Questions d'Entraînement et Solutions
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Une voiture a parcouru 281 miles en 4 heures et 41 minutes. Quelle était la vitesse moyenne de la voiture en miles par heure ?
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Nous convertissons d'abord le temps de 4 heures 41 minutes en heures :
\[ 4\ \text{heures} + 41\ \text{minutes} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{heures} \]La vitesse moyenne \( S \) est donnée par la distance divisée par le temps :
\[ S = \dfrac{281\ \text{miles}}{\dfrac{281}{60}\ \text{heures}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{miles par heure} \] -
Résolvez pour \( x \) :
\[ 5x - 7 = 3x + 9 \]Voir la Solution Étape par Étape
En commençant par \( 5x - 7 = 3x + 9 \) :
Soustrayez \( 3x \) des deux côtés : \( 2x - 7 = 9 \)
Ajoutez 7 aux deux côtés : \( 2x = 16 \)
Divisez les deux côtés par 2 : \( x = 8 \)
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Résolvez le système d'équations :
\[ 2x + 3y = 12 \]
\[ 4x - y = 7 \]Voir la Solution Étape par Étape
À partir de la deuxième équation \( 4x - y = 7 \), isolez \( y \) : \( y = 4x - 7 \)
Substituez \( y \) dans la première équation \( 2x + 3y = 12 \) :
\[ 2x + 3(4x - 7) = 12 \] \[ 2x + 12x - 21 = 12 \] \[ 14x - 21 = 12 \implies 14x = 33 \implies x = \dfrac{33}{14} \]Substituez \( x \) dans \( y = 4x - 7 \) :
\[ y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7} \] -
Simplifiez l'expression :
\[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]Voir la Solution Étape par Étape
D'abord, simplifiez chaque racine carrée en trouvant des facteurs qui sont des carrés parfaits :
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]Additionnez les deux termes simplifiés : \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
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Trouvez l'aire d'un trapèze dont les côtés parallèles mesurent 10 cm et 14 cm, et dont la hauteur est de 6 cm.
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La formule de l'aire d'un trapèze est \( A = \dfrac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h \).
\[ A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72\ \text{cm}^2 \] -
La longueur d'un rectangle est quatre fois sa largeur. Si l'aire est de 100 m2, quelle est la longueur du rectangle ?
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Soit \( W \) la largeur. La longueur \( L \) est \( 4W \). La formule de l'aire donne :
\[ \text{Aire} = L \times W = (4W) \times W = 4W^2 \] \[ 4W^2 = 100 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\ \text{m} \]La longueur est \( L = 4 \times 5 = 20\ \text{m} \).
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La longueur d'un rectangle est augmentée à 2 fois sa taille d'origine, et sa largeur est augmentée à 3 fois sa taille d'origine. Si l'aire du nouveau rectangle est égale à 1800 mètres carrés, quelle est l'aire du rectangle d'origine ?
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Soit l'aire d'origine \( A_{\text{original}} = L \times W \).
Les nouvelles dimensions sont \( 2L \) et \( 3W \). La nouvelle aire est :
\[ A_{\text{nouveau}} = (2L) \times (3W) = 6(LW) = 1800 \]En résolvant pour l'aire d'origine (\( LW \)) : \( L \times W = \dfrac{1800}{6} = 300\ \text{m}^2 \).
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Chaque dimension d'un cube a été augmentée au double de sa taille d'origine. Si le nouveau cube a un volume de 64 000 centimètres cubes, quelle est l'aire d'une face du cube d'origine ?
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Soit \( x \) la longueur de l'arête d'origine. La nouvelle longueur d'arête est \( 2x \).
Le nouveau volume est \( (2x)^3 = 8x^3 = 64,000 \).
\[ x^3 = 8,000 \implies x = \sqrt[3]{8,000} = 20\ \text{cm} \]L'aire d'une face du cube d'origine est \( x^2 = 20^2 = 400\ \text{cm}^2 \).
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La pompe A peut remplir un réservoir d'eau en 5 heures. La pompe B peut remplir le même réservoir en 8 heures. Combien de temps faut-il aux deux pompes travaillant ensemble pour remplir le réservoir ? (Arrondissez votre réponse à la minute près).
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La pompe A remplit \( 1/5 \) du réservoir par heure. La pompe B remplit \( 1/8 \) par heure.
Ensemble, elles remplissent : \( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{13}{40} \) du réservoir par heure.
Le temps total \( t = \dfrac{40}{13} \) heures, ce qui fait \( 3\dfrac{1}{13} \) heures.
En convertissant la fraction en minutes : \( \dfrac{1}{13} \times 60 \approx 4.6 \) minutes, ce qui arrondit à 5 minutes. Le temps total est de 3 heures et 5 minutes.
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De l'eau est pompée, à un taux constant, dans un réservoir de stockage souterrain qui a la forme d'un prisme rectangulaire. Lesquels des graphiques ci-dessous représentent le mieux les variations de la hauteur de l'eau dans le réservoir en fonction du temps ?
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Comme l'eau est pompée à un taux constant, la hauteur doit augmenter de manière linéaire. Le graphique montrant une ligne décroissante ou une ligne plate constante est incorrect. Le graphique en bas à gauche montrant une hauteur qui augmente régulièrement représente correctement le scénario.
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Un côté d'un triangle rectangle mesure 18 cm, et son aire est de 216 centimètres carrés. Trouvez son périmètre.
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Aire = \( \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \). Aire donnée = 216 et côté \( a = 18 \) :
\[ 216 = \dfrac{1}{2} \times 18 \times b \implies 9b = 216 \implies b = 24\ \text{cm} \]Utilisez le théorème de Pythagore pour l'hypoténuse \( c \) :
\[ c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \implies c = 30\ \text{cm} \]Périmètre = \( 18 + 24 + 30 = 72\ \text{cm} \).
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Quelle est la somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone à 53 côtés ?
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La formule de la somme des angles intérieurs est \( 180(n - 2) \). Pour \( n = 53 \) :
\[ \text{Somme} = 180(53 - 2) = 180 \times 51 = 9180^\circ \] -
Jack est plus grand que Sarah mais plus petit que Malika et Tania toutes les deux. Malika est plus petite que Tania. Natasha est plus petite que Sarah. Qui est le plus petit ?
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D'après le texte : Natasha < Sarah < Jack. Jack < Malika < Tania.
En combinant ces tailles, on obtient l'ordre continu : Natasha < Sarah < Jack < Malika < Tania. Natasha est le plus petit.
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Quelle est la hauteur (l'un des côtés) et l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle qui a une aire de 800 pieds carrés ?
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Soient les deux côtés égaux à \( x \). Aire = \( \dfrac{1}{2} x^2 = 800 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40\ \text{pi} \).
L'hypoténuse \( h \) en utilisant le théorème de Pythagore : \( h^2 = 40^2 + 40^2 = 3200 \).
\[ h = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56.57\ \text{pi} \] -
Trouvez la circonférence d'un cercle inscrit à l'intérieur d'un carré dont un côté mesure 20 mètres.
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Le diamètre du cercle inscrit est égal à la longueur du côté du carré (20 m), donc le rayon \( r = 10\ \text{m} \).
Circonférence \( C = 2\pi r = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62.8\ \text{m} \).
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Deux écoles différentes (A et B) ont le même nombre d'élèves. Le rapport des garçons dans l'école A et des garçons dans l'école B est de 2:1 et le rapport des filles dans l'école A et des filles dans l'école B est de 4:5. Trouvez le rapport des garçons de l'école A aux filles de l'école A.
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Soient les garçons en B égaux à \( x \), donc les garçons en A sont \( 2x \). Soient les filles en B égales à \( 5y \), donc les filles en A sont \( 4y \).
Le nombre total d'élèves est égal : \( 2x + 4y = x + 5y \implies x = y \).
Rapport des garçons aux filles dans l'école A : \( \dfrac{2x}{4y} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2} \). Le rapport est de 1:2.
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Dans une classe, le rapport des garçons aux filles est de 5:6. S'il y a 66 élèves au total, combien y a-t-il de filles dans la classe ?
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Soient les garçons = \( 5x \) et les filles = \( 6x \). Total des élèves = \( 11x = 66 \implies x = 6 \).
Nombre de filles = \( 6x = 6(6) = 36 \).
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Un sac contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules bleues. Si l'on tire une boule au hasard dans le sac, quelle est la probabilité que la boule soit soit rouge, soit bleue ?
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Total des boules = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). Boules rouges ou bleues = \( 5 + 2 = 7 \).
Probabilité \( = \dfrac{7}{10} \).
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Une échelle est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 6 mètres du mur, et l'échelle atteint une hauteur de 8 mètres. Quelle est la longueur de l'échelle ?
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Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. La longueur de l'échelle \( L \) est l'hypoténuse :
\[ L = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{m} \] -
Le prix d'une veste est passé de \( 80 \$ \) à \( 100 \$ \). Quel est le pourcentage d'augmentation ?
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Augmentation = \( 100 \$ - 80 \$ = 20 \$ \).
Pourcentage d'augmentation = \( \left( \dfrac{\text{Augmentation}}{\text{Original}} \right) \times 100 = \left(\dfrac{20}{80}\right) \times 100 = 25\% \).
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Joe a conduit à une vitesse de 45 miles par heure sur une certaine distance. Il a ensuite conduit à une vitesse de 55 miles par heure sur la même distance. Quelle est la vitesse moyenne pour tout le trajet ?
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Soit la distance \( d \). Distance totale = \( 2d \). Temps total = \( \dfrac{d}{45} + \dfrac{d}{55} \).
Le dénominateur commun est 495 : \( \dfrac{11d}{495} + \dfrac{9d}{495} = \dfrac{20d}{495} \).
Vitesse moyenne = \( \dfrac{2d}{\dfrac{20d}{495}} = 2d \times \dfrac{495}{20d} = \dfrac{990}{20} = 49.5\ \text{mph} \).
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Deux boules A et B tournent le long d'une piste circulaire. La boule A fait 2 tours complets en 26 minutes. La boule B fait 5 tours complets en 35 minutes. Si elles commencent à tourner maintenant à partir du même point, quand se retrouveront-elles au même point de départ ?
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Temps pour un tour pour A = \( 26 / 2 = 13 \) min. Pour B = \( 35 / 5 = 7 \) min.
Le moment où elles se retrouvent est le PPCM de 13 et 7, qui est \( 13 \times 7 = 91 \) minutes.
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Les nombres \( x , y , z \) et \( w \) ont une moyenne égale à 25. La moyenne de \( x , y \) et \( z \) est égale à 27. Trouvez \( w \).
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Somme de 4 nombres : \( x + y + z + w = 4 \times 25 = 100 \).
Somme des 3 premiers nombres : \( x + y + z = 3 \times 27 = 81 \).
Par conséquent, \( 81 + w = 100 \implies w = 19 \).
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Peter a conduit à vitesse constante pendant 2 heures. Il s'est ensuite arrêté pendant une heure pour faire des courses et se reposer, puis est rentré chez lui en conduisant à vitesse constante. Quel graphique représente le mieux les variations de la distance par rapport à la maison pendant que Peter conduisait ?
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La distance par rapport à la maison doit d'abord augmenter (s'éloigner), rester plate (courses/repos), puis diminuer pour revenir à zéro (rentrer à la maison). Seul le graphique en bas à gauche montre cette trajectoire exacte.
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Initialement, le prisme rectangulaire de gauche était plein d'eau. Ensuite, de l'eau a été versée dans le récipient cylindrique de droite de sorte que les hauteurs d'eau dans les deux récipients soient égales. Trouvez la hauteur \(h\) de l'eau dans les deux récipients (arrondissez votre réponse au dixième de cm près).
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Volume du prisme de gauche = \( 2 \times 4 \times 10 = 80\ \text{cm}^3 \). Cette eau est partagée entre le prisme du milieu et le cylindre.
Volume du prisme du milieu = \( 2 \times 4 \times h = 8h \). Volume du cylindre = \( \pi (1)^2 h = \pi h \).
Total : \( 8h + \pi h = 80 \implies h(8 + \pi) = 80 \implies h = \dfrac{80}{8 + 3.14} \approx 7.2\ \text{cm} \).
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Le périmètre du carré ABCD est égal à 100 cm. La longueur du segment MN est égale à 5 cm et le triangle MNC est un triangle rectangle isocèle. Trouvez l'aire du pentagone ABNMD.
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Périmètre du carré = 100, donc la longueur du côté = 25 cm. Aire totale = 625 cm².
Le triangle MNC est un triangle rectangle isocèle avec pour hypotenuse MN = 5. Par le théorème de Pythagore : \( MC^2 + NC^2 = 5^2 \). Comme \( MC = NC \), \( 2MC^2 = 25 \implies MC^2 = 12.5 \).
Aire du triangle = \( \dfrac{1}{2} \times MC \times NC = \dfrac{1}{2}(12.5) = 6.25\ \text{cm}^2 \).
Aire du pentagone = \( 625 - 6.25 = 618.75\ \text{cm}^2 \).
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Dany a acheté un total de 20 cartes de jeu, dont certaines coûtent 0,25 $ chacune et d'autres 0,15 $ chacune. Si Dany a dépensé 4,20 $ pour acheter ces cartes, combien de cartes de chaque type a-t-il achetées ?
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Soient \( X \) = cartes à 0,25 $, \( Y \) = cartes à 0,15 $.
\[ X + Y = 20 \implies Y = 20 - X \] \[ 0.25X + 0.15Y = 4.20 \implies 25X + 15Y = 420 \]Substituez \( Y \) : \( 25X + 15(20 - X) = 420 \implies 10X + 300 = 420 \implies 10X = 120 \implies X = 12 \).
Par conséquent, \( Y = 8 \). Il a acheté 12 cartes à 0,25 $ et 8 cartes à 0,15 $.
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Un dé à six faces est lancé une fois. Quelle est la probabilité que le nombre obtenu soit un nombre pair supérieur à 2 ?
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Résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nombres pairs supérieurs à 2 : 4 et 6.
Probabilité = \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
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Un récipient cylindrique a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ? (Utilisez \( \pi \approx 3.14 \))
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Formule : \( V = \pi r^2 h \).
\[ V = 3.14 \times 4^2 \times 10 = 3.14 \times 16 \times 10 = 502.4\ \text{cm}^3 \]