Additionner et Soustraire des Polynômes - 9e Année

Cette page est conçue pour aider les élèves de 9e année à maîtriser l'addition et la soustraction de polynômes. Nous fournissons des règles claires, des exemples guidés et des questions d'entraînement avec des solutions étape par étape. Développez les solutions cachées pour voir exactement comment regrouper les termes et gérer les signes négatifs délicats.

Les compétences clés abordées sur cette page incluent :

Les Bases : Définitions et Règles

Qu'est-ce qu'un Polynôme ?

Un polynôme est une expression algébrique composée de variables et de coefficients, formée en additionnant ou en soustrayant plusieurs monômes. Les exemples incluent :

Règle 1 : Distribution des Signes pour Supprimer les Parenthèses

Pour additionner ou soustraire des polynômes, vous devez d'abord supprimer les parenthèses en utilisant la loi distributive : \( a(b+c) = ab + ac \).

Règle 2 : Addition et Soustraction des Termes Semblables

Vous ne pouvez combiner que les termes qui ont exactement les mêmes variables élevées aux exactes mêmes puissances. L'ordre n'a pas d'importance (par exemple, \( x^2y^2 \) est identique à \( y^2x^2 \)).

Exemples :

Questions d'Entraînement

Partie A : Combiner les Termes Semblables

  1. Simplifiez l'expression : \( 2x - 2x + 9x \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( 2x - 2x + 9x \)
    • \( = (2 - 2 + 9)x \) (Mettre la variable en facteur et regrouper les coefficients)
    • \( = 9x \) (Simplifier les nombres)
  2. Simplifiez l'expression : \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    • \( = (-1 + 3 + 1)x^2 \) (Rappelez-vous que \( -x^2 \) signifie \( -1x^2 \) et \( x^2 \) signifie \( 1x^2 \))
    • \( = 3x^2 \)
  3. Simplifiez l'expression : \( -xy + \dfrac{2}{3}xy + \dfrac{1}{2}xy \)
    Indice : Trouvez un dénominateur commun pour additionner les fractions.
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( \left(-1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)xy \) (Mettre \( xy \) en facteur)
    • \( = \left(-\dfrac{6}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6}\right)xy \) (Trouver un dénominateur commun de 6)
    • \( = \left(\dfrac{-6 + 4 + 3}{6}\right)xy \)
    • \( = \dfrac{1}{6}xy \)
  4. Simplifiez l'expression : \( 0.2x^3 + 2x^3 - 0.5x^3 \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( (0.2 + 2 - 0.5)x^3 \) (Mettre la variable en facteur)
    • \( = (2.2 - 0.5)x^3 \)
    • \( = 1.7x^3 \) (Ou sous forme de fraction : \( \dfrac{17}{10}x^3 \))
  5. Simplifiez l'expression : \( x - 0.3x - \dfrac{1}{5}x \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( \left(1 - 0.3 - \dfrac{1}{5}\right)x \) (Mettre la variable en facteur)
    • \( = \left(\dfrac{10}{10} - \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{10}\right)x \) (Convertir le tout en fractions avec un dénominateur de 10)
    • \( = \left(\dfrac{10 - 3 - 2}{10}\right)x \)
    • \( = \dfrac{5}{10}x = \dfrac{1}{2}x \) (Ou sous forme décimale : \( 0.5x \))

Partie B : Additionner et Soustraire des Polynômes

  1. Additionnez les polynômes : \( (2x^2 - 2x + 1) + (x + 5) \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( +1(2x^2 - 2x + 1) + 1(x + 5) \) (Identifier les signes précédant les parenthèses)
    • \( = 2x^2 - 2x + 1 + x + 5 \) (Distribuer les signes positifs pour supprimer les parenthèses)
    • \( = 2x^2 + (-2x + x) + (1 + 5) \) (Regrouper les termes semblables)
    • \( = 2x^2 - x + 6 \) (Combiner les coefficients)
  2. Soustrayez les polynômes : \( (-4x^3 - 2x + 1) - (-x^3 - 5x) \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( +1(-4x^3 - 2x + 1) - 1(-x^3 - 5x) \) (Identifier les signes précédant les parenthèses)
    • \( = -4x^3 - 2x + 1 + x^3 + 5x \) (Distribuer le -1, en inversant les signes dans la seconde parenthèse)
    • \( = (-4x^3 + x^3) + (-2x + 5x) + 1 \) (Regrouper les termes semblables)
    • \( = -3x^3 + 3x + 1 \) (Simplifier)
  3. Additionnez et soustrayez les polynômes : \( -(2x^3 - 2x^2 + 1) + (-x^3 - 5x^2) \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( -1(2x^3 - 2x^2 + 1) + 1(-x^3 - 5x^2) \)
    • \( = -2x^3 + 2x^2 - 1 - x^3 - 5x^2 \) (Distribuer les signes pour supprimer les parenthèses)
    • \( = (-2x^3 - x^3) + (2x^2 - 5x^2) - 1 \) (Regrouper les termes semblables)
    • \( = -3x^3 - 3x^2 - 1 \) (Simplifier)
  4. Simplifiez : \( -(-x^4y - 2x^2 - 9) - (-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    Indice : \( x^4y \) est exactement le même terme que \( yx^4 \).
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( -1(-x^4y - 2x^2 - 9) - 1(-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    • \( = x^4y + 2x^2 + 9 + yx^4 + 5x^2 - 1 \) (Distribuer le -1 aux deux parenthèses, en inversant tous les signes)
    • \( = (x^4y + yx^4) + (2x^2 + 5x^2) + (9 - 1) \) (Regrouper les termes semblables)
    • \( = 2x^4y + 7x^2 + 8 \) (Simplifier les coefficients)
  5. Simplifiez l'expression : \( (-x^2 - 2x) - (-x^2 - 5x + 3) + (x^2 - 4) \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( +1(-x^2 - 2x) - 1(-x^2 - 5x + 3) + 1(x^2 - 4) \)
    • \( = -x^2 - 2x + x^2 + 5x - 3 + x^2 - 4 \) (Distribuer les signes pour supprimer les parenthèses)
    • \( = (-x^2 + x^2 + x^2) + (-2x + 5x) + (-3 - 4) \) (Regrouper les termes semblables)
    • \( = x^2 + 3x - 7 \) (Combiner les coefficients)
  6. Soustrayez les polynômes : \( (x^3 - 2x^2 + 3) - \left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    Voir la Solution Étape par Étape
    • \( +1(x^3 - 2x^2 + 3) - 1\left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    • \( = x^3 - 2x^2 + 3 - \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3} \) (Distribuer les signes pour supprimer les parenthèses)
    • \( = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-2 - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(3 + \dfrac{1}{3}\right) \) (Mettre les variables en facteur pour faciliter l'addition des fractions)
    • \( = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-\dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(\dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3}\right) \) (Trouver des dénominateurs communs)
    • \( = \dfrac{3}{4}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{10}{3} \)

Liens et Références