Cette page vous apprendra à poser et à résoudre des proportions en mathématiques. Sous la leçon d'introduction, vous trouverez une série de questions de pratique de 7e année accompagnées de solutions étape par étape pour vous aider à vérifier votre travail.
Le tableau ci-dessous montre la distance parcourue par une voiture en kilomètres (km) et le temps en heures nécessaire pour parcourir cette distance. Nous supposons que la voiture roule à une vitesse constante. Combien d'heures faut-il pour parcourir 500 kilomètres ?
| Distance (km) | 50 | 100 | 150 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| Temps (heures) | 1 | 2 | 3 | $t$ |
Remarquez que si nous divisons la distance par le temps pour les trois premières colonnes, nous obtenons un taux constant :
$$\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50$$
Ce taux est la vitesse constante de $50 \text{ km/h}$. Nous disons que la distance est proportionnelle au temps. Parce que la voiture maintient la même vitesse, cette règle de proportionnalité fonctionne également pour la distance de $500 \text{ km}$ :
$$\frac{150}{3} = \frac{500}{t}$$
La principale difficulté dans la résolution des proportions est la présence de dénominateurs (comme $3$ et $t$). Pour résoudre la proportion, nous devons éliminer ces dénominateurs. Nous le faisons en multipliant les deux côtés de l'équation par le produit des dénominateurs ($3 \times t = 3t$).
Étape 1 : Multipliez les deux côtés par $3t$ :
$$3t \times \frac{150}{3} = 3t \times \frac{500}{t}$$
Étape 2 : Simplifiez en éliminant les termes communs de chaque côté :
$$t \times 150 = 3 \times 500$$
$$150t = 1500$$
Étape 3 : Divisez les deux côtés par $150$ pour isoler $t$ :
$$t = \frac{1500}{150} = \mathbf{10 \text{ heures}}$$
$$\frac{x}{2} = \frac{4}{8}$$
Multipliez les deux côtés de la proportion par le produit des dénominateurs ($2 \times 8 = 16$) :
$$16 \times \frac{x}{2} = 16 \times \frac{4}{8}$$
Simplifiez en éliminant les facteurs communs :
$$8x = 2 \times 4$$
$$8x = 8$$
Divisez les deux côtés par $8$ :
$$\frac{8x}{8} = \frac{8}{8} \implies \mathbf{x = 1}$$
$$\frac{3}{p} = \frac{1}{5}$$
Multipliez les deux côtés de la proportion par le produit des dénominateurs ($5 \times p = 5p$) :
$$5p \times \frac{3}{p} = 5p \times \frac{1}{5}$$
Simplifiez en éliminant les facteurs communs :
$$5 \times 3 = p \times 1$$
$$\mathbf{15 = p}$$
Multipliez les deux côtés de la proportion par le produit des dénominateurs ($5 \times 15 = 75$) :
$$75 \times \frac{31}{5} = 75 \times \frac{w}{15}$$
Simplifiez en calculant les divisions :
$$15 \times 31 = 5 \times w$$
$$465 = 5w$$
Divisez les deux côtés par $5$ pour isoler $w$ :
$$w = \frac{465}{5} \implies \mathbf{w = 93}$$
Autre méthode abrégée : Puisque vous avez seulement besoin d'isoler $w$, vous pouvez simplement multiplier les deux côtés par $15$ :
$$15 \times \frac{31}{5} = w \implies 3 \times 31 = w \implies \mathbf{w = 93}$$
$$\frac{2k}{3} = \frac{20}{6}$$
Multipliez les deux côtés de la proportion par le produit des dénominateurs ($3 \times 6 = 18$) :
$$18 \times \frac{2k}{3} = 18 \times \frac{20}{6}$$
Simplifiez en effectuant d'abord la division :
$$6 \times 2k = 3 \times 20$$
$$12k = 60$$
Divisez les deux côtés par $12$ :
$$\frac{12k}{12} = \frac{60}{12} \implies \mathbf{k = 5}$$
$$\frac{3}{7} = \frac{y}{0}$$
Aucune solution. La division par zéro n'est pas définie en mathématiques, ce qui rend impossible pour la fraction de droite d'avoir une valeur numérique valide.
$$\frac{1}{4} = \frac{0}{x}$$
Aucune solution. Si $x = 0$, le côté droit n'est pas défini. Pour toute autre valeur où $x \neq 0$, le côté droit se simplifie à $0$. Cependant, le côté gauche est $\frac{1}{4}$, ce qui n'est pas égal à $0$. Par conséquent, cette proportion n'a pas de solution valide.
Tout d'abord, réduisez la fraction du côté droit à sa forme la plus simple :
$$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$$
Réécrivez la proportion :
$$\frac{m}{4} = \frac{1}{4}$$
Puisque les dénominateurs sont égaux, les numérateurs doivent également être égaux. Par conséquent :
$$\mathbf{m = 1}$$
$$\frac{6}{14} = \frac{2t}{14}$$
Puisque les dénominateurs des deux côtés sont déjà égaux à $14$, leurs numérateurs doivent être égaux pour que la proportion soit vraie :
$$6 = 2t$$
Divisez les deux côtés par $2$ pour isoler $t$ :
$$\frac{6}{2} = \frac{2t}{2} \implies \mathbf{3 = t}$$