Problèmes d'Entraînement en Géométrie
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Problème 1 : Angles Complémentaires
Les angles \( A \) et \( B \) sont complémentaires, et la mesure de l'angle \( A \) est le double de la mesure de l'angle \( B \). Trouvez les mesures des angles \( A \) et \( B \).
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Soit \( A \) la mesure de l'angle \( A \) et \( B \) la mesure de l'angle \( B \). On nous indique que :
\[ A = 2B \]
Parce que les angles \( A \) et \( B \) sont complémentaires, leur somme est de \( 90^\circ \) :
\[ A + B = 90^\circ \]
Substituez \( 2B \) à la place de \( A \) dans l'équation :
\[ 2B + B = 90^\circ \]
\[ 3B = 90^\circ \]
\[ B = \dfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ \]
Maintenant, substituez \( B \) pour trouver \( A \) :
\[ A = 2(30^\circ) = 60^\circ \]
Réponse : Mesure de \( A = 60^\circ \), Mesure de \( B = 30^\circ \).
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Problème 2 : Aire d'un Parallélogramme
\( ABCD \) est un parallélogramme tel que \( AB \) est parallèle à \( DC \) et \( DA \) est parallèle à \( CB \). La longueur du côté \( AB \) est de \( 20 \text{ cm} \). Le point \( E \) se situe entre \( A \) et \( B \) de sorte que la longueur de \( AE \) est de \( 3 \text{ cm} \). Le point \( F \) se situe entre les points \( D \) et \( C \).
Trouvez la longueur de \( DF \) telle que le segment \( EF \) partage le parallélogramme en deux régions d'aires égales.
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Soit \( A_1 \) l'aire du trapèze \( AEFD \). Son aire est donnée par :
\[ A_1 = \dfrac{1}{2} h (AE + DF) = \dfrac{1}{2} h (3 + DF) \]
où \( h \) est la hauteur du parallélogramme.
Soit \( A_2 \) l'aire du trapèze \( EBCF \). Son aire est donnée par :
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (EB + FC) \]
Nous pouvons trouver les longueurs des bases restantes puisque la longueur totale des côtés du parallélogramme est de \( 20 \) :
\[ EB = 20 - AE = 20 - 3 = 17 \]
\[ FC = 20 - DF \]
En substituant \( EB \) et \( FC \) dans l'équation de \( A_2 \) :
\[ A_2 = \dfrac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
Pour que le segment \( EF \) divise le parallélogramme en deux régions d'aires égales, posez \( A_1 = A_2 \) :
\[ \dfrac{1}{2} h (3 + DF) = \dfrac{1}{2} h (37 - DF) \]
Multipliez les deux côtés par 2 et divisez par \( h \) :
\[ 3 + DF = 37 - DF \]
\[ 2DF = 34 \]
\[ DF = 17 \text{ cm} \]
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Problème 3 : Angles Intérieurs d'un Triangle
Trouvez la mesure de l'angle \( A \) dans la figure ci-dessous.
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Pour trouver l'angle \( A \), nous devons d'abord trouver les deux autres angles intérieurs du triangle en utilisant les angles extérieurs qui leur sont isométriques/supplémentaires.
Le premier angle intérieur (en bas à gauche) est supplémentaire à l'angle de \( 129^\circ \). Une ligne droite mesure \( 180^\circ \), donc :
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]
Le second angle intérieur (en bas à droite) est supplémentaire à l'angle de \( 138^\circ \) :
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]
La somme des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours de \( 180^\circ \). Par conséquent :
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \]
\[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
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Problème 4 : Angles dans un Triangle Rectangle
\( ABC \) est un triangle rectangle. \( AM \) est perpendiculaire à \( BC \). La taille de l'angle \( ABC \) est égale à \( 55^\circ \). Trouvez la taille de l'angle \( MAC \).
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La somme de tous les angles du grand triangle \( \triangle ABC \) est de \( 180^\circ \). Puisqu'il s'agit d'un triangle rectangle en \( A \), nous savons que les angles sont de \( 90^\circ \), \( 55^\circ \) (donné pour \( \angle ABC \)) et \( \angle ACB \) :
\[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
Substituez \( \angle ABC = 55^\circ \) et résolvez pour \( \angle ACB \) :
\[ 55^\circ + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle ACB = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ \]
Regardez maintenant le petit triangle \( \triangle AMC \). La ligne \( AM \) est perpendiculaire à \( BC \), ce qui signifie que \( \angle AMC = 90^\circ \). La somme des angles dans \( \triangle AMC \) est de \( 180^\circ \) :
\[ \angle MAC + \angle ACM + 90^\circ = 180^\circ \]
Notez que \( \angle ACM \) est exactement le même angle que \( \angle ACB \). Substituez \( 35^\circ \) dans l'équation :
\[ \angle MAC + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \]
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Problème 5 : Angles Opposés par le Sommet
Trouvez la taille de l'angle \( MBD \) dans la figure ci-dessous.
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Tout d'abord, trouvez l'angle manquant dans le triangle de gauche, \( \triangle AMC \). La somme de ses angles est de \( 180^\circ \) :
\[ 56^\circ + 78^\circ + \angle AMC = 180^\circ \]
\[ \angle AMC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ \]
Les angles \( \angle AMC \) et \( \angle DMB \) sont des angles opposés par le sommet, ce qui signifie qu'ils ont la même mesure :
\[ \angle DMB = \angle AMC = 46^\circ \]
Maintenant, utilisez la somme des angles pour le triangle de droite, \( \triangle DMB \), qui est également de \( 180^\circ \) :
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62^\circ = 180^\circ \]
Substituez \( \angle DMB = 46^\circ \) :
\[ \angle MBD + 46^\circ + 62^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle MBD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
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Problème 6 : Lignes Sécantes et Angles
La taille de l'angle \( AOB \) est égale à \( 132^\circ \) et la taille de l'angle \( COD \) est égale à \( 141^\circ \). Trouvez la taille de l'angle \( DOB \).
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L'angle \( \angle AOB = 132^\circ \) et est composé de la somme des angles \( \angle AOD \) et \( \angle DOB \) :
\[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{(Équation 1)} \]
L'angle \( \angle COD = 141^\circ \) et est composé de la somme des angles \( \angle COB \) et \( \angle DOB \) :
\[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{(Équation 2)} \]
Additionnez l'Équation 1 et l'Équation 2 ensemble :
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \]
Parce que \( A, O \) et \( C \) forment une ligne droite, les angles \( \angle AOD, \angle DOB \) et \( \angle COB \) forment un angle plat, ce qui signifie que :
\[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \]
Substituez \( 180^\circ \) dans notre équation combinée :
\[ 180^\circ + \angle DOB = 273^\circ \]
\[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
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Problème 7 : Angles d'un Quadrilatère
Trouvez la taille de l'angle \( x \) dans la figure.
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Pour trouver \( x \), nous devons d'abord déterminer tous les angles intérieurs du quadrilatère.
Deux des angles intérieurs sont donnés comme étant de \( 41^\circ \) et \( 94^\circ \).
L'angle intérieur supplémentaire à l'angle extérieur \( x \) est : \( 180^\circ - x \).
L'angle intérieur supplémentaire à l'angle extérieur \( 111^\circ \) est : \( 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \).
La somme de tous les angles intérieurs d'un quadrilatère est de \( 360^\circ \). Par conséquent :
\[ 41^\circ + 94^\circ + (180^\circ - x) + 69^\circ = 360^\circ \]
Combinez les valeurs constantes :
\[ 384^\circ - x = 360^\circ \]
\[ x = 384^\circ - 360^\circ = 24^\circ \]
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Problème 8 : Périmètre et Aire sur Grille
Le rectangle ci-dessous est composé de 12 carrés congruents (de même taille). Trouvez le périmètre du rectangle si l'aire de ce dernier est égale à \( 432 \text{ cm}^2 \).
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Si l'aire totale du rectangle est de \( 432 \text{ cm}^2 \), l'aire d'un seul petit carré est :
\[ \dfrac{432}{12} = 36 \text{ cm}^2 \]
Soit \( x \) la longueur du côté d'un petit carré. L'aire d'un carré est \( x^2 \) :
\[ x^2 = 36 \implies x = 6 \text{ cm} \]
La grille montre que le rectangle a une longueur de 4 carrés et une largeur de 3 carrés. Les dimensions du grand rectangle sont donc :
\[ \text{Longueur } (L) = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \]
\[ \text{Largeur } (W) = 3 \times 6 = 18 \text{ cm} \]
Le périmètre \( P \) du rectangle est :
\[ P = 2(L + W) = 2(24 + 18) = 2(42) = 84 \text{ cm} \]
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Problème 9 : Triangles Isocèles dans un Triangle Rectangle
\( ABC \) est un triangle rectangle avec une taille d'angle \( ACB \) égale à \( 74^\circ \). Les longueurs des segments de côté \( AM \), \( MQ \) et \( QP \) sont toutes égales. Trouvez la mesure de l'angle \( QPB \).
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Supposons que l'angle droit se trouve en \( B \) (ce qui donne \( \angle ABC = 90^\circ \)). L'angle \( \angle CAB \) dans le triangle rectangle \( \triangle ACB \) est :
\[ \angle CAB = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \]
Puisque les segments \( AM \) et \( MQ \) sont de longueurs égales, le triangle \( \triangle AMQ \) est un triangle isocèle. Par conséquent, ses angles à la base sont égaux :
\[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \]
La somme de tous les angles intérieurs de \( \triangle AMQ \) est de \( 180^\circ \) :
\[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \implies \angle AMQ = 148^\circ \]
L'angle \( \angle QMP \) est supplémentaire à l'angle \( \angle AMQ \) (ils forment une ligne droite sur la base) :
\[ \angle QMP = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \]
Puisque les longueurs \( QM \) et \( QP \) sont égales, le triangle \( \triangle QMP \) est également un triangle isocèle. Par conséquent :
\[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \]
L'angle \( \angle QPB \) est supplémentaire à l'angle \( \angle QPM \) (formant une ligne droite) :
\[ \angle QPB = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]
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Problème 10 : Soustraction d'Aire
Trouvez l'aire de la forme composite donnée.
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L'aire de la forme donnée peut être trouvée facilement en calculant l'aire du grand rectangle englobant et en soustrayant le triangle rectangle « manquant » dans le coin supérieur droit.
Le rectangle englobant complet a des dimensions de \( 20 \text{ cm} \) par \( 15 \text{ cm} \).
Les côtés du triangle rectangle « manquant » (en rouge sur le schéma) sont :
\[ \text{Base} = 20 - 8 = 12 \text{ cm} \]
\[ \text{Hauteur} = 15 - 10 = 5 \text{ cm} \]
Calculez l'Aire :
\[ \text{Aire} = \text{Aire du Rectangle} - \text{Aire du Triangle} \]
\[ \text{Aire} = (20 \times 15) - \left( \dfrac{1}{2} \times 12 \times 5 \right) \]
\[ \text{Aire} = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2 \]
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Problème 11 : Aire Hachurée
Trouvez l'aire de la région hachurée.
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L'aire de la forme hachurée peut être trouvée en soustrayant l'aire du rectangle non hachuré en haut à gauche de l'aire totale du grand rectangle extérieur.
Tout d'abord, trouvez les dimensions du rectangle non hachuré en haut à gauche :
\[ \text{Longueur} = 30 - 8 = 22 \text{ cm} \]
\[ \text{Largeur} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \]
Maintenant, effectuez la soustraction d'aire :
\[ \text{Aire} = \text{Aire du Grand Rectangle} - \text{Aire du Rectangle Non Hachuré} \]
\[ \text{Aire} = (30 \times 15) - (22 \times 11) \]
\[ \text{Aire} = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]
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Problème 12 : Rapport d'un Carré Inscrit
Les sommets du carré inscrit (à l'intérieur) coupent en leur milieu les côtés du deuxième carré (à l'extérieur). Trouvez le rapport de l'aire du carré extérieur à l'aire du carré inscrit.
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Soit \( 2x \) la longueur du côté du grand carré extérieur. Cela signifie que le point milieu du côté le divise en segments de longueur \( x \).
L'aire du grand carré extérieur est :
\[ \text{Aire}_{\text{extérieure}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
Soit \( y \) la longueur du côté du carré inscrit. Son aire est \( y^2 \).
Puisque les sommets coupent les côtés du carré extérieur en leur milieu, ils créent quatre triangles rectangles dans les coins avec une base \( x \) et une hauteur \( x \). Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver \( y^2 \) :
\[ y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \]
Le rapport \( R \) de l'aire du carré extérieur à l'aire du carré intérieur est :
\[ R = \dfrac{\text{Aire}_{\text{extérieure}}}{\text{Aire}_{\text{intérieure}}} = \dfrac{4x^2}{2x^2} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{1} \]
Réponse : Le rapport est de 2:1.