Cette page est conçue pour aider les élèves, les parents et les enseignants à maîtriser les propriétés des exposants à travers des questions soigneusement sélectionnées et des solutions détaillées étape par étape disponibles immédiatement sous chaque bloc de questions.
La forme exponentielle est un moyen pratique d'écrire des multiplications répétées et longues d'un même nombre par lui-même :
\[ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ fois} } = a^n \]
Ici, \( a \) est appelé la base (un nombre réel) et \( n \) est appelé l'exposant (un entier). L'expression \( a^n \) se lit "\(a\) à la puissance \(n\)". Comprendre ces règles est une étape cruciale pour aborder l'algèbre avancée et le calcul.
Révisez ces propriétés fondamentales avant de tenter les questions ci-dessous :
| # | Nom de la Règle | Définition | Exemples |
|---|---|---|---|
| 1 | Forme Exponentielle | \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ fois} } = a^n \) | \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 \) \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) |
| 2 | Exposant Négatif | \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) ou \( a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}} \) | \( 3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} \) \( 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \) |
| 3 | Règle du Produit (Même Base) | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10} \) \( 3^{2+6} = 3^2 \cdot 3^6 \) |
| 4 | Règle du Produit (Même Exposant) | \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) | \( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \) \( (4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2 \) |
| 5 | Règle du Quotient (Même Base) | \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) | \( \dfrac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^{2} \) \( 3^{5-2} = \dfrac{3^5}{3^2} \) |
| 6 | Règle du Quotient (Même Exposant) | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^4 = \dfrac{3^4}{5^4} \) \( \dfrac{4^2}{5^2} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 \) |
| 7 | Règle du Quotient (Exposant Négatif) | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2} = \dfrac{5^2}{3^2} \) |
| 8 | Règle de la Puissance | \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) | \( (2^3)^4 = 2^{3\cdot4} = 2^{12} \) \( 3^{4 \cdot 5} = (3^4)^5 = (3^5)^4 \) |
| 9 | Règle de l'Exposant Zéro | \( a^0 = 1 \) (pour \(a \neq 0\)) | \( 10000000^0 = 1 \) Remarque : \( \color{red}{0^0 \text{ est indéfini}} \) |
| 10 | Règle de l'Exposant Un | \( a^1 = a \) | \( 45^1 = 45 \) \( 100 = 100^1 \) |
| 11 | Règle de la Base Un | \( 1^n = 1 \) | \( 1^{230} = 1 \) \( 1^{-100} = 1 \) |
| 12 | Règle de la Base Moins Un | \( (-1)^n = \begin{cases} 1, & \text{si } n \text{ est pair} \\ -1, & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases} \) | \( (-1)^{19} = -1 \) \( (-1)^{18} = 1 \) |
Consignes : Essayez de résoudre toutes les questions suivantes sans utiliser de calculatrice avant de développer le bloc de solutions.