Nombres premiers et composés en mathématiques
Questions de 7e année avec solutions détaillées

Que sont les nombres premiers et composés en mathématiques ? Cette page fournit des questions de mathématiques de 7e année accompagnées de solutions étape par étape. Cliquez sur la flèche sous chaque question pour révéler l'explication détaillée et construire de solides bases en mathématiques.

Définitions : Premier vs. Composé

Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui ne peut être divisé exactement que par 1 et par lui-même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11... sont des nombres premiers. Si vous essayez de les diviser par des nombres entiers autres que 1 ou eux-mêmes, le reste ne sera pas nul.

Nombres composés

Un nombre composé est un nombre entier supérieur à 1 qui peut être divisé exactement par 1, lui-même et d'autres nombres.

Exemples : 4, 6, 8, 12... sont des nombres composés car ils ont plusieurs diviseurs (facteurs) :

Questions pratiques

  1. Lesquels des nombres suivants sont premiers ?
    1, 6.3, 11, 14, 13, 21, 23, $\dfrac{4}{5}$, 100, 123
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    Les nombres suivants sont des nombres premiers :

    • 11, 13, 23 : Chacun de ces nombres est un nombre entier supérieur à 1, et est divisible uniquement par 1 et par lui-même.

    Les nombres suivants ne sont PAS des nombres premiers :

    • 1 : Par définition, un nombre premier doit être supérieur à 1.
    • 6.3 : C'est un nombre décimal, pas un nombre entier.
    • 14 : Divisible par 1, 2, 7 et 14.
    • 21 : Divisible par 1, 3, 7 et 21.
    • $\mathbf{\dfrac{4}{5}}$ : C'est une fraction, pas un nombre entier.
    • 100 : Divisible par 1, 2, 4, 5, 10, etc.
    • 123 : Divisible par 1, 3, 41 et 123 (Astuce : 1+2+3=6, et puisque 6 est divisible par 3, 123 est également divisible par 3).
  2. Lesquels des nombres suivants sont composés ?
    1, 8.4, 15, 13, $\dfrac{9}{2}$, 24, 33
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    Les nombres suivants sont des nombres composés :

    • 15 : Divisible par 1, 3, 5 et 15.
    • 24 : Divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
    • 33 : Divisible par 1, 3, 11 et 33.

    Les nombres suivants ne sont PAS des nombres composés :

    • 1 : Par définition, un nombre composé doit être supérieur à 1.
    • 8.4 : C'est un nombre décimal.
    • 13 : C'est un nombre premier (divisible uniquement par 1 et 13).
    • $\mathbf{\dfrac{9}{2}}$ : C'est une fraction, pas un nombre entier.
  3. Listez tous les nombres premiers entre 30 et 50 inclus.
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    Les nombres premiers entre 30 et 50 sont :
    31, 37, 41, 43, 47

  4. Listez tous les nombres composés entre 100 et 110 inclus.
    Voir la solution

    Les nombres composés entre 100 et 110 inclus sont :
    100, 102, 104, 105, 106, 108, 110

    (Remarque : 101, 103, 107 et 109 sont des nombres premiers).

  5. La somme de deux nombres premiers est-elle toujours un nombre premier ?
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    Non. Voici un exemple qui prouve que c'est faux :

    3 + 7 = 10

    3 et 7 sont tous deux des nombres premiers, mais leur somme (10) est un nombre composé.

  6. Le produit de deux nombres premiers est-il également un nombre premier ?
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    Jamais. Le produit résultant aura toujours au moins quatre diviseurs : 1, lui-même et les deux nombres premiers d'origine.

    Exemple : 7 × 11 = 77. Le nombre 77 a pour diviseurs 1, 7, 11 et 77, ce qui en fait un nombre composé.

  7. Quel est le plus grand nombre premier à 3 chiffres ?
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    Commencez par vérifier vers le bas à partir du plus grand nombre à 3 chiffres (999) :

    • 999 est divisible par 3 et 9 (Non premier).
    • 998 est un nombre pair divisible par 2 (Non premier).
    • 997 ne peut être divisé exactement par aucun nombre premier jusqu'à sa racine carrée (~31.5).

    Réponse : 997 est le plus grand nombre premier à 3 chiffres.

  8. Quel est le plus petit nombre premier à 2 chiffres ?
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    Commencez par vérifier vers le haut à partir du plus petit nombre à 2 chiffres (10) :

    • 10 est divisible par 2 et 5 (Non premier).
    • 11 est divisible uniquement par 1 et par lui-même.

    Réponse : 11 est le plus petit nombre premier à 2 chiffres.

  9. Listez tous les nombres premiers à deux chiffres qui peuvent être formés à partir des chiffres 1, 3 et 6 (en utilisant chaque chiffre une seule fois par nombre).
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    Tout d'abord, listez toutes les combinaisons possibles à deux chiffres : 13, 16, 31, 36, 61, 63.

    Ensuite, éliminez les nombres composés :

    • 16 et 36 sont pairs (divisibles par 2).
    • 63 est divisible par 3 et 9.

    Les nombres premiers restants sont : 13, 31 et 61.

  10. Pouvez-vous trouver un nombre premier dont le chiffre le moins significatif (le chiffre tout à droite) est 0 ?
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    Non. Tout nombre entier se terminant par 0 est divisible par 2, 5 et 10. Par conséquent, il sera toujours un nombre composé (ou 0 lui-même, qui n'est ni premier ni composé).

  11. Pouvez-vous trouver un nombre premier à plusieurs chiffres dont le chiffre le moins significatif (le chiffre tout à droite) est 5 ?
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    Non. Le seul nombre premier se terminant par 5 est le nombre 5 lui-même. Tout nombre à plusieurs chiffres se terminant par 5 (tel que 15, 25, 35...) est obligatoirement divisible par 5, ce qui en fait un nombre composé.

  12. Pouvez-vous trouver un nombre premier tel que la somme de tous ses chiffres soit égale à 12 ?
    Voir la solution

    Non. Il existe une règle de divisibilité mathématique qui stipule que si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 3, le nombre entier est divisible par 3. Puisque 12 est divisible par 3, tout nombre dont la somme des chiffres vaut 12 sera également divisible par 3, ce qui en fait un nombre composé.

Références et liens supplémentaires

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