La différence des mesures de deux angles supplémentaires est de 102 degrés. Trouvez les deux angles.

La somme des angles supplémentaires est de 180 degrés. Soit y le plus petit angle ; le plus grand angle est y + 102. Mise en équation : y + (y + 102) = 180. La résolution donne 2y = 78, donc y = 39. Le plus petit angle est de 39 degrés et le plus grand est de 141 degrés.

Problèmes Énoncés sur les Équations Linéaires : Questions et Solutions de 8e Année

Q: La somme de deux nombres est 64. La différence de ces deux nombres est 18. Quels sont ces nombres ?

Soit x le plus petit nombre. Puisque la différence est 18, le plus grand nombre est x + 18. La somme est x + (x + 18) = 64. La résolution pour x donne 2x = 46, donc x = 23. Le plus petit nombre est 23 et le plus grand nombre est 41.

Q: La longueur d'un rectangle est supérieure de 10 mètres au double de sa largeur. Quelles sont la longueur et la largeur si son périmètre est de 62 mètres ?

Soit W la largeur. La longueur L est 2W + 10. La formule du périmètre est 2L + 2W = 62. En substituant L, on obtient 2(2W + 10) + 2W = 62. En simplifiant, on obtient 6W + 20 = 62. En résolvant pour W, on obtient W = 7. La largeur est de 7 mètres et la longueur est de 24 mètres.

Propriétés des Nombres : Le triple d'un nombre augmenté de dix est égal au sextuple de ce nombre diminué de vingt. Trouvez ce nombre.

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(x\) le nombre.

"Le triple d'un nombre augmenté de 10" se traduit par \(3x + 10\).
"Est égal à" se traduit par \(=\).
"Le sextuple de ce nombre diminué de 20" se traduit par \(6x - 20\).

Établir l'équation et résoudre :

\(3x + 10 = 6x - 20\)
\(3x - 6x = -20 - 10\) (Déplacer les variables d'un côté et les constantes de l'autre)
\(-3x = -30\)
\(x = 10\) (Diviser les deux côtés par -3)

Vérification : \(3(10) + 10 = 40\) et \(6(10) - 20 = 40\). La solution est correcte.

Traduction Complexe : Si l'on ajoute 4 au double de la différence entre un nombre et 3, le résultat est supérieur de 22 au quadruple de ce nombre. Trouvez ce nombre.

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(x\) le nombre.

"Le double de la différence entre un nombre et 3 ajouté à 4" se traduit par \(2(x - 3) + 4\).
"Le résultat est" se traduit par \(=\).
"Supérieur de 22 au quadruple de ce nombre" se traduit par \(4x + 22\).

Établir l'équation et résoudre :

\(2(x - 3) + 4 = 4x + 22\)
\(2x - 6 + 4 = 4x + 22\) (Distribuer le 2)
\(2x - 2 = 4x + 22\) (Combiner les constantes à gauche)
\(2x - 4x = 22 + 2\) (Déplacer les variables à gauche, les constantes à droite)
\(-2x = 24\)
\(x = -12\)

Sommes et Différences : La somme de deux nombres est 64. La différence de ces deux nombres est 18. Quels sont ces nombres ?

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(x\) le plus petit nombre. Puisque la différence entre les deux nombres est 18, le plus grand nombre doit être \(x + 18\).

Établir l'équation en utilisant leur somme :

\(x + (x + 18) = 64\)
\(2x + 18 = 64\) (Combiner les termes semblables)
\(2x = 64 - 18\)
\(2x = 46\)
\(x = 23\) (C'est le plus petit nombre)

Trouver le plus grand nombre :

Plus grand nombre = \(x + 18 = 23 + 18 =\) \(41\)

Vérification : \(23 + 41 = 64\) et \(41 - 23 = 18\).

Application Géométrique (Périmètre) : La longueur d'un rectangle est supérieure de 10 mètres au double de sa largeur. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle si son périmètre est de 62 mètres ?

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(W\) la largeur. La longueur \(L\) est décrite par \(2W + 10\).

La formule du périmètre d'un rectangle est \(P = 2L + 2W\).

\(62 = 2L + 2W\)
\(62 = 2(2W + 10) + 2W\) (Substituer l'expression de L)
\(62 = 4W + 20 + 2W\) (Distribuer le 2)
\(62 = 6W + 20\) (Combiner les termes semblables)
\(62 - 20 = 6W\)
\(42 = 6W\)
\(W = 7\) mètres

Maintenant, trouver la longueur :

\(L = 2(7) + 10 = 14 + 10 =\) \(24\) mètres

Moyennes : La moyenne de 35, 45 et \(x\) est égale au double de \(x\) augmenté de cinq. Trouvez \(x\).

Voir la Solution Étape par Étape

Pour trouver la moyenne de trois nombres, additionnez-les et divisez par 3 :

\(\dfrac{35 + 45 + x}{3} = 2x + 5\) (Établir l'équation d'après l'énoncé du problème)
\(35 + 45 + x = 3(2x + 5)\) (Multiplier les deux côtés par 3 pour éliminer la fraction)
\(80 + x = 6x + 15\) (Combiner les nombres et distribuer le 3)
\(80 - 15 = 6x - x\) (Regrouper les variables et les constantes)
\(65 = 5x\)
\(x = 13\) (Diviser par 5)

Angles Supplémentaires : La différence des mesures de deux angles supplémentaires est de \(102^\circ\). Trouvez les deux angles.

Voir la Solution Étape par Étape

La somme des angles supplémentaires est de \(180^\circ\). Soit le plus petit angle \(y\). Puisque leur différence est de \(102^\circ\), le plus grand angle est \(y + 102^\circ\).

\(y + (y + 102) = 180\)
\(2y + 102 = 180\) (Combiner les termes semblables)
\(2y = 180 - 102\)
\(2y = 78\)
\(y = 39^\circ\) (C'est le plus petit angle)

Trouver le plus grand angle :

Plus grand angle = \(39^\circ + 102^\circ =\) \(141^\circ\)

Angles Complémentaires : Deux angles complémentaires sont tels que l'un d'eux mesure \(14^\circ\) de plus que le triple du second angle. Quelle est la mesure du plus grand angle ?

Voir la Solution Étape par Étape

La somme des angles complémentaires est de \(90^\circ\). Soit le plus petit angle \(y\). Le plus grand angle est \(3y + 14^\circ\).

\(y + (3y + 14) = 90\)
\(4y + 14 = 90\) (Combiner les termes semblables)
\(4y = 90 - 14\)
\(4y = 76\)
\(y = 19^\circ\) (C'est le plus petit angle)

Trouver le plus grand angle :

Plus grand angle = \(3(19) + 14 = 57 + 14 =\) \(71^\circ\)

Entiers Consécutifs : La somme d'un entier pair positif et du troisième entier pair suivant est égale à 150. Trouvez ce nombre.

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(x\) le premier entier pair. Les entiers pairs consécutifs font des sauts de 2. La séquence est la suivante : \(x\) (1er), \(x + 2\) (suivant), \(x + 4\) (deuxième suivant), \(x + 6\) (troisième suivant).

\(x + (x + 6) = 150\) (Faire la somme du premier et du troisième suivant)
\(2x + 6 = 150\)
\(2x = 150 - 6\)
\(2x = 144\)
\(x = 72\)

Entiers Impairs Consécutifs : La moyenne de trois nombres impairs successifs est égale à 129. Quel est le plus grand de ces trois nombres ?

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(x\), \(x + 2\) et \(x + 4\) les trois nombres impairs successifs. (Les nombres impairs font aussi des sauts de 2).

\(\dfrac{x + (x + 2) + (x + 4)}{3} = 129\) (Établir l'équation de la moyenne)
\(\dfrac{3x + 6}{3} = 129\) (Combiner les termes au numérateur)
\(x + 2 = 129\) (Diviser les termes du numérateur par 3)
\(x = 127\) (C'est le plus petit nombre)

Trouver le plus grand nombre (\(x + 4\)) :

Plus grand nombre = \(127 + 4 =\) \(131\)

Moyennes et Différences : Deux nombres sont tels que l'un est supérieur de 42 au second et leur moyenne est égale à 40. Quels sont ces deux nombres ?

Voir la Solution Étape par Étape

Soit \(x\) le plus petit nombre. Le plus grand nombre est \(x + 42\).

\(\dfrac{x + (x + 42)}{2} = 40\) (Établir l'équation de la moyenne)
\(\dfrac{2x + 42}{2} = 40\) (Combiner les termes semblables)
\(x + 21 = 40\) (Diviser les termes du numérateur par 2)
\(x = 19\) (C'est le plus petit nombre)

Trouver le plus grand nombre :

Plus grand nombre = \(19 + 42 =\) \(61\)

Les deux nombres sont 19 et 61.

Équations Linéaires de 8e Année : Applications Concrètes et Problèmes Énoncés

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