Questions de mathématiques de 7e année sur la théorie des ensembles
Avec solutions étape par étape

Bienvenue sur la page d'étude de la théorie des ensembles en 7e année. Cette plateforme est conçue pour guider les élèves, les enseignants et les parents à travers les règles fondamentales des ensembles. Vous trouverez ci-dessous des questions de pratique couvrant la cardinalité des ensembles, l'appartenance d'éléments, les sous-ensembles, les unions et les intersections, ainsi que des solutions détaillées étape par étape.

Questions pratiques

  1. Trouvez la cardinalité de l'ensemble $A$ et de l'ensemble $B$ définis par :

    $A = \{a, b, c, d\}$  et  $B = \{1, 4, 7, 9, 10, 12, 23\}$

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    La cardinalité d'un ensemble est égale au nombre d'éléments distincts contenus dans cet ensemble. Nous utilisons la notation $|A|$ ou $\text{Card}(A)$ pour la représenter.

    • L'ensemble $A$ comporte $4$ éléments distincts, d'où $\mathbf{|A| = 4}$
    • L'ensemble $B$ comporte $7$ éléments distincts, d'où $\mathbf{|B| = 7}$
  2. Déterminez la cardinalité de chacun des ensembles suivants :
    • L'ensemble de tous les mois de l'année commençant par la lettre « M ».
    • L'ensemble de toutes les voyelles de l'alphabet.
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    a) L'ensemble des mois commençant par « M » :
    Soit cet ensemble $S$. En listant les éléments, on obtient : $S = \{\text{mars}, \text{mai}\}$.
    Ainsi, la cardinalité est $\mathbf{|S| = 2}$.

    b) L'ensemble de toutes les voyelles de l'alphabet :
    Soit cet ensemble $V$. En listant les éléments, on obtient : $V = \{a, e, i, o, u\}$.
    Ainsi, la cardinalité est $\mathbf{|V| = 5}$.

  3. Les ensembles $A$ et $B$ sont définis par :

    $A = \{3, 5, 7, 8\}$  et  $B = \{x, y, z\}$

    Répondez par Vrai ou Faux :
    • $3 \in A$
    • $3 \in B$
    • $x \notin A$
    • $z \in B$
    • $8 \in B$
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    Le symbole $\in$ désigne « est un élément de » (appartenance), tandis que $\notin$ désigne « n'est pas un élément de ».

    • Vrai ; $3$ est visiblement présent en tant que membre dans l'ensemble $A$.
    • Faux ; $3$ n'est pas un élément de l'ensemble $B$.
    • Vrai ; l'élément $x$ n'appartient pas à l'ensemble $A$.
    • Vrai ; $z$ est explicitement un élément de l'ensemble $B$.
    • Faux ; $8$ appartient à l'ensemble $A$, mais ce n'est pas un élément de l'ensemble $B$.
  4. Listez tous les éléments appartenant à chacun des ensembles suivants :
    • L'ensemble de tous les nombres pairs positifs inférieurs ou égaux à $10$.
    • L'ensemble de toutes les lettres uniques du mot « AUSTRALIA ».
    • L'ensemble de tous les nombres entiers supérieurs à $3$ et inférieurs à $16$ qui sont divisibles par $3$.
    • L'ensemble de tous les nombres entiers supérieurs à $5$ et inférieurs à $35$ qui sont divisibles par $5$.
    • L'ensemble de tous les nombres premiers divisibles par $3$.
    • L'ensemble de tous les nombres dont la valeur absolue est égale à $7$.
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    • $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ (Nombres pairs positifs commençant à $2$ jusqu'à $10$ inclus).
    • $\{A, U, S, T, R, L, I\}$ (En notation en extension, les éléments en double comme « A » ne sont listés qu'une seule fois).
    • $\{6, 9, 12, 15\}$ (Multiples de $3$ situés strictement entre $3$ et $16$).
    • $\{10, 15, 20, 25, 30\}$ (Multiples de $5$ situés strictement entre $5$ et $35$).
    • $\{3\}$ (Le seul nombre premier divisible par $3$ est $3$ lui-même).
    • $\{-7, 7\}$ (Car à la fois $|-7| = 7$ et $|7| = 7$).
  5. Étant donnés les ensembles suivants :

    $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
    $B = \{3, 5, 7\}$
    $C = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\}$
    $D = \{20, 25, 30\}$

    Répondez par Vrai ou Faux :
    • $A \subseteq B$
    • $B \subseteq A$
    • $B \nsubseteq C$
    • $C \subseteq D$
    • $D \nsubseteq A$
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    Le symbole $\subseteq$ signifie « est un sous-ensemble de » (chaque élément du premier ensemble doit se trouver dans le second). Le symbole $\nsubseteq$ signifie « n'est pas un sous-ensemble de ».

    • Faux ; les éléments $2, 4$ et $6$ appartiennent à $A$ mais sont absents de $B$.
    • Vrai ; chaque élément de l'ensemble $B$ ($3, 5$ et $7$) se trouve également dans l'ensemble $A$.
    • Faux ; comme tous les éléments de $B$ existent dans $C$, $B$ est un sous-ensemble ($B \subseteq C$).
    • Faux ; les éléments $3, 5$ et $7$ sont dans l'ensemble $C$ mais complètement absents de l'ensemble $D$.
    • Vrai ; les éléments $20, 25$ et $30$ sont présents dans l'ensemble $D$ mais n'existent nulle part dans l'ensemble $A$.
  6. À l'aide des ensembles $A, B, C$ et $D$ définis à la question 5, déterminez ce qui suit :
    • a) $A \cup B$
    • b) $A \cap B$
    • c) $B \cap C$
    • d) $C \cup B$
    • e) $D \cap C$
    • f) $(A \cap B) \cap C$
    • g) $(A \cup B) \cap (C \cup D)$
    • h) $(A \cup B) \cup (C \cup D)$
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    Rappelez-vous que le symbole d'union ($\cup$) combine tous les éléments des deux ensembles, tandis que le symbole d'intersection ($\cap$) extrait uniquement les éléments communs aux deux ensembles.

    • $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\} = A$ (Puisque $B$ est entièrement contenu dans $A$).
    • $A \cap B = \{3, 5, 7\} = B$ (Ce sont les éléments partagés entre les ensembles $A$ et $B$).
    • $B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (Les éléments partagés entre les ensembles $B$ et $C$).
    • $C \cup B = \{3, 5, 7, 20, 25, 30\} = C$ (Puisque $B$ est entièrement contenu dans $C$).
    • $D \cap C = \{20, 25, 30\} = D$ (Puisque $D \subseteq C$).
    • $(A \cap B) \cap C = B \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (Trouvez d'abord $A \cap B = B$, puis intersectez avec $C$).
    • $(A \cup B) \cap (C \cup D) = A \cap C = \{3, 5, 7\} = B$ (Évaluez les blocs entre parenthèses : $(A \cup B) = A$ et $(C \cup D) = C$, ce qui donne $A \cap C$).
    • $(A \cup B) \cup (C \cup D) = A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 30\}$ (Combine tous les éléments uniques de $A$ et $C$ ensemble).