Comment trouvez-vous le volume d'un cube si vous connaissez sa surface totale ?

Tout d'abord, divisez la surface totale par 6 pour trouver l'aire d'une face. Ensuite, prenez la racine carrée de ce nombre pour trouver la longueur du côté. Enfin, élevez la longueur du côté au cube (multipliez-la par elle-même trois fois) pour trouver le volume.

Quelle est la différence entre les angles complémentaires et supplémentaires ?

Les angles complémentaires sont deux angles dont les mesures s'additionnent pour donner exactement 90 degrés. Les angles supplémentaires sont deux angles dont les mesures s'additionnent pour donner exactement 180 degrés.

Comment trouvez-vous le rapport des aires de deux formes semblables ?

Si vous connaissez le rapport de leurs longueurs de côtés correspondantes, vous pouvez trouver le rapport de leurs aires en élevant au carré le rapport des longueurs de côtés. Par exemple, si le rapport des côtés est de 1:4, le rapport des aires est de 1:16.

Problèmes de Géométrie (8e Année) : Questions d'Entraînement et Solutions Étape par Étape

Formules du Cylindre : Trouvez l'aire de la surface totale et le volume d'un récipient cylindrique fermé avec un rayon de 5 cm et une hauteur de 34 cm.

Indice : Aire $ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh $, Volume $ V = \pi r^2 h $

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Étape 1 : Calculer l'Aire de la Surface Totale

$ A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) $ (Substituer $ r=5 $ et $ h=34 $)
$ A = 2\pi(25) + 2\pi(170) $
$ A = 50\pi + 340\pi $
Aire = $ 390\pi \text{ cm}^2 $

Étape 2 : Calculer le Volume

$ V = \pi(5)^2(34) $
$ V = \pi(25)(34) $
Volume = $ 850\pi \text{ cm}^3 $

Formules du Cône : Trouvez l'aire de la surface totale et le volume d'un récipient conique fermé avec un rayon de 5 cm et une hauteur de 15 cm. (Arrondissez vos réponses à l'unité la plus proche).

Indice : Aire $ A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} $, Volume $ V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h $

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Étape 1 : Calculer l'Aire de la Surface Totale

Tout d'abord, trouvez la génératrice (apothème) : $ \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15.81 $ cm.
$ A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15.81) $
$ A = 25\pi + 79.05\pi = 104.05\pi $
$ 104.05 \times 3.14159 \approx 326.88 $
Aire $\approx 327 \text{ cm}^2 $

Étape 2 : Calculer le Volume

$ V = \dfrac{1}{3}\pi(5)^2(15) $
$ V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi $
$ 125 \times 3.14159 \approx 392.69 $
Volume $\approx 393 \text{ cm}^3 $

Raisonnement Inverse (Cubes) : Un cube a une surface totale pour ses six faces égale à 150 pieds carrés. Quel est le volume du cube ?

Indice : Aire $ A = 6s^2 $, Volume $ V = s^3 $ (où $ s $ est la longueur du côté)

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Étape 1 : Trouver la longueur du côté ($ s $)

La surface totale est la somme de 6 faces carrées identiques.
$ 6s^2 = 150 $
$ s^2 = 25 $ (Diviser par 6)
$ s = 5 \text{ pieds} $ (Prendre la racine carrée)

Étape 2 : Calculer le Volume

$ V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $
Volume = $ 125 \text{ pieds cubes} $

Angles Complémentaires : Quels sont les deux angles qui sont complémentaires ?

21$^{\circ} $ et 78$^{\circ} $
58$^{\circ} $ et 22$^{\circ} $
67$^{\circ} $ et 23$^{\circ} $
140$^{\circ} $ et 40$^{\circ} $

Définition : Les angles complémentaires s'additionnent pour donner 90$^{\circ} $.

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Nous devons trouver la paire qui s'additionne pour donner exactement 90$^{\circ} $ :

A) 21 + 78 = 99$^{\circ} $
B) 58 + 22 = 80$^{\circ} $
C) 67 + 23 = 90$^{\circ} $ (Ceux-ci sont complémentaires)
D) 140 + 40 = 180$^{\circ} $ (Ceux-ci sont supplémentaires)

Réponse : C

Angles Supplémentaires : Quels sont les deux angles qui ne sont pas supplémentaires ?

30$^{\circ} $ et 150$^{\circ} $
5$^{\circ} $ et 175$^{\circ} $
89$^{\circ} $ et 91$^{\circ} $
23$^{\circ} $ et 177$^{\circ} $

Définition : Les angles supplémentaires s'additionnent pour donner 180$^{\circ} $.

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Nous devons trouver la paire qui ne s'additionne pas pour donner exactement 180$^{\circ} $ :

A) 30 + 150 = 180$^{\circ} $
B) 5 + 175 = 180$^{\circ} $
C) 89 + 91 = 180$^{\circ} $
D) 23 + 177 = 200$^{\circ} $ (Ceux-ci ne valent pas 180)

Réponse : D

Aire d'un Trapèze : Trouvez la hauteur $ h $ du trapèze pour que son aire soit égale à 400 cm carrés. $Trapèze avec base supérieure de 10cm, base inférieure de 30cm, et hauteur h$

Indice : $ A_{\text{trapèze}} = \dfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) $

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Les bases données sont $ b_1 = 27 $ et $ b_2 = 13 $. L'Aire est de 400.
$ 400 = \dfrac{1}{2}h(27 + 13) $ (Substituer les valeurs connues)
$ 400 = \dfrac{1}{2}h(40) $
$ 400 = 20h $
$ h = \dfrac{400}{20} $
$ h = 20 \text{ cm} $

Aire d'un Parallélogramme : Trouvez la largeur $ w $ du parallélogramme pour que son aire soit égale à 600 pieds carrés. $Parallélogramme de hauteur 20 pieds et de base w$

Indice : $ A_{\text{parallélogramme}} = \text{base} \times \text{hauteur} $

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La hauteur donnée est de 20 pieds. L'Aire est de 600. La base est étiquetée $ w $.
$ 600 = w \times 20 $
$ w = \dfrac{600}{20} $
$ w = 30 \text{ pieds} $

Aire Complexe : Trouvez l'aire de la forme ombrée en vous basant sur les dimensions visuelles fournies. $Forme géométrique complexe$

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L'aire de la région ombrée est égale à l'aire du grand rectangle de 40 par 25 de laquelle on soustrait l'aire du petit rectangle blanc de 14 par 12 (à gauche) et l'aire du triangle blanc de hauteur 10 et de base 25 (à droite).
$ \text{Aire de la Région Ombrée} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 $

Surface d'une Boîte Ouverte : Trouvez l'aire de la surface totale de la boîte, qui est ouverte sur le dessus. $Dimensions d'une boîte rectangulaire ouverte$

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Pour trouver l'aire de la surface d'une boîte ouverte, nous calculons l'aire de la base (12 par 9) et ajoutons deux fois l'aire de la face avant (12 par 11) et deux fois l'aire de la face droite (11 par 9). Nous n'incluons pas la face supérieure.

En utilisant les dimensions fournies sur le graphique, calculez les faces rectangulaires individuelles.
$ \text{Surface Totale} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 $.

Géométrie Analytique : Si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, quelles sont les coordonnées du point D ? $Grille de coordonnées montrant les points A, B et C$

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Pour que ABCD soit un parallélogramme, les côtés opposés doivent être parallèles et de même longueur. En utilisant les vecteurs, pour que ABCD soit un parallélogramme, les vecteurs $ \vec{AB} $ et $ \vec{DC} $ doivent être égaux.

Composantes de $ \vec{AB} = \lt 8-2 , 6 - 6 \gt = \lt 6 , 0 \gt $.
Soit $ (a,b) $ les coordonnées du point D.
Composantes de $ \vec{DC} = \lt 7-a , 2 - b \gt $.
Les vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales, d'où les équations : $ 7 - a = 6 $ et $ 2 - b = 0 $.
Résolvez les équations pour trouver : $ a = 1 $ et $ b = 2 $
Le point D est situé à (1, 2).

Triangles Rectangles : Lesquels des triangles illustrés sont des triangles rectangles ? $Quatre triangles étiquetés A, B, C, D$

Indice : Dans un triangle rectangle, $ a^2 + b^2 = c^2 $ (Théorème de Pythagore) et un angle doit être égal à 90$^{\circ} $.

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A : Les angles sont donnés dans le triangle A : Le troisième angle est égal à $180-62-28 = 90^{\circ} $, le triangle A est un triangle rectangle.
B : Les côtés sont donnés dans le triangle B : Utilisez le Théorème de Pythagore en supposant que le côté le plus long de longueur $ 5 $ est l'hypoténuse : $ 3^2 + 3.9^2 = 24.21 $ n'est pas égal à $ 5^2 $, par conséquent le triangle B N'EST PAS un triangle rectangle.
C : Les côtés sont donnés dans le triangle C : Utilisez le Théorème de Pythagore en supposant que le côté le plus long de longueur $ 15 $ est l'hypoténuse : $ 9^2 + 12^2 = 225 $ est égal à $ 15^2 = 225 $, par conséquent le triangle C est un triangle rectangle.
Les triangles A et C sont des triangles rectangles.

Angles d'un Triangle : Trouvez l'angle extérieur $ x $ si le triangle ABC est un triangle rectangle avec l'angle B = 90$^{\circ} $. $Triangle rectangle avec un angle extérieur x$

Indice : Les angles intérieurs s'additionnent pour donner 180$^{\circ} $. Les angles extérieurs et leur angle intérieur adjacent sont supplémentaires (ils s'additionnent pour donner 180$^{\circ} $).

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Tout d'abord, déterminez l'angle intérieur manquant en utilisant la règle selon laquelle la somme des angles intérieurs est de 180$^{\circ} $ dans le triangle ABC.
L'angle intérieur adjacent à $ x $ est de $ 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} $.
Comme $ x $ forme une ligne droite avec cet angle intérieur et l'angle de $ 35^{\circ} $, leur somme doit être égale à 180$^{\circ} $.
$ x + 43 + 35 = 180^{\circ} $
Résolvez pour $ x $ : $ x = 102^{\circ} $

Triangles Semblables : Trouvez tous les côtés inconnus $ x, y, z, $ et $ w $ si les trois triangles sont semblables. $Trois triangles semblables d'échelle croissante$

Indice : Lorsque deux triangles sont semblables, leurs côtés correspondants sont proportionnels : $ \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'} $

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Pour trouver les côtés manquants, établissez des proportions en utilisant les côtés correspondants de triangles semblables.

$ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} $
$ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $
Résolvez les équations : $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} $ , $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} $ , $ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} $ et $ \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $ pour obtenir.
$ x = 9 $
$ y = 51 $
$ z = 144 $
$ w = 36 $

Réflexion de Coordonnées : Un quadrilatère avec les sommets (-2,6), (6,8), (9,2) et (4,-1) est réfléchi par rapport à l'axe des x. Quelles sont les coordonnées des sommets après la réflexion ?

Indice : Réflexion par rapport à l'axe des abscisses (x) : $ (x,y) \to (x,-y) $

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Pour réfléchir un point par rapport à l'axe des x, l'abscisse (coordonnée x) reste la même, et l'ordonnée (coordonnée y) change de signe.

$ (-2, 6) \to $ $ (-2, -6) $
$ (6, 8) \to $ $ (6, -8) $
$ (9, 2) \to $ $ (9, -2) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Échelles de Volume : Le côté du cube A est 3 fois le côté du cube B. Le volume du cube A est de 3 375 pieds cubes. Trouvez le volume du cube B.

Indice : $ V = s^3 $

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Méthode 1 : Facteur d'Échelle

Si le rapport des longueurs de côtés est de 3:1, le rapport des volumes est élevé au cube : $ 3^3 : 1^3 = 27:1 $.
Cela signifie que le Cube A a un volume 27 fois plus grand que le Cube B.
$ 3375 \div 27 = $ $ 125 \text{ pieds cubes} $.

Méthode 2 : Algèbre

$ V_A = (s_A)^3 = 3375 $. Par conséquent, $ s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ pieds} $.
Puisque $ s_A = 3 \times s_B $, alors $ 15 = 3 \times s_B $, donc $ s_B = 5 \text{ pieds} $.
$ V_B = (5)^3 = $ $ 125 \text{ pieds cubes} $.

Échelles d'Aire (Rectangles Semblables) : La longueur du rectangle A est de 24 cm et la longueur du rectangle B est de 96 cm. Les deux rectangles sont semblables. Trouvez le rapport de l'aire de A sur l'aire de B.

Indice : Le rapport des aires de figures semblables est le carré du rapport de leurs côtés correspondants.

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Trouvez le rapport de leurs longueurs correspondantes : $ \dfrac{24}{96} $.
Simplifiez le rapport des côtés : $ \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} $.
Pour trouver le rapport des aires, élevez au carré le rapport des côtés : $ \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} $.
Le rapport de l'aire de A sur l'aire de B est de 1:16.

Problèmes et Questions de Géométrie (8e Année) avec Réponses

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Liens et Références