Comment trouvez-vous le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres ?

Pour trouver le PGCD, écrivez la factorisation en nombres premiers de chaque nombre et multipliez les facteurs premiers communs. Par exemple, le PGCD de 100 et 180 est 20.

Comment vérifiez-vous si un nombre est divisible par 6 ?

Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible à la fois par 2 (il se termine par un chiffre pair) et par 3 (la somme de ses chiffres est un multiple de 3).

Comment calculez-vous la probabilité de deux événements indépendants ?

Multipliez la probabilité du premier événement par la probabilité du second événement. Par exemple, lancer une pièce (1/2) et obtenir un nombre spécifique sur un dé (1/6) a une probabilité combinée de 1/12.

Test Pratique de Mathématiques de 8e Année : Questions et Solutions Étape par Étape

Évaluez les expressions suivantes :
a) $[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
b) $[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$

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a)
$[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
$= [8 + 3] \times [-12 - 4]$
$= 11 \times (-16) = -176$

b)
$[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$
$= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]$
$= [4 + 3] \times [-16 - 4]$
$= 7 \times (-20) = -140$

Lequel des éléments suivants N'EST PAS un nombre rationnel ?
a) $0.2$ b) $\pi$ c) $\dfrac{2}{5}$

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Réponse : b) $\pi$

$\pi$ N'EST PAS un nombre rationnel car il ne peut pas être exprimé sous la forme d'une fraction simple de deux entiers.

Quelle est la valeur du chiffre 5 dans le nombre 34.6597 ?

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Le chiffre 5 est à la place des centièmes, ce qui donne sa valeur de $0.05$ ou $\dfrac{5}{100}$.

Quel est le prochain terme de la suite ? $3, 6, 9, 12, \ldots$

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Nous remarquons qu'en passant d'un terme au suivant, nous ajoutons $3$ ; par conséquent, le terme suivant est égal à : $12 + 3 = 15$.

Quel est le prochain terme de la suite ? $1, 3, 9, 27, \ldots$

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Nous remarquons qu'en passant d'un terme au suivant, nous multiplions par $3$ ; par conséquent, le terme suivant est donné par : $27 \times 3 = 81$.

Une suite de nombres est définie par $2n + 1$ pour $n = 1, 2, 3, \ldots$
a) Trouvez les cinq premiers termes de la suite en commençant par $n = 1$.
b) La suite donnée est-elle arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre ?

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a) Substituez $n = 1, 2, 3, 4, 5$ dans l'expression $2n + 1$ :
Pour $n=1$, $2(1)+1 = 3$
Pour $n=2$, $2(2)+1 = 5$
Pour $n=3$, $2(3)+1 = 7$
Pour $n=4$, $2(4)+1 = 9$
Pour $n=5$, $2(5)+1 = 11$

b) En passant d'un terme au suivant, nous ajoutons 2, il s'agit donc d'une suite arithmétique avec une raison (différence commune) égale à 2.

Une suite de nombres est définie par $3 \times 2^{n-1}$ pour $n = 1, 2, 3, \ldots$
a) Trouvez les cinq premiers termes de la suite en commençant par $n = 1$.
b) La suite donnée est-elle arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre ?

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a) Substituez $n = 1, 2, 3, 4, 5$ dans l'expression $3 \times 2^{n-1}$ :
Pour $n=1$, $3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3$
Pour $n=2$, $3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6$
Pour $n=3$, $3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12$
Pour $n=4$, $3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24$
Pour $n=5$, $3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48$

b) En passant d'un terme au suivant, nous multiplions par 2, il s'agit donc d'une suite géométrique avec une raison (rapport commun) égale à 2.

Les ensembles $S_1$ et $S_2$ sont définis comme : $S_1 = \{0, 2, 9, 12\}$ et $S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}$. Trouvez les éléments de :
a) $S_1 \cap S_2$
b) $S_1 \cup S_2$

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a) L'intersection de deux ensembles est l'ensemble de tous les éléments communs aux deux ensembles. Par conséquent $S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}$.

b) L'union de deux ensembles est l'ensemble de tous les éléments des deux ensembles (sans répétition). Par conséquent $S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}$.

Soit $Q$ = Tous les Nombres Rationnels, $P$ = Tous les Nombres Irrationnels, $R$ = Tous les Nombres Réels. Qu'est-ce qui est vrai ?
a) $Q \cap P = R$ b) $Q \cup P = R$ c) $Q \cup P = \text{Ensemble Vide}$ d) $Q \cap P = \text{Ensemble Vide}$

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Tout nombre réel est soit rationnel soit irrationnel mais pas les deux, donc $Q \cap P = \text{Ensemble Vide}$ est vrai. L'ensemble de tous les nombres réels est l'union des nombres rationnels et irrationnels, donc $Q \cup P = R$ est vrai.

Les propositions b) et d) sont vraies.

Exprimez sous forme de produit de facteurs premiers : a) 345 b) 150 c) 210

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a) $345 = 3 \times 5 \times 23$

b) $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5$

c) $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

Quel est le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 100 et 180 ?

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Le Plus Grand Commun Diviseur de 100 et 180 est 20.

Quel est le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de 100 et 15 ?

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Le Plus Petit Commun Multiple de 100 et 15 est 300.

Lequel est divisible par 3 ? a) 101899 b) 900234 c) 134567280

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Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

a) 101899 : Somme = $1+0+1+8+9+9 = 28$. (Non divisible)

b) 900234 : Somme = $9+0+0+2+3+4 = 18$. (Oui, divisible)

c) 134567280 : Somme = $1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36$. (Oui, divisible)

Lequel est divisible par 4 ? a) 189001 b) 1005612 c) 1003456024

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Un nombre est divisible par 4 si ses deux chiffres de droite forment un nombre divisible par 4.

a) 189001 : Deux derniers chiffres $01$. (Non divisible)

b) 1005612 : Deux derniers chiffres $12$. (Oui, divisible)

c) 1003456024 : Deux derniers chiffres $24$. (Oui, divisible)

Lequel est divisible par 6 ? a) 234 b) 12345 c) 12114290910

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Pour qu'un nombre soit divisible par 6, il doit être divisible par 2 (pair) et par 3.

a) 234 : Pair, somme des chiffres $2+3+4=9$. (Oui, divisible)

b) 12345 : Impair (Non divisible par 2, donc non divisible par 6).

c) 12114290910 : Pair, somme des chiffres $30$. (Oui, divisible)

Quelles paires de fractions sont équivalentes ?
a) $\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}$ b) $\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}$ c) $\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}$

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Commencez par la fraction sous forme réduite et multipliez par un facteur afin d'obtenir la deuxième fraction.

a) Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{7}{3}$ par 5 pour obtenir $\dfrac{35}{15}$. Cela ne correspond pas à $\dfrac{10}{15}$. (Non équivalent)

b) Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{2}{3}$ par 4 pour obtenir $\dfrac{8}{12}$. (Équivalent)

c) Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{7}{12}$ par 3 pour obtenir $\dfrac{21}{36}$. (Équivalent)

Évaluez :
a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}$ b) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$ c) $\dfrac{11}{2} \div 4$
d) $4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}$ e) $1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)$

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a) Le PPCM de $5, 10, 15$ est $30$. $\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}$

b) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$. Factorisez les termes : $\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}$. Annulez les facteurs communs pour obtenir $\dfrac{1}{8}$

c) Multipliez par l'inverse : $\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}$

d) Regroupez les parties entières et les fractions : $(4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}$

e) Convertissez en fractions : $\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}$

Écrivez sous forme de fractions réduites : a) $0.2 \div 0.6$ b) $1 \div 0.4$

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a) $0.2 \div 0.6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

b) $1 \div 0.4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}$

Dalia dépense un quart de son salaire en nourriture et boissons. Elle en dépense un cinquième pour les boissons gazeuses et un sixième pour les biscuits. Quelle fraction de son salaire est dépensée pour les boissons gazeuses et les biscuits ?

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Boissons gazeuses : $\dfrac{1}{5}$ d'$\dfrac{1}{4}$ de son salaire.

Biscuits : $\dfrac{1}{6}$ d'$\dfrac{1}{4}$ de son salaire.

Total : $\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}$

James consacre 2 heures/jour aux devoirs du lundi au vendredi. Ben y consacre les $\dfrac{3}{4}$ ; Linda y consacre les $\dfrac{5}{4}$. Combien d'heures y consacrent-ils par semaine ?

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James : $2 \times 5 = 10$ heures de devoirs en semaine.

Ben : $\dfrac{3}{4} \times 10 = 7.5$ heures de devoirs en semaine.

Linda : $\dfrac{5}{4} \times 10 = 12.5$ heures de devoirs en semaine.

Sara a préparé 1,5 L de jus. Ses verres contiennent $\dfrac{1}{6}$ L. Combien de verres peut-elle remplir ?

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En utilisant des nombres mixtes, 1,5 L s'écrit $1\dfrac{1}{2}$ ou $\dfrac{3}{2}$ L.

Nombre de verres = $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9$ verres.

Évaluez :
a) $(-2)^3 - 5^3 + (-3)^4$
b) $(-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}$
c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}$

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a) $-8 - 125 + 81 = -52$

b) $\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1$

c) $\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}$

Écrivez sous forme exponentielle (base dix) : a) 10000 b) 0.0000001 c) $\dfrac{1}{100000}$

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a) $10^4$ b) $10^{-7}$ c) $\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}$

Écrivez en notation scientifique : a) $12.4 \times 10^3$ b) $0.0023 \times 10^{-2}$ c) $\dfrac{12}{100000}$

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a) $1.24 \times 10^4$ b) $2.3 \times 10^{-5}$ c) $\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}$

Simplifiez : a) $\sqrt{16}$ b) $\sqrt{9}$ c) $\sqrt[3]{8}$

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a) 4 car $4^2=16$ b) 3 car $3^2=9$ c) 2 car $2^3=8$

Réduisez à la forme la plus simple : a) $\sqrt{3 \times 25}$ b) $\sqrt{36 \times 5}$ c) $\sqrt[3]{8 \times 7}$

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a) $\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}$ b) $\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ c) $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$

Leila a marché pendant 5 heures. Le graphique donne la distance $d$ en fonction du temps $t$.
a) Écrivez une équation $d = kt$.
b) Si elle a commencé à 8h00, à quelle heure était-elle à 10 km de distance ? $Graphique de la distance en fonction du temps$

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a) Utilisez un point sur le graphique. Par exemple, lorsque $t = 1$, $d = 4$. Substituez $t$ par 1 et $d$ par 4 dans l'équation $d = k \times t$ pour obtenir $4 = k \times 1$, d'où $k = 4$. La relation est $d = 4t$.

b) Trouvez le temps qu'il faut à Leila pour marcher $d = 10$ km en résolvant l'équation $10 = 4t \rightarrow t = 10 \div 4 = 2.5$ heures. 2,5 heures peut s'écrire 2h30. Elle est à 10 km à : 8h00 + 2h30 = 10h30.

Le tableau indique-t-il que $y$ est proportionnel à $x$ ? $Tableaux de proportionnalité$
a) Si oui, trouvez $k$ tel que $y = kx$.
b) Trouvez $y$ pour $x=10.2$.

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Une colonne contenant le rapport $y / x$ a été ajoutée et montre que $y / x$ est constant et égal à 3. Par conséquent, $y$ est proportionnel à $x$.

$Solution pour tableaux de proportionnalité$

a) Puisque $y / x = 3$, nous pouvons écrire $y = 3x$. D'où $k = 3$.

b) $y = 3 \times 10.2 = 30.6$.

Un robinet remplit 10 L en 2 min, 20 L en 4 min, 30 L en 6 min.
a) Tracez les points avec $V$ sur l'axe vertical, $t$ sur l'horizontal.
b) $V$ est-il proportionnel à $t$ ?
c) Si oui, trouvez $k$ tel que $V = kt$.
d) Trouvez le temps pour remplir 100 L.

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a) À partir des informations données, nous pouvons écrire trois points $(V, t)$ : $(2,10)$, $(4,20)$ et $(6,30)$ qui sont tracés ci-dessous.

$Volume en fonction du temps$

b) Les trois points sont situés sur la même ligne passant par l'origine et il y a donc une relation de proportionnalité entre $V$ et $t$.

c) La constante de proportionnalité $k$ est $V \div t$. $k = 10 \div 2 = 5$. D'où $V = 5t$.

d) Substituez $V=100$ dans l'équation : $100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20$ minutes.

Un article coûte 120 $ et augmente de 12 %. Quel est le nouveau prix ?

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Prix après augmentation = 120 $ + 12 % de 120 $.

Écrit mathématiquement : $120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14.4 = 134.40 \$$.

Jimmy dépense 50 % de son salaire en loyer + factures, et 15 % de ce montant pour les factures. Quel pourcentage de son salaire total est dépensé pour les factures ?

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Pourcentage dépensé pour les factures = 15 % de 50 % de son salaire.

Écrit mathématiquement : $\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7.5}{100} = 7.5\%$.

Un repas coûte 40 $. La taxe est de 15 % ; le pourboire est de 5 % du montant taxé. Quel est le coût total ?

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Coût après taxes = $40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = 46 \$$.

Coût après pourboire = $46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = 48.30 \$$.

Kamelea gagne 5 000 $ et dépense : 400 $ en vêtements, 1 200 $ de loyer, 200 $ de factures, 1 200 $ en nourriture/sorties, 600 $ pour la voiture, et épargne le reste. Quel pourcentage est épargné ?

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Dépenses de Kamelea = $400 \$ + 1200 \$ + 200 \$ + 1200 \$ + 600 \$ = 3600 \$$.

Épargne = Salaire - dépenses = $5000 \$ - 3600 \$ = 1400 \$$.

L'épargne de Kamelea en pourcentage du salaire = $\dfrac{1400}{5000} = 0.28 = 28\%$.

10 % du tiers d'un nombre est 3. Quel est ce nombre ?

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Soit $x$ le nombre inconnu. $\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3$.

$\dfrac{10x}{300} = 3$. Multipliez les deux côtés par 300 pour obtenir $10x = 900 \rightarrow x = 90$.

L'essence est passée de 3 $ à 4 $ le gallon aux États-Unis et de 1,5 € à 2 € le litre en France. Lequel a connu la plus forte augmentation en pourcentage ?

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Pourcentage d'augmentation de l'essence aux États-Unis = $\dfrac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\%$.

Pourcentage d'augmentation de l'essence en France = $\dfrac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\%$.

Les deux ont connu exactement la même augmentation en pourcentage.

Convertissez 10,5 pi en mètres sachant que 1 m = 3,28084 pi.

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Divisez les deux côtés de l'égalité par 3,28084 pi pour obtenir $\dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ pi}} = 1$.

$10.5 \text{ pi} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ pi}} = 3.20039 \text{ m}$.

Convertissez 1,3 km en verges (yards) sachant que 1 km = 1093,61 yd.

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$1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd}$.

Convertissez $1.2 \text{ m}^2$ en $\text{yd}^2$ sachant que 1 m = 1,09361 yd.

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Élevez au carré les deux côtés de l'égalité donnée pour obtenir $1 \text{ m}^2 = (1.09361)^2 \text{ yd}^2 = 1.19598 \text{ yd}^2$.

$1.2 \text{ m}^2 = 1.2 \times 1.19598 \text{ yd}^2 = 1.435176 \text{ yd}^2$.

Convertissez 100 km/h en m/s.

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$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ et $1 \text{ h} = 3600 \text{ sec}$.

$\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ h}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ sec}} \approx 27.77777 \text{ m/sec}$.

Évaluez $\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}$ pour $x=1$.

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Substituez $x$ par 1 : $\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}$.

Évaluez $\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1$ pour $x=-5$.

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Substituez $x$ par -5 : $\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25$.

Évaluez $2^a - \sqrt{b^2}$ pour $a=2$, $b=-2$.

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Substituez $a$ par 2 et $b$ par -2 : $2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

Simplifiez : a) $3(x+2) + x - 12$ b) $\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4$ c) $0.2(5x+10) + 3x - 4$

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a) $3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6$

b) $\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8$

c) $0.2 \times 5x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2$

Simplifiez : a) $2x \cdot 3x$ b) $\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x$ c) $3x^2 \cdot 5x^3$

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a) $(2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2$

b) $\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2$

c) $(3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5$

Factorisez : a) $21x + 7$ b) $24 - 20x$ c) $8b - 4a + 32$

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a) Le plus grand commun diviseur de 21 et 7 est 7. $7(3x + 1)$

b) Le plus grand commun diviseur de 24 et 20 est 4. $4(6 - 5x)$

c) Le plus grand commun diviseur de 8, 4 et 32 est 4. $4(2b - a + 8)$

Résolvez les équations :
a) $3(x - 2 ) = 3$
b) $2(9 - x) = - (x + 5)$
c) $\dfrac{x+1}{3} = 6$
d) $4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15$
e) $x - \dfrac{x}{2} = 3$

Voir la Solution Étape par Étape

a) $3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3$

b) $18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23$

c) Multipliez par 3 : $x + 1 = 18 \rightarrow x = 17$

d) $4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4$

e) Multipliez par 2 : $2x - x = 6 \rightarrow x = 6$

Un jardin rectangulaire a une longueur de 12 m et une largeur de 8 m. Un chemin de largeur $x$ est construit autour du jardin de sorte que le périmètre extérieur soit le double du périmètre initial. $Jardin Rectangulaire avec Chemin$
a) Écrivez une équation en $x$.
b) Résolvez pour $x$.
c) Trouvez la longueur et la largeur du périmètre extérieur.
d) Trouvez l'aire totale (jardin + chemin).
e) Trouvez l'aire du jardin.
f) Trouvez l'aire du chemin.

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a) Longueur du périmètre extérieur : $L = 12 + 2x$. Largeur : $W = 8 + 2x$. Périmètre extérieur = $2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x$. Périmètre du jardin (blanc) = $2(12) + 2(8) = 40$. L'extérieur est le double du jardin, donc $40 + 8x = 2 \times 40$.

b) $40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}$.

c) Longueur = $12 + 2(5) = 22 \text{ m}$, Largeur = $8 + 2(5) = 18 \text{ m}$.

d) Aire totale = $22 \times 18 = 396 \text{ m}^2$.

e) Aire du jardin = $12 \times 8 = 96 \text{ m}^2$.

f) Aire du chemin = Aire totale - Aire du jardin = $396 - 96 = 300 \text{ m}^2$.

Lorsque 10 est soustrait du double d'un nombre et que le résultat est multiplié par un demi, la réponse est 5. Quel est le nombre initial ?

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Soit $x$ le nombre initial. "10 est soustrait du double d'un nombre" est $2x - 10$. "Le résultat est multiplié par un demi" est $\dfrac{1}{2}(2x - 10)$. La réponse est 5 : $\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5$.

Multipliez les deux côtés par 2 : $2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10$.

Résolvez : a) $x + 2 < 4$ b) $2(x + 3) \ge 2$ c) $-3x + 2 \le 11$ d) $\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3$

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a) $x < 2$

b) $2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2$

c) $-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3$ (changez le sens de l'inégalité car -3 est négatif).

d) $4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2$

Laquelle de ces paires ordonnées représente une fonction ?
a) $\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}$
b) $\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}$
c) $\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}$

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Une fonction est une relation entre deux ensembles telle qu'à chaque entrée ne correspond qu'une seule sortie.

La relation b) est une fonction. Le choix a) associe l'entrée 5 à 7 et 9. Le choix c) associe l'entrée 9 à 4 et 0.

Lequel des graphiques ci-dessous peut être le graphique d'une fonction linéaire ? Trouvez son équation. $Graphiques de Fonctions$

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Le graphique (3) est une ligne droite et est donc le graphique d'une fonction linéaire.

Trouvez deux points (0,2) et (2,6) et trouvez la pente : $ m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 $

Écrivez la forme réduite (ou pente-ordonnée à l'origine) de l'équation de la droite : $ y = 2 + 2 x $

Soit $y = 2x + 1$ :
a) Trouvez $y$ pour $x = 0$ et $x = 1$.
b) Utilisez ces valeurs pour tracer le graphique de $y = 2x + 1$.

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a) Pour $x=0$, $y = 2(0)+1 = 1$. Pour $x=1$, $y = 2(1)+1 = 3$. Les paires ordonnées sont $(0, 1)$ et $(1, 3)$.

b) Le graphique d'une fonction linéaire est une droite. Les deux paires ordonnées obtenues peuvent être utilisées pour tracer le graphique de la fonction comme illustré ci-dessous.

$Graphique de la Fonction y = 2x + 1$

Deux fonctions sont représentées graphiquement ci-dessous. $Graphique de Fonctions Linéaires$
a) Sans calculs, laquelle a le taux de variation le plus élevé ?
b) Trouvez les coordonnées de deux points sur chacune.
c) Calculez chaque taux de variation pour confirmer (a).

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a) La fonction correspondant au graphique (1) a un taux de variation plus élevé car elle augmente plus rapidement à mesure que $x$ augmente.

$Graphique de Fonctions Linéaires avec des Points$

b) Points sur le Graphique (1) : $(0,1)$ et $(3,7)$. Points sur le Graphique (2) : $(0,3)$ et $(8,8)$.

c) Taux 1 : $\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2$. Taux 2 : $\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8$. Les calculs confirment que le taux de variation de (1) est le plus élevé.

Les côtés (cathètes) d'un triangle rectangle mesurent 6 cm et 8 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

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Soit $h$ l'hypoténuse. En utilisant le théorème de Pythagore : $h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$.

Trois lignes droites se croisent en $O$. Étant donné $\angle AOB = 31^\circ$ et $\angle AOC = 79^\circ$, trouvez $\angle EOF$. $Angles Opposés par le Sommet$

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Notez que $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$. Donc $79^\circ = 31^\circ + \angle BOC$. Par conséquent $\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ$.

Les angles $\angle BOC$ et $\angle EOF$ sont opposés par le sommet et ont donc des mesures égales. $\angle EOF = 48^\circ$.

Combien d'axes de symétrie possède un carré ?

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Un carré possède 4 axes de symétrie, comme illustré ci-dessous.

$Axes de Symétrie d'un Carré$

Étant donné $m\angle 1 = 40^\circ$, trouvez les mesures des huit angles dans l'intersection parallèle. $Lignes Parallèles et Sécantes$

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Les angles $m\angle 1$ et $m\angle 2$ sont supplémentaires et leur somme vaut $180^\circ$. Donc $m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

$m\angle 1$ et $m\angle 3$ sont opposés par le sommet (égaux). $m\angle 3 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ et $m\angle 4$ sont opposés par le sommet (égaux). $m\angle 4 = 140^\circ$.

$m\angle 1$ et $m\angle 5$ sont correspondants (égaux). $m\angle 5 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ et $m\angle 6$ sont correspondants (égaux). $m\angle 6 = 140^\circ$.

$m\angle 4$ et $m\angle 8$ sont correspondants (égaux). $m\angle 8 = 140^\circ$.

$m\angle 3$ et $m\angle 7$ sont correspondants (égaux). $m\angle 7 = 40^\circ$.

Calculez l'aire d'un cercle dont le diamètre est de 20 cm.

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Rayon $r = \text{Diamètre} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}$. Aire $= \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2$.

Calculez l'aire d'un triangle rectangle avec un côté de 16 cm et une hypoténuse de 20 cm.

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Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver le deuxième côté $b$ : $b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}$.

Aire $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2$.

Dans la figure, ABDE est un carré et FC est un axe de symétrie. Trouvez l'aire de la flèche bleue. $Aire de la Flèche$

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En raison de la symétrie, nous calculons l'aire de la partie inférieure de la flèche qui est un trapèze.

$Aire de la Demi-Flèche$

Aire du trapèze $= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}$.

$\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24$. $\overline{ED} = 16$. $\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8$.

Aire $= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160$.

L'aire de la flèche est le double du trapèze : $2 \times 160 = 320 \text{ unités}^2$.

Trouvez l'aire de la forme délimitée par un demi-cercle (diamètre DE) et un triangle isocèle ABG. Arrondissez à deux décimales. $Aire de la Forme Composée$

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Nous décomposons la forme donnée en formes de base dont les aires sont facilement calculables à l'aide de formules.

$Aire de la Forme Composée Décomposée$

Aire du triangle isocèle ABG $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

Aire du trapèze BCFG $= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5$

Aire du trapèze CDEF $= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6$

Aire du demi-cercle de diamètre DE $= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 \approx 3.53$

Aire totale $= 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \text{ mm}^2$.

Trouvez le volume et l'aire de surface (à l'exclusion du fond) d'un silo composé d'un cylindre ($h = 10$ m) et d'un hémisphère ($r = 6$ m) sur le dessus. $Cylindre et Demi-Sphère$

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$Solution du Cylindre et de la Demi-Sphère$

Le volume de la moitié de la sphère $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \text{ m}^3$

Le volume du cylindre $= \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \text{ m}^3$

L'aire de surface de la moitié de la sphère $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \text{ m}^2$

L'aire de surface du cylindre (sans le fond) $= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 376.8 \text{ m}^2$

Volume total du silo $= 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \text{ m}^3$

Aire de surface totale du silo $= 226.08 + 376.8 = 602.88 \text{ m}^2$

Un prisme rectangulaire est divisé en diagonale en deux prismes triangulaires superposables. Trouvez le volume et l'aire de surface d'un prisme triangulaire. $Division du Prisme Triangulaire$

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En raison de la symétrie, le volume du prisme triangulaire est la moitié du volume du prisme rectangulaire.

$Solution du Prisme Triangulaire$

Volume du prisme rectangulaire $= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ unités}^3$. Volume du prisme triangulaire $= 36 \text{ unités}^3$.

L'aire de surface est la moitié de l'aire de surface du prisme rectangulaire plus l'aire du rectangle formé par les diagonales rouges.

Aire de surface du prisme rectangulaire $= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ unités}^2$.

Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la longueur $d$ de la diagonale : $d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5$.

Aire de la tranche rectangulaire $= 5 \times 6 = 30 \text{ unités}^2$.

Aire de surface du prisme triangulaire $= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ unités}^2$.

Le graphique linéaire montre les températures maximales moyennes (°C) sur 12 mois à Ottawa.
a) Température maximale moyenne du mois le plus froid ?
b) Température maximale moyenne du mois le plus chaud ?
c) Différence entre le mois le plus froid et le mois le plus chaud ?
d) Plus petite augmentation entre deux mois consécutifs ?
e) Plus petite diminution entre deux mois consécutifs ? $Température Maximale Moyenne à Ottawa$

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a) Janvier a la température moyenne la plus basse, à savoir $-5^\circ$C.

b) Juillet a la température moyenne la plus élevée, à savoir $26^\circ$C.

c) Différence $= 26 - (-5) = 31^\circ$C.

d) Les plus petites augmentations se situent entre janvier et février et entre juin et juillet.

e) La plus petite diminution se situe entre juillet et août.

Notes aux tests : 31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92.
a) Ordonnez du plus petit au plus grand.
b) Trouvez l'étendue.
c) Créez un tableau de fréquences commençant à 30–39.
d) Créez un histogramme.
e) Si les notes inférieures à 60 sont des échecs, quel pourcentage a échoué ?

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a) Ordonnés : $31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97$.

b) Étendue = Plus grande valeur - plus petite valeur $= 97 - 31 = 66$.

c) Commencez avec la classe 30-39 et ajoutez l'amplitude de classe (10) pour obtenir les classes restantes.

$Tableau de Fréquences$

d) Un histogramme est créé en utilisant le nombre d'élèves sur l'axe vertical et les classes sur l'horizontal.

$Histogramme$

e) Les notes dans les trois classes 30-39, 40-49 et 50-59 sont inférieures à 60. $1 + 2 + 3 = 6$ ont échoué. Pourcentage $= \dfrac{6}{25} = 0.24 = 24\%$.

Trouvez la médiane, le quartile inférieur et le quartile supérieur de $\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}$.

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Données ordonnées : $\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}$

Médiane : La valeur au milieu est 3.

Quartile Inférieur : La médiane des valeurs des données sous la médiane $\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}$ est 2.

Quartile Supérieur : La médiane des valeurs des données au-dessus de la médiane $\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}$ est 9.

Mark a obtenu 83, 94, 97, 93 à ses quatre premiers contrôles. Combien doit-il obtenir au cinquième contrôle pour avoir une moyenne d'au moins 90 ?

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Soit $x$ la note du cinquième contrôle. La moyenne est d'au moins 90 : $\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90$

Multipliez par 5 : $367 + x \ge 450$.

Résolvez pour $x$ : $x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83$. Mark doit obtenir au moins 83.

En lançant un dé équilibré à 6 faces, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

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Univers (espace d'échantillonnage) = $\{1,2,3,4,5,6\}$. Ensemble des nombres pairs = $\{2,4,6\}$.

Probabilité $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Lancer une pièce et un dé : a) Probabilité d'obtenir pile et un 4 ? b) Probabilité d'obtenir face et un nombre impair ?

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a) La probabilité d'obtenir pile est de $1/2$. La probabilité de 4 est de $1/6$. Événements indépendants : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$.

b) La probabilité d'obtenir face est de $1/2$. La probabilité d'obtenir un nombre impair est de $3/6 = 1/2$. Événements indépendants : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

Ben sélectionne une carte parmi un ensemble de 3 cartes étiquetées (1), (2), (3), la remet en place, et tire de nouveau. a) Probabilité de tirer 3 deux fois ? b) Probabilité de tirer le même nombre les deux fois ?

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a) Il y a 1 résultat avec 3 dans les deux sélections $(3,3)$ sur $3 \times 3 = 9$ résultats possibles. Probabilité $= \dfrac{1}{9}$.

b) Trois des 9 résultats ont le même nombre : $(1,1), (2,2), (3,3)$. Probabilité $= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

Dans un sondage : 5 étudiants préfèrent le bleu, 6 préfèrent le marron, sur un total de 20. Quelle est la probabilité qu'un étudiant choisi au hasard ne préfère ni l'un ni l'autre ?

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Si 5 ont dit bleu et 6 ont dit marron, alors $20 - 5 - 6 = 11$ n'ont choisi aucun des deux.

La probabilité est de $\dfrac{11}{20}$.

Test Pratique de Mathématiques de 8e Année et Solutions

Questions d'Entraînement et Solutions

1 - Nombres

2 - Suites

3 - Ensembles

4 - Facteurs, Multiples et Divisibilité

5 - Fractions et Nombres Mixtes

6 - Exposants et Notation Scientifique

7 - Racines

8 - Proportionnalité

9 - Pourcentages

10 - Conversion d'Unités

11 - Évaluer des Expressions

12 - Algèbre

13 - Équations et Problèmes Énoncés

14 - Inéquations

15 - Fonctions

16 - Figures Bidimensionnelles

17 - Périmètre et Aire

18 - Volumes et Aires de Surface

19 - Données et Graphiques

20 - Statistiques

21 - Probabilités

Liens et Références