Cette page est conçue pour aider les étudiants à maîtriser le concept des taux unitaires. Vous trouverez ci-dessous des exemples introductifs expliquant comment poser des équations de taux unitaires, suivis de questions de pratique soigneusement sélectionnées avec des solutions étape par étape.
Un taux unitaire est un rapport comparant deux quantités qui ont des unités différentes (par exemple, des kilomètres et des heures, ou des dollars et des kilogrammes) où la seconde quantité est exactement d'une unité.
La voiture A parcourt $150$ kilomètres en $3$ heures. La voiture B parcourt $220$ kilomètres en $4$ heures. En supposant que les deux voitures roulent à des vitesses constantes, laquelle des deux voitures roule le plus vite ?
Tout d'abord, calculez la distance parcourue par la voiture A en exactement une heure (le taux unitaire) :
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ heures}} = \frac{50 \text{ km}}{1 \text{ heure}} = 50 \text{ km/h}$$
Ensuite, calculez la distance parcourue par la voiture B en une heure :
$$\frac{220 \text{ km}}{4 \text{ heures}} = \frac{55 \text{ km}}{1 \text{ heure}} = 55 \text{ km/h}$$
Les quantités $50 \text{ km/h}$ et $55 \text{ km/h}$ sont des taux unitaires car le dénominateur est exactement une unité de temps. En comparant ces taux unitaires, nous pouvons clairement voir que la voiture B roule plus vite.
Une voiture parcourt $150$ kilomètres en $3$ heures. En supposant une vitesse constante, combien d'heures faut-il à cette voiture pour parcourir $250$ kilomètres ?
Soit $t$ le nombre d'heures nécessaires pour parcourir $250 \text{ km}$. Comme la vitesse est constante, le taux unitaire reste le même. Nous pouvons poser une proportion :
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ heures}} = \frac{250 \text{ km}}{t}$$
Pour résoudre $t$, nous pouvons utiliser la méthode du produit en croix. Multipliez en diagonale de part et d'autre du signe égal :
$$150 \text{ km} \times t = 250 \text{ km} \times 3 \text{ heures}$$
Isolez $t$ en divisant les deux côtés par $150 \text{ km}$ :
$$t = \frac{250 \times 3}{150} \text{ heures}$$
$$t = \frac{750}{150} \text{ heures} = \mathbf{5 \text{ heures}}$$
Remarque : Si vous êtes bloqué, développez le bloc de solution pour voir la logique étape par étape.
Soit $d$ la distance réelle en kilomètres. Posez une proportion comparant l'échelle de la carte à la distance inconnue :
$$\frac{15 \text{ km}}{5 \text{ cm}} = \frac{d}{15 \text{ cm}}$$
Effectuez le produit en croix :
$$15 \text{ km} \times 15 \text{ cm} = d \times 5 \text{ cm}$$
Divisez les deux côtés par $5 \text{ cm}$ :
$$d = \frac{15 \times 15}{5} \text{ km} = \frac{225}{5} \text{ km} = \mathbf{45 \text{ km}}$$
Soit $x$ le nombre de gallons nécessaires pour parcourir $330 \text{ miles}$. Posez la proportion :
$$\frac{220 \text{ miles}}{10 \text{ gallons}} = \frac{330 \text{ miles}}{x}$$
Effectuez le produit en croix :
$$220 \times x = 330 \text{ miles} \times 10 \text{ gallons}$$
Divisez les deux côtés par $220$ pour isoler $x$ :
$$x = \frac{3300}{220} = \mathbf{15 \text{ gallons}}$$
Tout d'abord, trouvez le coût d'exactement un billet (le taux unitaire) :
$$c = \frac{\$66}{10 \text{ billets}} = \$6.60 \text{ par billet}$$
Pour trouver le coût total ($C$) de $22$ billets, multipliez le taux unitaire par $22$ :
$$C = 22 \text{ billets} \times \$6.60 \text{ par billet} = \mathbf{\$145.20}$$
Partie a : Tout d'abord, trouvez le nombre de canettes par carton (le taux unitaire) :
$$\text{Taux unitaire} = \frac{36 \text{ canettes}}{4 \text{ cartons}} = 9 \text{ canettes par carton}$$
Dans $7$ cartons, le nombre de canettes est :
$$7 \text{ cartons} \times 9 \text{ canettes par carton} = \mathbf{63 \text{ canettes}}$$
Partie b : Soit $B$ le nombre de cartons nécessaires pour emballer $99 \text{ canettes}$. En utilisant le taux unitaire, écrivez la proportion :
$$\frac{9 \text{ canettes}}{1 \text{ carton}} = \frac{99 \text{ canettes}}{B}$$
Effectuez le produit en croix et résolvez pour $B$ :
$$9 \times B = 99 \times 1 \implies B = \frac{99}{9} = \mathbf{11 \text{ cartons}}$$
Tout d'abord, trouvez le coût de $1 \text{ kg}$ de pommes (le taux unitaire) :
$$c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3.75 \text{ par kg}$$
Connaissant le taux unitaire, le coût ($C$) de $11 \text{ kg}$ est :
$$C = 11 \text{ kg} \times \$3.75 \text{ par kg} = \mathbf{\$41.25}$$
Partie a : Trouvez le nombre de gallons acheminés en une minute (le taux unitaire) :
$$\text{Taux unitaire} = \frac{55 \text{ gallons}}{10 \text{ minutes}} = 5.5 \text{ gallons par minute}$$
Le nombre de gallons acheminés en $22 \text{ minutes}$ est :
$$22 \text{ minutes} \times 5.5 \text{ gallons par minute} = \mathbf{121 \text{ gallons}}$$
Partie b : Soit $T$ le nombre de minutes pour acheminer $165 \text{ gallons}$. Posez la proportion :
$$\frac{55 \text{ gallons}}{10 \text{ minutes}} = \frac{165 \text{ gallons}}{T}$$
Effectuez le produit en croix et résolvez :
$$55 \times T = 165 \times 10 \implies T = \frac{1650}{55} = \mathbf{30 \text{ minutes}}$$
Soit $T$ le nombre total d'heures nécessaires pour que les $324 \text{ litres}$ s'écoulent entièrement. En utilisant l'égalité des taux :
$$\frac{3 \text{ litres}}{5 \text{ heures}} = \frac{324 \text{ litres}}{T}$$
Effectuez le produit en croix :
$$3 \times T = 5 \times 324$$
Divisez les deux côtés par $3$ et simplifiez :
$$T = \frac{1620}{3} = \mathbf{540 \text{ heures}}$$
Soit $W$ le poids de $5 \text{ canettes}$. En utilisant l'égalité des taux :
$$\frac{20 \text{ canettes}}{7300 \text{ grammes}} = \frac{5 \text{ canettes}}{W}$$
Effectuez le produit en croix :
$$20 \times W = 5 \times 7300$$
Divisez les deux côtés par $20$ et simplifiez :
$$W = \frac{36500}{20} = \mathbf{1825 \text{ grammes}}$$
Dans ce problème, nous avons deux taux unitaires concurrents : le taux unitaire de remplissage ($R_f$) et le taux unitaire de fuite ($R_l$). Trouvons le taux unitaire par seconde pour les deux :
$$R_f = \frac{5 \text{ litres}}{45 \text{ secondes}} = \frac{1}{9} \text{ litre par seconde}$$
$$R_l = \frac{1 \text{ litre}}{180 \text{ secondes}}$$
Nous savons que $1 \text{ heure} = 3600 \text{ secondes}$. Calculons le volume total pour les deux actions sur cette période.
La quantité ($Q_1$) d'eau pompée à l'intérieur après $1 \text{ heure}$ est :
$$Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{1}{9} \times 3600 = 400 \text{ litres}$$
La quantité ($Q_2$) d'eau perdue par fuite après $1 \text{ heure}$ est :
$$Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \text{ litres}$$
Par conséquent, la quantité totale ($Q$) d'eau restant dans le récipient après $1 \text{ heure}$ est :
$$Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = \mathbf{380 \text{ litres}}$$