Qu'est-ce que l'inégalité triangulaire ?

L'inégalité triangulaire stipule que la somme des longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle doit être strictement supérieure à la longueur du troisième côté. Si cette condition n'est pas remplie, le triangle ne peut pas exister.

Comment trouve-t-on l'aire d'un triangle rectangle sur un plan cartésien ?

Tout d'abord, utilisez la formule de la distance pour trouver les longueurs des côtés du triangle rectangle. Ensuite, multipliez les longueurs des deux côtés ensemble et divisez par 2, en utilisant la formule Aire = 1/2 × base × hauteur.

Comment utilise-t-on des triangles semblables pour trouver des longueurs de côtés manquantes ?

Lorsque deux triangles sont semblables, leurs côtés correspondants sont proportionnels. Vous pouvez établir un rapport comparant le côté connu d'un triangle au côté connu correspondant de l'autre, et l'égaler au rapport du côté que vous essayez de trouver.

Problèmes de Triangles de 8e Année : Questions d'Entraînement et Solutions Étape par Étape

Inégalité Triangulaire : Les longueurs de deux côtés d'un triangle sont de 20 mm et 13 mm. Laquelle de ces longueurs ne peut pas représenter la longueur du troisième côté ?

35 mm
10 cm
20 mm
45 mm

Indice : La somme de deux côtés quelconques d'un triangle doit être strictement supérieure au troisième côté.

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Dans tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés quelconques doit être supérieure à la longueur du troisième côté.

Étant donné deux côtés de longueurs 20 mm et 13 mm, leur somme est :

$ 20 + 13 = 33 \text{ mm} $

Par conséquent, la longueur du troisième côté $ x $ doit satisfaire :

$ x \lt 33 \text{ mm} $

Vérifions maintenant les options proposées (en pensant à convertir les cm en mm) :

A) $ 35 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Impossible)
B) $ 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Impossible)
C) $ 20 \text{ mm} \lt 33 \text{ mm} $ (Possible)
D) $ 45 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Impossible)

Réponse : Les longueurs 35 mm, 10 cm et 45 mm ne peuvent pas représenter le troisième côté.

Angles d'un Triangle Isocèle : Le triangle ABC est un triangle isocèle. Trouvez la mesure de l'angle ABC. $Triangle isocèle ABC avec un angle au sommet de 72 degrés$

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La somme des angles intérieurs de tout triangle est égale à $ 180^\circ $ :

$ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ $

Puisque le triangle ABC est isocèle (indiqué par les repères sur les côtés AB et AC), ses angles à la base sont égaux :

$ \angle ACB = \angle ABC $

Soit $ \angle ABC = x $. Alors :

$ 72^\circ + 2x = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $
$ x = 54^\circ $

Réponse : $ \angle ABC = 54^\circ $

Périmètre d'un Triangle Équilatéral : Le périmètre d'un triangle équilatéral est égal à 210 cm. Quelle est la longueur d'un côté de ce triangle ?

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Dans un triangle équilatéral, les trois côtés ont la même longueur. Si la longueur d'un côté est $ x $, alors le périmètre est :

$ 3x = 210 $
$ x = \dfrac{210}{3} $
$ x = 70 \text{ cm} $

Réponse : La longueur d'un côté est de 70 cm.

Algèbre de Pythagore : Trouvez $ x $ pour que le triangle illustré ci-dessous soit un triangle rectangle. $Triangle rectangle avec des cathètes de 12x et 16x et une hypoténuse de 10$

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Utilisez le théorème de Pythagore ($ a^2 + b^2 = c^2 $) :

$ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2 $
$ 144x^2 + 256x^2 = 100 $
$ 400x^2 = 100 $
$ x^2 = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4} $

En prenant la racine carrée positive (puisque le multiplicateur d'une longueur de côté doit être positif) :

$ x = \dfrac{1}{2} $

Réponse : $ x = 0.5 $

Réflexion sur le Plan Cartésien : Quels seront les sommets du triangle obtenu par une réflexion par rapport à l'axe des x du triangle défini par les sommets (1, 2), (2, -3) et (4, -1) ?

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Lorsqu'un point $ (x, y) $ subit une réflexion par rapport à l'axe des x, sa position horizontale reste la même, mais sa position verticale change de signe. La règle est $ (x, y) \to (x, -y) $.

En appliquant cette règle à chaque sommet :

$ (1, 2) \to $ $ (1, -2) $
$ (2, -3) \to $ $ (2, 3) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Triangles Semblables : Les deux triangles illustrés ci-dessous sont semblables. Trouvez la longueur de l'hypoténuse du grand triangle. $Deux triangles rectangles semblables. Le petit triangle a des cathètes de 6 et 8. Le grand triangle a une cathète correspondante de 15.$

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Tout d'abord, trouvez l'hypoténuse $ h $ du petit triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore :

$ h^2 = 8^2 + 6^2 $
$ h^2 = 64 + 36 = 100 $
$ h = 10 $

Dans des triangles semblables, les côtés correspondants sont proportionnels. Soit $ H $ l'hypoténuse du grand triangle. Le rapport des côtés correspondants est égal au rapport des hypoténuses :

$ \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{H} $

Effectuez le produit en croix pour résoudre $ H $ :

$ 6 H = 150 $
$ H = \dfrac{150}{6} $
$ H = 25 $

Réponse : La longueur de l'hypoténuse du grand triangle est de 25 unités.

Application dans le Monde Réel : Une échelle de 13 pieds est appuyée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 4 pieds du mur. Quelle est la hauteur du point où l'échelle touche le mur ? (Arrondissez votre réponse au dixième de pied le plus proche).

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L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle où l'échelle est l'hypoténuse ($ c = 13 $) et la distance au sol est une cathète ($ a = 4 $). Soit $ x $ la hauteur du mur.

Utilisez le théorème de Pythagore :

$ x^2 + 4^2 = 13^2 $
$ x^2 + 16 = 169 $
$ x^2 = 169 - 16 = 153 $
$ x = \sqrt{153} $

En calculant la racine carrée :

$ x \approx 12.369 $

Réponse : L'échelle touche le mur à environ 12,4 pieds.

Triangles Rectangles Particuliers : La longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est de 40 cm. La mesure de l'un de ses angles est de 45 degrés. Quelles sont les longueurs exactes des deux autres côtés du triangle ?

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Dans un triangle rectangle, si un angle est de $ 45^\circ $, l'autre angle aigu doit également être de $ 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. Comme les angles à la base sont égaux, le triangle est isocèle, ce qui signifie que les deux cathètes ont exactement la même longueur. Soit $ x $ la longueur de chaque cathète.

En utilisant le théorème de Pythagore :

$ x^2 + x^2 = 40^2 $
$ 2x^2 = 1600 $
$ x^2 = 800 $
$ x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} $

Réponse : La longueur exacte de chacun des deux autres côtés est de $ 20\sqrt{2} $ cm.

Périmètre d'un Triangle Isocèle : Le triangle ABC est un triangle isocèle. La longueur de la base est de 20 mètres et la hauteur correspondante est de 24 mètres. Trouvez le périmètre de ABC.

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La hauteur d'un triangle isocèle bissecte la base, la divisant en deux segments égaux de 10 mètres chacun, et forme deux triangles rectangles identiques.

$Triangle isocèle divisé en deux triangles rectangles par sa hauteur$

Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la longueur $ x $ des côtés inclinés (l'hypoténuse des triangles rectangles) :

$ x^2 = 24^2 + 10^2 $
$ x^2 = 576 + 100 = 676 $
$ x = \sqrt{676} = 26 \text{ mètres} $

Le périmètre du triangle est la somme de la base et des deux côtés inclinés identiques :

$ \text{Périmètre} = 20 + 26 + 26 = 72 $

Réponse : Le périmètre est de 72 mètres.

Algèbre de l'Aire : Un triangle a une aire de 90 cm carrés. Trouvez la longueur de la base si celle-ci mesure 3 cm de plus que la hauteur.

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Soit $ h $ la hauteur. La base $ b $ est donnée par $ b = h + 3 $.

En utilisant la formule de l'aire $ A = \dfrac{1}{2} \times b \times h $ :

$ 90 = \dfrac{1}{2}(h + 3)h $

Multipliez les deux côtés par 2 pour éliminer la fraction :

$ 180 = h(h + 3) $
$ h^2 + 3h - 180 = 0 $

Factorisez l'équation quadratique :

$ (h + 15)(h - 12) = 0 $

Puisque la hauteur doit être une mesure positive, $ h = 12 $.

Calculez la base :

$ b = 12 + 3 = 15 $

Réponse : La longueur de la base est de 15 cm.

Algèbre du Périmètre : Le périmètre d'un triangle est de 74 pouces. La longueur du premier côté est égale au double de la longueur du deuxième côté. Le troisième côté mesure 4 pouces de plus que le premier côté. Trouvez la longueur de chaque côté.

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Soit $ x $ la longueur du deuxième côté. Nous pouvons définir les autres côtés en fonction de $ x $ :

Premier côté = $ 2x $
Deuxième côté = $ x $
Troisième côté = $ 2x + 4 $

Le périmètre est la somme des trois côtés :

$ 2x + x + (2x + 4) = 74 $
$ 5x + 4 = 74 $
$ 5x = 70 $
$ x = 14 $

Maintenant, substituez $ x = 14 $ dans les expressions des côtés :

Premier côté : $ 2(14) = 28 \text{ pouces} $
Deuxième côté : $ 14 \text{ pouces} $
Troisième côté : $ 28 + 4 = 32 \text{ pouces} $

Réponse : Les longueurs des côtés sont 28, 14 et 32 pouces.

Aire sur le Plan Cartésien : Déterminez l'aire du triangle délimité par les droites $ y = -4 $, $ x = 1 $ et $ y = -2x + 8 $.

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Les sommets du triangle sont les points d'intersection de ces trois droites. Trouvons les points A, B et C.

$Triangle représenté sur un plan cartésien avec des droites sécantes$

Trouver le Point A (Intersection de $ x = 1 $ et $ y = -2x + 8 $) :

Substituez $ x = 1 $ dans l'équation : $ y = -2(1) + 8 = 6 $
A = (1, 6)

Trouver le Point C (Intersection de $ y = -4 $ et $ y = -2x + 8 $) :

Substituez $ y = -4 $ dans l'équation : $ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6 $
C = (6, -4)

Trouver le Point D (Intersection de $ x = 1 $ et $ y = -4 $) :

D = (1, -4)

Puisque les droites $ x = 1 $ (verticale) et $ y = -4 $ (horizontale) sont perpendiculaires, il s'agit d'un triangle rectangle. La base et la hauteur correspondent aux distances verticales et horizontales directes :

Hauteur (AB) = distance verticale de $ y = 6 $ à $ y = -4 $ = $ |6 - (-4)| = 10 $
Base (BC) = distance horizontale de $ x = 1 $ à $ x = 6 $ = $ |6 - 1| = 5 $

Calcul de l'aire :

$ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 $

Réponse : L'aire du triangle est de 25 unités carrées.

Formule de la Distance : Montrez que le triangle de sommets A(-1,6), B(2,6) et C(2,2) est un triangle rectangle et trouvez son aire.

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Calculez le carré de la longueur de chaque côté en utilisant la formule de la distance $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $ :

$ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $
$ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 $
$ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $

Vérifiez si le théorème de Pythagore ($ a^2 + b^2 = c^2 $) s'applique :

$ AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 $
Puisque $ AB^2 + BC^2 = CA^2 $ (25 = 25), le triangle est un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le côté CA.

Puisqu'il s'agit d'un triangle rectangle, AB et BC constituent la base et la hauteur. Les longueurs des côtés sont $ AB = \sqrt{9} = 3 $ et $ BC = \sqrt{16} = 4 $.

Calcul de l'aire :

$ \text{Aire} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $

Réponse : Le triangle est un triangle rectangle d'une aire de 6 unités carrées.

Problèmes et Questions sur les Triangles en 8e Année

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