Cette page présente une collection de problèmes d'équations quadratiques de 8e année, accompagnés de solutions détaillées étape par étape et d'explications claires. Développez les solutions cachées sous chaque question pour révéler le raisonnement algébrique nécessaire pour traduire des scénarios du monde réel en modèles mathématiques.
Les questions de cette page aident les élèves à maîtriser les applications clés des équations quadratiques, notamment :
Deux entiers consécutifs sont de la forme :
\[ x \quad \text{et} \quad x + 1 \]Leur produit est égal à 56 :
\[ x(x + 1) = 56 \]Résolvez et trouvez les deux nombres \( x \) et \( x + 1 \). L'équation ci-dessus peut être développée et écrite sous forme standard comme suit :
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Solutions : \( x = 7 \) ou \( x = -8 \).
\( x = -8 \) n'est pas valide puisque le problème indique que les nombres doivent être positifs. Par conséquent, \( x = 7 \).
Les deux entiers consécutifs positifs sont 7 et 8 (puisque \( 7 + 1 = 8 \)).
Deux entiers consécutifs sont de la forme :
\[ x \quad \text{et} \quad x + 1 \]La somme de leurs carrés est égale à 145 :
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Développez et regroupez les termes semblables, puis écrivez sous forme standard :
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 145 \] \[ 2x^{2} + 2x + 1 - 145 = 0 \] \[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Divisez tous les termes par 2 pour simplifier l'équation :
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Solutions : \( x = -9 \) ou \( x = 8 \).
Puisque le problème spécifie des entiers positifs, seul \( x = 8 \) est valide.
Les deux nombres consécutifs positifs sont 8 et 9.
L'aire d'un rectangle est égale à la longueur multipliée par la largeur, donc :
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Développez et regroupez les termes semblables :
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]Réécrivez sous forme standard en soustrayant 42 des deux côtés :
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Solutions : \( x = -8 \) et \( x = 5 \).
Si \( x = -8 \), la largeur (\( x+1 \)) serait -7, ce qui est physiquement impossible. Seul \( x = 5 \) donne une longueur et une largeur positives valides.
Calculez les dimensions :
Le périmètre est \( 2 \times \text{longueur} + 2 \times \text{largeur} \) :
\[ 2(7) + 2(6) = 14 + 12 = 26 \]Le périmètre du jardin est 26.
Soit \( y \) la longueur du côté le plus court. Alors le côté le plus long est :
\[ y + 3 \]L'hypoténuse mesure 3 cm de plus que le côté le plus long, donc :
\[ (y + 3) + 3 = y + 6 \]Utilisez le théorème de Pythagore (\( a^2 + b^2 = c^2 \)) :
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Développez les carrés et simplifiez :
\[ y^{2} + (y^{2} + 6y + 9) = y^{2} + 12y + 36 \]Soustrayez \( y^2 + 12y + 36 \) des deux côtés pour former une équation quadratique standard :
\[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Solutions : \( y = 9 \) ou \( y = -3 \).
Seul \( y = 9 \) est valide puisque la longueur doit être positive.
La longueur de l'hypoténuse est \( y + 6 \) :
\[ 9 + 6 = 15 \text{ cm} \]L'objet est à 80 pieds au-dessus du sol lorsque \( h = 80 \), donc substituez 80 dans l'équation :
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]Réécrivez sous forme standard en soustrayant 80 des deux côtés :
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \] \[ -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Divisez toute l'équation par -16 pour simplifier :
\[ t^{2} - 4t + 3 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]Solutions : \( t = 1 \) seconde et \( t = 3 \) secondes.
Explication : L'objet atteint 80 pieds en montant à \( t = 1 \) seconde, continue jusqu'à son sommet, puis repasse par 80 pieds en redescendant à \( t = 3 \) secondes.
Soit \( L \) la longueur et \( W \) la largeur. D'après l'aire :
\[ L \times W = 96 \]Le périmètre est de 40, ce qui donne :
\[ 2L + 2W = 40 \]Divisez par 2 et résolvez pour \( L \) :
\[ L + W = 20 \implies L = 20 - W \]Substituez cette expression pour \( L \) dans l'équation de l'aire :
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Développez et réorganisez sous forme quadratique standard :
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Solutions : \( W = 8 \) ou \( W = 12 \).
Maintenant, trouvez les longueurs correspondantes :
Par convention, la longueur est généralement le côté le plus long. Par conséquent, les dimensions sont largeur = 8 m et longueur = 12 m.
Soit \( b \) la base. Alors la hauteur est \( b + 3 \). En utilisant la formule de l'aire d'un triangle (\( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)) :
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Multipliez les deux côtés par 2 pour éliminer la fraction :
\[ 108 = b(b + 3) \]Développez et réécrivez sous forme d'équation quadratique standard :
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (b + 12)(b - 9) = 0 \]Solutions : \( b = -12 \) ou \( b = 9 \).
Puisqu'une longueur de base doit être positive, \( b = 9 \).
La hauteur est \( b + 3 = 9 + 3 = 12 \).
La base est de 9 pieds et la hauteur est de 12 pieds.
Soient les trois entiers consécutifs positifs \( x \), \( x + 1 \) et \( x + 2 \).
Le produit du premier et du troisième est :
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Un de moins que le carré du deuxième entier est :
\[ (x + 1)^{2} - 1 = (x^{2} + 2x + 1) - 1 = x^{2} + 2x \]Remarquez que les deux expressions algébriques se simplifient en \( x^2 + 2x \). Cela crée l'équation :
\[ x^{2} + 2x = x^{2} + 2x \]Puisque cela donne \( 0 = 0 \), il s'agit d'une identité algébrique. Cela signifie que l'équation est vraie pour tous les nombres réels \( x \).
Par conséquent, n'importe quel ensemble de trois entiers consécutifs positifs satisfait cette condition (par exemple, 1, 2, 3 ou 10, 11, 12).
Soit \( x \) le plus petit nombre. Puisque leur différence est \( \frac{7}{2} \), le plus grand nombre est \( x + \frac{7}{2} \).
Leur produit est 2 :
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Développez l'expression :
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x = 2 \]Réécrivez sous forme d'équation quadratique standard en soustrayant 2 :
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Multipliez toute l'équation par 2 pour éliminer la fraction :
\[ 2x^{2} + 7x - 4 = 0 \]Factorisez l'équation quadratique :
\[ (2x - 1)(x + 4) = 0 \]Solutions : \( x = \frac{1}{2} \) ou \( x = -4 \).
Le problème demande des nombres positifs, donc le plus petit nombre est \( x = \frac{1}{2} \).
Le plus grand nombre est \( \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Les deux nombres sont \( \frac{1}{2} \) et 4.
Soient les trois entiers consécutifs \( x \), \( x + 1 \) et \( x + 2 \).
La somme de leurs carrés est 77 :
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Développez les carrés :
\[ x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) + (x^{2} + 4x + 4) = 77 \]Combinez les termes semblables :
\[ 3x^{2} + 6x + 5 = 77 \]Soustrayez 77 des deux côtés pour former une équation quadratique standard :
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Divisez toute l'équation par 3 pour simplifier :
\[ x^{2} + 2x - 24 = 0 \]Factorisez et résolvez :
\[ (x + 6)(x - 4) = 0 \]Solutions : \( x = -6 \) ou \( x = 4 \).
Parce que le problème demande des entiers (et ne les restreint pas seulement aux positifs), il y a deux ensembles de réponses valides.