Comment calculez-vous l'aire d'un cercle ?

L'aire d'un cercle se calcule à l'aide de la formule A = πr², où 'r' est le rayon du cercle.

Comment trouvez-vous l'aire d'une allée ou d'un chemin circulaire ?

Pour trouver l'aire d'une allée circulaire, calculez l'aire du cercle extérieur entier et soustrayez l'aire du cercle intérieur.

Que se passe-t-il avec l'aire d'un cercle si le rayon est augmenté ?

Comme la formule de l'aire élève le rayon au carré, l'aire augmente selon le carré du facteur d'échelle. Par exemple, si le rayon est triplé (un rapport de 3:1), la nouvelle aire devient 9 fois plus grande (un rapport de 9:1).

Géométrie du Cercle : Problèmes d'Aire et de Circonférence (8e Année)

Rapports d'Aires : Les trois cercles $ C_1 $, $ C_2 $, et $ C_3 $ ont leurs centres $ O_1 $, $ O_2 $, et $ O_3 $ sur la ligne $ L $ et sont tous tangents au même point. Si le diamètre du plus grand cercle est de 20 unités, quel est le rapport entre l'aire du plus grand cercle et l'aire du plus petit cercle ? $Trois cercles tangents de tailles décroissantes à l'intérieur les uns des autres$

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Étape 1 : Aire du plus grand cercle ($ C_1 $)

Le diamètre du cercle $ C_1 $ est de 20 unités, donc son rayon ($ r_1 $) est de 10 unités.
L'aire $ A $ du cercle $ C_1 $ = $ \pi(10)^2 = 100\pi $.

Étape 2 : Aire du plus petit cercle ($ C_3 $)

D'après le schéma, le diamètre de $ C_2 $ est égal au rayon de $ C_1 $ (10 unités). Donc, $ r_2 = 5 $ unités.
Le diamètre de $ C_3 $ est égal au rayon de $ C_2 $ (5 unités). Donc, le rayon de $ C_3 $ ($ r_3 $) est de 2,5 unités.
L'aire $ B $ du cercle $ C_3 $ = $ \pi(2.5)^2 $.

Étape 3 : Trouver le rapport

$ \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi(10)^2}{\pi(2.5)^2} $
$ = \left(\dfrac{10}{2.5}\right)^2 = 4^2 = 16 $
Le rapport est de 16:1.

Formes Composées : Le jardin de Mme Parkinson est composé de 4 carrés et 2 demi-cercles comme illustré ci-dessous. Chaque petit carré a une aire de 4 mètres carrés. Trouvez l'aire totale du jardin. $Aménagement du jardin avec 4 carrés centraux flanqués de 2 demi-cercles$

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Étape 1 : Aire des carrés

Aire totale des 4 carrés = $ 4 \times 4 = 16 \text{ m}^2 $.

Étape 2 : Trouver les dimensions des demi-cercles

L'aire d'un petit carré est de $ 4 \text{ m}^2 $, ce qui signifie que la longueur de son côté est de $ \sqrt{4} = 2 \text{ m} $.
Le rayon de chaque demi-cercle correspond au côté du carré, donc $ r = 2 \text{ m} $.

Étape 3 : Calculer l'aire totale

Les deux demi-cercles se combinent pour former un cercle complet.
Aire du cercle = $ \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ m}^2 $.
Aire Totale = $ 16 + 4\pi \approx 16 + 12.56 = $ $ 28.56 \text{ m}^2 $ (en utilisant $\pi \approx 3.14$).

Application Concrète : Un arroseur à eau peut pulvériser de l'eau à une distance maximale de 12 mètres dans toutes les directions. Quelle surface du jardin cet arroseur peut-il irriguer ? Arrondissez votre réponse au mètre carré le plus proche.

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Une rotation complète de l'arroseur irrigue une zone circulaire d'un rayon de 12 mètres.
Aire = $ \pi r^2 $
Aire = $ \pi(12)^2 = 144\pi $
$ 144 \times 3.14159 \approx 452.389 $
L'arroseur peut irriguer environ 452 mètres carrés.

Cercles Concentriques : Un jardin circulaire d'un rayon de 10 mètres est entouré d'une allée d'une largeur de 1 mètre. Trouvez l'aire de l'allée (la partie ombrée). $Cercle intérieur entouré d'un anneau extérieur ombré représentant une allée$

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L'allée est comprise entre un petit cercle intérieur et un grand cercle extérieur.
Rayon intérieur = 10 mètres.
Rayon extérieur = $ 10 + 1 = 11 $ mètres.
Aire de l'allée = Aire du Cercle Extérieur - Aire du Cercle Intérieur
Aire = $ (\pi \times 11^2) - (\pi \times 10^2) $
Aire = $ 121\pi - 100\pi $ = $ 21\pi \text{ m}^2 $

Application de Coût Unitaire : Une pizza circulaire coûte 19,99 $. Quel est le coût d'un centimètre carré si le diamètre de la pizza est de 36 cm ?

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Tout d'abord, trouvez le rayon : $ 36 \div 2 = 18 \text{ cm} $.
Calculez l'aire totale : $ \pi \times 18^2 = 324\pi \approx 1017.87 \text{ cm}^2 $.
Calculez le coût par cm carré en divisant le coût total par l'aire totale.
$ \dfrac{19.99}{1017.87} \approx 0.0196 \text{ dollars} $
Le coût est d'environ 2 cents par centimètre carré.

Raisonnement Inverse à partir de l'Aire : Quelle longueur de clôture est nécessaire pour le jardin de fleurs circulaire des Robinson qui a une superficie de 5 mètres carrés ? (Arrondissez votre réponse au mètre le plus proche).

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La clôture fait le tour à l'extérieur, nous devons donc trouver la circonférence. Tout d'abord, nous devons trouver le rayon.

$ \pi \times r^2 = 5 $
$ r^2 = \dfrac{5}{\pi} $
$ r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1.26 \text{ mètres} $

Maintenant, calculez la circonférence :

$ C = 2\pi r $
$ C = 2 \times \pi \times 1.26 \approx 7.92 \text{ mètres} $
Environ 8 mètres de clôture sont nécessaires.

Augmentation en Pourcentage : Le rayon d'un disque circulaire est augmenté de 20%. Quel est le pourcentage d'augmentation de l'aire du disque ?

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Aire Initiale = $ \pi r^2 $.
Si le rayon augmente de 20%, le nouveau rayon est $ r + 0.20r = 1.2r $.
Nouvelle Aire = $ \pi(1.2r)^2 = 1.44\pi r^2 $.
Trouvez la différence d'aire : $ 1.44\pi r^2 - 1\pi r^2 = 0.44\pi r^2 $.
Pour trouver le pourcentage de variation, divisez la différence par l'aire initiale et multipliez par 100.
$ \left(\dfrac{0.44\pi r^2}{\pi r^2}\right) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = $ $ 44\% $.

Application de Débordement : Une table circulaire a un diamètre de 100 pouces. Une nappe circulaire dépasse les bords de 15 pouces tout autour de la table. Quelle est l'aire de la nappe ?

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Si le diamètre de la table est de 100 pouces, et que la nappe dépasse de 15 pouces des deux côtés, le diamètre total de la nappe est de $ 100 + 15 + 15 = 130 \text{ pouces} $.
Le rayon de la nappe est de $ 130 \div 2 = 65 \text{ pouces} $.
Aire = $ \pi r^2 = \pi(65)^2 $
Aire = $ 4225\pi \approx $ $ 13 273 \text{ pouces carrés} $ (Remarque : Si l'on utilise 3.14 pour $\pi$, la réponse s'arrondit à environ 13 267 pouces carrés).

Carrés et Cercles : ABCD est un carré avec un sommet au centre du cercle et deux sommets sur le cercle. Quelle est la longueur de la diagonale $ AC $ si l'aire du cercle est de 100 cm carrés ? $Carré partiellement inscrit dans un cercle avec le sommet A au centre$

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Étape 1 : Trouver le rayon au carré

Aire = $ \pi r^2 = 100 \implies r^2 = \dfrac{100}{\pi} $.

Étape 2 : Utiliser le théorème de Pythagore

Parce que le sommet A est au centre et que B et D sont sur le cercle, les côtés $ AB $ et $ AD $ sont égaux au rayon du cercle ($ r $).
Dans le triangle rectangle $ \triangle ABC $, la diagonale $ AC $ est l'hypoténuse.
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 $
Substituez la valeur de $ r^2 $ : $ AC^2 = 2\left(\dfrac{100}{\pi}\right) = \dfrac{200}{\pi} $.
$ AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx $ $ 8 \text{ cm} $.

Rapports de Périmètre et d'Aire : Le rapport du périmètre du cercle A au périmètre du cercle B est de 3:1. Quel est le rapport de l'aire du cercle A à l'aire du cercle B ?

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Soit $ R_A $ le rayon du cercle A et $ R_B $ le rayon du cercle B.
Le rapport de leurs périmètres (circonférences) est de $ \dfrac{2\pi R_A}{2\pi R_B} = \dfrac{R_A}{R_B} = \dfrac{3}{1} $.
Par conséquent, $ R_A = 3R_B $.
Le rapport de leurs aires est de $ \dfrac{\pi R_A^2}{\pi R_B^2} $.
Substituez $ 3R_B $ à $ R_A $ : $ \dfrac{\pi(3R_B)^2}{\pi R_B^2} = \dfrac{9\pi R_B^2}{\pi R_B^2} = 9 $.
Le rapport des aires est de 9:1.

Intersection de Cordes : Dans un cercle de centre $ O $, une corde $ AB $ est perpendiculaire à un rayon. Le rayon coupe la corde en son milieu, $ P $. Si la longueur du rayon du cercle est de 10 unités et que la distance du centre à la corde ($ OP $) est de 6 unités, trouvez la longueur de la corde $ AB $. $Un cercle montrant une corde coupée par un rayon perpendiculaire$

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Parce que le rayon est perpendiculaire à la corde, il crée un triangle rectangle $ \triangle OAP $, où $ O $ est le centre, $ A $ est une extrémité de la corde, et $ P $ est le milieu.
L'hypoténuse $ OA $ est le rayon = 10 unités.
Le côté $ OP $ est la distance à la corde = 6 unités.

Étape 1 : Utiliser le théorème de Pythagore pour trouver $ AP $

$ OA^2 = OP^2 + AP^2 $
$ 10^2 = 6^2 + AP^2 $
$ 100 = 36 + AP^2 $
$ AP^2 = 100 - 36 = 64 \implies AP = 8 \text{ unités} $.

Étape 2 : Trouver la longueur totale de la corde

Puisque $ P $ coupe la corde en deux, $ AB = 2 \times AP $.
$ AB = 2 \times 8 = $ $ 16 \text{ unités} $.

Problèmes sur les Cercles (8e Année) avec Solutions Détaillées

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Liens et Références