Modèles d'Expressions Algébriques : Questions et Solutions - 9e Année

Questions

1. Identifiez le modèle et écrivez le terme suivant : \( 1, x^2 , x^4 , x^6 , x^8 , --- \)
2. Prolongez le modèle et écrivez le terme suivant : \( x^{10} , x^8 , x^6 , x^4 , x^2 , --- \)
3. Prolongez le modèle : \( x + y , 2 x + y , 3 x + y , 4 x + y , --- \)
4. Identifiez le modèle et écrivez le terme suivant : \( 2x , 4x + 1, 6x + 2, 8x + 3, --- \)
5. Identifiez le modèle et trouvez le terme suivant : \( x + y + 1, 2 x + 3 y + 1 , 3 x + 5 y + 1 , 4 x + 7 y + 1 , --- \)
6. Identifiez le modèle et écrivez le terme suivant : \( x^3 + 10 x, x^3 + 9 x , x^3 + 8 x , x^3 + 7 x , --- \)
7. Prolongez le modèle et écrivez le terme suivant : \( 3a + 2 , 6a + 5 , 12 a + 11 , 24 a + 23 , --- \)
8. Identifiez le modèle et écrivez le terme suivant : \( 1 , 2 x^2, 4 x^4, 8 x^6, 16 x^8 , --- \)
9. Prolongez le modèle et écrivez le terme suivant : \( x + y , x^2 y + y^2 x , x^3 y^2 + y^3 x^2 , x^4 y^3 + y^4 x^3 , --- \)
10. Prolongez le modèle et écrivez le terme suivant : \( x^{10} \; y^{10}, x^{11} \; y^{9} , x^{12} \; y^{8} , x^{13} \; y^{7}, --- \)

Solutions et Explications Étape par Étape

1. Solution de la Question 1

   Le modèle est obtenu en multipliant les termes par \( x^2 \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( 1 \) : premier terme
   • \( 1 \times \color{red}{x^2} = x^2 \)
   • \( x^2 \times \color{red}{x^2} = x^{2+2} = x^4 \)
   • \( x^4 \times \color{red}{x^2} = x^{4+2} = x^6 \)
   • \( x^6 \times \color{red}{x^2} = x^{6+2} = x^8 \)

   Le terme suivant est : \[ x^8 \times \color{red}{x^2} = x^{8+2} = x^{10} \]

2. Solution de la Question 2

   Le modèle est obtenu en divisant par \( x^2 \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( x^{10} \) : premier terme
   • \( \dfrac{x^{10}}{\color{red}{x^2}} = x^{10-2} = x^8 \)
   • \( \dfrac{x^{8}}{\color{red}{x^2}} = x^{8-2} = x^6 \)
   • \( \dfrac{x^{6}}{\color{red}{x^2}} = x^{6-2} = x^4 \)
   • \( \dfrac{x^{4}}{\color{red}{x^2}} = x^{4-2} = x^2 \)

   Le terme suivant est : \[ \dfrac{x^{2}}{\color{red}{x^2}} = 1 \]

3. Solution de la Question 3

   Le modèle est obtenu en ajoutant \( x \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( x + y \) : premier terme
   • \( x + y + \color{red}{x} = 2 x + y \)
   • \( 2 x + y + \color{red}{x} = 3 x + y \)
   • \( 3 x + y + \color{red}{x} = 4 x + y \)

   Le terme suivant est : \[ 4 x + y + \color{red}{x} = 5x + y \]

4. Solution de la Question 4

   Le modèle est obtenu en ajoutant \( 2x + 1 \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( 2 x \) : premier terme
   • \( 2x + \color{red}{2 x + 1} = 4x + 1 \)
   • \( 4x + 1 + \color{red}{2 x + 1} = 6x + 2 \)
   • \( 6x + 2 + \color{red}{2 x + 1} = 8 x + 3 \)

   Le terme suivant est : \[ 8 x + 3 + \color{red}{2 x + 1} = 10 x + 4 \]

5. Solution de la Question 5

   Le modèle est obtenu en ajoutant \( x + 2y \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( x + y + 1 \) : premier terme
   • \( x + y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 2x + 3y + 1 \)
   • \( 2x + 3y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 3x + 5y + 1 \)
   • \( 3x + 5y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 4x + 7y + 1 \)

   Le terme suivant est : \[ 4x + 7y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 5x + 9y + 1 \]

6. Solution de la Question 6

   Le modèle est obtenu en soustrayant \( x \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( x^3 + 10 x \) : premier terme
   • \( x^3 + 10 x \color{red}{- x} = x^3 + 9x \)
   • \( x^3 + 9x \color{red}{- x} = x^3 + 8 x \)
   • \( x^3 + 8x \color{red}{- x} = x^3 + 7 x \)

   Le terme suivant est : \[ x^3 + 7 x \color{red}{- x} = x^3 + 6x \]

7. Solution de la Question 7

   Le modèle est obtenu en multipliant l'expression par 2 et en ajoutant \( 1 \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( 3a + 2 \) : premier terme
   • \( \color{red}{2}(3a + 2) \color{red}{+ 1} = 6a + 4 + 1 = 6a + 5 \)
   • \( \color{red}{2}(6a + 5) \color{red}{+ 1} = 12a + 10 + 1 = 12a + 11 \)
   • \( \color{red}{2}(12a + 11) \color{red}{+ 1} = 24a + 22 + 1 = 24a + 23 \)

   Le terme suivant est : \[ \color{red}{2}(24a + 23) \color{red}{+ 1} = 48a + 46 + 1 = 48a + 47 \]

8. Solution de la Question 8

   Le modèle est obtenu en multipliant par \( 2 x^2 \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( 1 \) : premier terme
   • \( 1 \color{red}{\times 2 x^2} = 2 x^2 \)
   • \( 2 x^2 \color{red}{\times 2 x^2} = 4 x^{2+2} = 4 x^4 \)
   • \( 4 x^4 \color{red}{\times 2 x^2} = 8 x^{4+2} = 8 x^6 \)
   • \( 8 x^6 \color{red}{\times 2 x^2} = 16 x^{6+2} = 16 x^8 \)

   Le terme suivant est : \[ 16 x^8 \color{red}{\times 2 x^2} = 32 x^{8+2} = 32 x^{10} \]

9. Solution de la Question 9

   Le modèle est obtenu en multipliant par \( xy \) pour obtenir le terme suivant.

   • \( x + y \) : premier terme
   • \( (x + y) \color{red}{xy} = x^2y + y^2x \)
   • \( (x^2 y + y^2 x) \color{red}{xy} = x^3 y^2 + y^3 x^2 \)
   • \( (x^3 y^2 + y^3 x^2) \color{red}{xy} = x^4 y^3 + y^4 x^3 \)

   Le terme suivant est : \[ (x^4 y^3 + y^4 x^3) \color{red}{xy} = x^5 y^4 + y^5 x^4 \]

10. Solution de la Question 10

    Le modèle est obtenu en multipliant par \( \dfrac{x}{y} \) pour obtenir le terme suivant.

    • \( x^{10} \; y^{10} \) : premier terme
    • \( x^{10} \; y^{10} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{10+1} \; y^{10-1} = x^{11} \; y^{9} \)
    • \( x^{11} \; y^{9} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{11+1} \; y^{9-1} = x^{12}\; y^{8} \)
    • \( x^{12} \; y^{8} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{12+1} \; y^{8-1} = x^{13} \; y^{7} \)

    Le terme suivant est : \[ x^{13} \; y^{7} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{13+1} \; y^{7-1} = x^{14} \; y^{6} \]

Liens et Références

• Mathématiques du Collège (Classes de 6e, 7e, 8e, 9e) - Questions et Problèmes Gratuits avec Réponses
• Mathématiques du Lycée (Classes de 10e, 11e et 12e) - Questions et Problèmes Gratuits avec Réponses
• Mathématiques du Primaire (Classes de 4e et 5e) avec Questions et Problèmes Gratuits avec Réponses