Des questions sur l'identification de sequences d'expressions algébriques sont présentées avec leurs solutions.
Questions
Question 1 : Identifiez le modèle et écrivez le terme suivant : \( 1, x^2 , x^4 , x^6 , x^8 , --- \).
Question 2 : Étendez le modèle et écrivez le terme suivant : \( x^{10} , x^8 , x^6 , x^4 , x^2 , --- \).
Question 3 : Étendre le modèle : \( x + y , 2 x + y , 3 x + y , 4 x + y , --- \).
Question 4 : Identifiez la régularité et écrivez le terme suivant : \(2x , 4x + 1, 6x + 2, 8x + 3, --- \).
Question 5 : Identifiez la régularité et trouvez le terme suivant : \( x + y + 1, 2 x + 3 y + 1 , 3 x + 5 y + 1 , 4 x + 7 y + 1 , --- \).
Question 6 : Identifiez la régularité et écrivez le terme suivant : \( x^3 + 10 x, x^3 + 9 x , x^3 + 8 x , x^3 + 7 x , - --\).
Question 7 : Prolongez la régularité et écrivez le terme suivant : \(3a + 2 , 6a + 5 , 12 a + 11 , 24 a + 23 , --- \).
Question 8 : Identifiez le modèle et écrivez le terme suivant : : \( 1 , 2 x^2, 4 x^4, 8 x^6, 16 x^8 , --- \).
Question 9 : Étendez le modèle et écrivez le terme suivant : : \( x + y , x^2 y + y^2 x , x^3 y^2 + y^3 x^2 , x^4 y^3 + y^4 x^3 , ---\).
Question 10 : Étendez le modèle et écrivez le terme suivant : : \( x^{10} \; y^{10}, x^{11} \; y^{9} , x^ {12} \;y^{8} , x^{13} \;y^{7}, --- \).
Solutions
Solution à la question 1 : Le modèle est obtenu en multipliant les termes par \( x^2 \) pour obtenir le terme suivant.
\( 1 \) : premier terme
\( 1 \times \color{rouge}{x^2} = x^2 \)
\(x^2 \times \color{red}{x^2} = x^{2+2} = x^4 \)
\( x^4 \times \color{red}{x^2} = x^{4+2} = x^6 \)
\( x^6 \times \color{red}{x^2} = x^{6+2} = x^8 \)
Le terme suivant est : \[ x^8 \times \color{red}{x^2} = x^{8+2} = x^{10} \]
Solution à la question 2 : La régularité est obtenue en divisant par \( x^2 \) pour obtenir le terme suivant.
\( x^{10} \) : premier terme
\( \dfrac{x^{10}}{\color{red}{x^2}} = x^{10-2} = x^8 \)
\( \dfrac{x^{8}}{\color{red}{x^2}} = x^{8-2} = x^6 \)
\( \dfrac{x^{6}}{\color{red}{x^2}} = x^{6-2} = x^4 \)
\( \dfrac{x^{4}}{\color{rouge}{x^2}} = x^{4-2} = x^2 \)
Le terme suivant est : \[ \dfrac{x^{2}}{\color{red}{x^2}} = 1 \]
Solution à la question 3 : La régularité est obtenue en ajoutant \( x \) pour obtenir le terme suivant.
\( x + y \) : premier terme
\( x + y + \color{rouge}{x} = 2 x + y \)
\( 2 x + y + \color{rouge}{x} = 3 x + y \)
\( 3 x + y + \color{rouge}{x} = 4 x + y \)
Les termes suivants sont \[ 4 x + y + \color{red}{x} = 5x + y\].
Solution à la question 4 : La régularité est obtenue en ajoutant \(2x + 1\) pour obtenir le terme suivant.
\( 2 x \) : premier terme
\( 2x + \color{rouge}{2 x + 1} = 4x + 1\)
\( 4x + 1 + \color{rouge}{2 x + 1} = 6x + 2\)
\( 6x + 2 + \color{rouge}{2 x + 1} = 8 x + 3 \)
Les termes suivants sont \[ 8 x + 3 + \color{red}{2 x + 1} = 10 x + 4\].
Solution à la question 5 : La régularité est obtenue en ajoutant \( x + 2 y \) pour obtenir le terme suivant.
\( x + y + 1 \) : premier terme
\( x + y + 1 + \color{rouge}{x + 2y} = 2x + 3y + 1 \)
\( 2x + 3y + 1 + \color{rouge}{x + 2y} = 3 x + 5y + 1\)
\( 3 x + 5y + 1 + \color{rouge}{x + 2y} = 4x + 7y + 1\)
Les termes suivants sont \[ 4x + 7y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 5 x + 9y + 1\].
Solution à la question 6 : La régularité est obtenue en soustrayant \( x \) pour obtenir le terme suivant.
\( x^3 + 10 x \) : premier terme
\(x^3 + 10 x \color{rouge}{- x} = x^3 + 9x \)
\(x^3 + 9x \color{rouge}{- x} = x^3 + 8 x \)
\(x^3 + 8x \color{rouge}{- x} = x^3 + 7 x \)
Le terme suivant est \[ x^3 + 7 x \color{red}{- x} = x^3 + 6x \].
Solution à la question 7 : La régularité est obtenue en doublant et en ajoutant \( 1 \) pour obtenir le terme suivant.
\( 3a + 2 \) : premier terme
\( \color{red}{2}(3a + 2) \color{red}{+1} = 6 a + 4 + 1 = 6 a + 5 \)
\( \color{red}{2}(6 a + 5) \color{red}{+1} = 12 a + 10 + 1 = 12 a + 11 \)
\( \color{red}{2}(12 a + 11) \color{red}{+1} = 24 a + 22 + 1 = 24 a + 23 \)
Le terme suivant est \[ \color{red}{2}(24 a + 23) \color{red}{+1} = 48 a + 46 + 1 = 48 a + 47 \]
Solution à la question 8 : Le modèle est obtenu en multipliant par \( 2 x^2 \) pour obtenir le terme suivant.
\( 1 \) : premier terme
\( 1 \color{rouge}{ \times 2 x^2} = 2 x^2 \)
\( 2 x ^ 2 \color{red}{ \times 2 x^2} = 4 x^{2+2} = 4 x^4 \)
\( 4 x ^ 4 \color{red}{ \times 2 x^2} = 8 x^{4+2} = 8 x^6 \)
\( 8 x ^ 6 \color{red}{ \times 2 x^2} = 16 x^{6+2} = 16 x^8 \)
Le terme suivant est \[ 16 x^8 \color{red}{ \times 2 x^2} = 32 x^{8+2} = 32 x^{10} \]
Solution à la question 9 : La régularité est obtenue en multipliant par \( x y \) pour obtenir le terme suivant.
\( x + y \) : premier terme
\( (x + y) \color{rouge}{ x y} = x^2 y + y^2 x \)
\( (x^2 y + y^2 x) \color{rouge}{ x y} = x^3 y^2 + y^3 x^2 \)
\( (x^3 y^2 + y^3 x^2) \color{red}{ x y} = x^4 y^3 + y^4 x^3 \)
Les termes suivants sont \[ (x^4 y^3 + y^4 x^3) \color{red}{ x y} = x^5 y^4 + y^5 x^4 \].
Solution à la question 10 : La régularité est obtenue en multipliant par \( \dfrac{x}{y} \) pour obtenir le terme suivant.
\( x^{10} \; y^{10} \) : premier terme
\( x^{10} \; y^{10} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{10+1} \; y^{10-1} = x ^{11} \; y^{9} \)
\( x^{11} \; y^{9} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{11+1} \; y^{9-1} = x ^{12}\; y^{8} \)
\( x^{12} \; y^{8} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{12+1} \; y^{8-1} = x ^{13} \; y^{7} \)
Les termes suivants sont \[ x^{13} \; y^{7} \color{red}{ \times \dfrac{x}{y} } = x^{13+1} \; y^{7-1} = x^{14} \; y^{6} \]
