux : \( \mathbf{2 \times 3 \times 5} = 30 \).
Le PGCD de 60 et 90 est 30.
Astuce : Vous pouvez utiliser notre Calculatrice de plus grand commun diviseur pour vérifier vos réponses finales !
Trouvez le PGCD pour les ensembles de nombres suivants. Développez les blocs de solution pour vérifier votre décomposition en facteurs premiers et votre réponse finale.
Trouvez le plus grand commun diviseur de 36 et 42.
Tout d'abord, trouvez la décomposition en facteurs premiers de 36 et 42 :
\( 36 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3} \times 3 \)
\( 42 = \mathbf{2} \times \mathbf{3} \times 7 \)
Identifiez les facteurs premiers qu'ils ont en commun. Les deux partagent un 2 et un 3.
Multipliez les facteurs communs : \( \mathbf{2 \times 3} = 6 \)
Le PGCD de 36 et 42 est 6.
Trouvez le plus grand commun diviseur de 45, 60 et 75.
Trouvez la décomposition en facteurs premiers pour les trois nombres :
\( 45 = \mathbf{3} \times 3 \times \mathbf{5} \)
\( 60 = 2 \times 2 \times \mathbf{3} \times \mathbf{5} \)
\( 75 = \mathbf{3} \times 5 \times \mathbf{5} \)
Identifiez les facteurs premiers partagés par les trois nombres. Ils partagent tous un 3 et un 5.
Multipliez les facteurs communs : \( \mathbf{3 \times 5} = 15 \)
Le PGCD de 45, 60 et 75 est 15.
Quel est le plus grand commun diviseur de 360 et 252 ?
Trouvez la décomposition en facteurs premiers pour les deux grands nombres :
\( 360 = \mathbf{2 \times 2} \times 2 \times \mathbf{3 \times 3} \times 5 \)
\( 252 = \mathbf{2 \times 2} \times \mathbf{3 \times 3} \times 7 \)
Identifiez les facteurs premiers communs. Ils partagent deux 2 et deux 3.
Multipliez les facteurs communs : \( \mathbf{2 \times 2 \times 3 \times 3} = 36 \)
Le PGCD de 360 et 252 est 36.
Quel est le plus grand commun diviseur de 324, 666 et 756 ?
Trouvez la décomposition en facteurs premiers pour les trois nombres :
\( 324 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3 \times 3} \times 3 \times 3 \)
\( 666 = \mathbf{2} \times \mathbf{3 \times 3} \times 37 \)
\( 756 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3 \times 3} \times 3 \times 7 \)
Identifiez les facteurs premiers partagés par les trois nombres. Ils partagent tous un 2 et deux 3.
Multipliez les facteurs communs : \( \mathbf{2 \times 3 \times 3} = 18 \)
Le PGCD de 324, 666 et 756 est 18.
Partie a) Tout d'abord, trouvez la décomposition en facteurs premiers de 12 et 16 :
\( 12 = \mathbf{2 \times 2} \times 3 \)
\( 16 = \mathbf{2 \times 2} \times 2 \times 2 \)
Le PGCD de 12 et 16 est \( \mathbf{2 \times 2} = 4 \).
Partie b) Nous pouvons utiliser la relation entre les nombres pour trouver rapidement le nouveau PGCD. Remarquez que :
\( 1200 = 12 \times \mathbf{100} \)
\( 1600 = 16 \times \mathbf{100} \)
Parce que les deux nombres sont multipliés par exactement 100, leur plus grand commun diviseur est également multiplié par 100.
Multipliez le PGCD de la partie (a) par 100 : \( 4 \times 100 = 400 \).
Le PGCD de 1200 et 1600 est 400.