Questions d'Entraînement
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Simplifiez les expressions :
a) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) b) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) c) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) d) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)Voir la Solution Vidéo
Ce problème implique la simplification d'expressions comportant des racines carrées et des radicaux.
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Développez et simplifiez les polynômes ci-dessous :
a) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) b) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)Voir la Solution Vidéo
Ce problème nécessite l'application de la propriété distributive et le regroupement des termes semblables.
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Simplifiez les expressions ci-dessous :
a) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) b) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) c) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)Voir la Solution Vidéo
Appliquez les règles des exposants (règle du produit, règle du quotient et règle de la puissance) pour simplifier.
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Simplifiez les expressions rationnelles :
a) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) b) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) c) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) d) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)Voir la Solution Vidéo
Factorisez les numérateurs et les dénominateurs pour trouver les termes communs qui peuvent être simplifiés.
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Évaluez et simplifiez les expressions pour la ou les valeurs données de la ou des variables :
a) \( \sqrt{x + 6} \), pour \( x = -2 \qquad \) b) \( |x + y - 10| \), pour \( x = -4 \) et \( y = 3 \qquad \) c) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \), pour \( x = -2 \)Voir la Solution Vidéo
Substituez les valeurs données dans les expressions algébriques et simplifiez en utilisant l'ordre des opérations.
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Factorisez les expressions algébriques :
a) \( 4x - 16 \qquad \) b) \( 6x^2 + 2x \qquad \) c) \( x^2 - 9\qquad \) d) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) e) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) f) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)Voir la Solution Vidéo
Trouvez le plus grand facteur commun (PFC) ou utilisez des méthodes telles que le regroupement ou la différence de carrés.
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Résolvez les équations suivantes :
a) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) b) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) c) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)Voir la Solution Vidéo
Isolez la variable en effectuant des opérations inverses des deux côtés de l'équation.
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Résolvez les équations quadratiques suivantes :
a) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
b) \( x(x-1) = 1 \)
c) \( 2x^2 + 6x = 8 \)Voir la Solution Vidéo
Pour les équations quadratiques standard, fixez-les à zéro et factorisez, ou utilisez la formule quadratique.
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Résolvez les équations suivantes :
a) \( \sqrt{x} = 2 \)
b) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
c) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)Voir la Solution Vidéo
Isolez l'expression radicale, puis élevez les deux côtés au carré pour éliminer la racine carrée.
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Résolvez les inéquations suivantes et représentez l'ensemble solution en utilisant des intervalles, des graphiques sur une droite graduée et des symboles d'inégalité :
a) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
b) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
c) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)Voir la Solution Vidéo
N'oubliez pas d'inverser le sens de l'inégalité si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.
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Pour quelle valeur du paramètre \( a \) le point de coordonnées \( (a, 3) \) se trouve-t-il sur la droite dont l'équation est donnée par \( 2x - 3y = 4 \) ?
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Substituez les coordonnées dans l'équation et résolvez pour trouver le paramètre inconnu.
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Quel est le point d'intersection des droites données par les équations \( 2x + y = 5 \) et \( 3x - 2y = 4 \) ?
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Utilisez la méthode de substitution ou d'élimination pour résoudre le système d'équations linéaires.
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Quelle est la pente de chacune des droites données par les équations ?
a) \( 4x = -2y + 4 \)
b) \( 3y = -9 \)
c) \( -5x = 10 \)Voir la Solution Vidéo
Réécrivez chaque équation sous la forme explicite (\( y = mx + b \)) pour identifier la pente (\( m \)).
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Trouvez les abscisses et ordonnées à l'origine, si possible, des droites d'équations :
a) \( -3x = 2y + 6 \)
b) \( 2y = 8 \)
c) \( -3x = 6 \)Voir la Solution Vidéo
Posez \( x = 0 \) pour trouver l'ordonnée à l'origine, et posez \( y = 0 \) pour trouver l'abscisse à l'origine.
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a) Trouvez la valeur du paramètre \( s \) pour que la pente de la droite passant par les points \( (-2 , s) \) et \( (-4, 5) \) soit égale à \( -1 \).
b) Trouvez l'équation de la droite.Voir la Solution Vidéo
Utilisez la formule de la pente : \( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
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Trouvez l'équation de la droite passant par le point \( (-2, 4) \) et perpendiculaire à la droite dont l'équation est donnée par \( -2y + 4x = -2 \).
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Rappelez-vous que les droites perpendiculaires ont des pentes qui sont des inverses négatifs l'une de l'autre.
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Trouvez l'équation de la droite illustrée ci-dessous sachant que la longueur du segment AB est de 3.1, la longueur de BC est de 6.2 et le point \( D \) est sur la droite.
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Utilisez les longueurs données pour calculer la variation verticale sur la variation horizontale (pente), puis déduisez l'équation.
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Laquelle des droites dont les équations sont données ci-dessous a une pente négative ?
a) \( 2x - 2y = 0 \)
b) \( 3x + 6y = 9 \)
c) \( -y = 9 \)
d) \( -y = -x + 3 \)Voir la Solution Vidéo
Convertissez chaque équation au format \( y = mx + b \) pour vérifier le signe de \( m \).
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Dans la figure ci-dessous, un bâtiment a le sommet du premier étage au point C et le sommet du deuxième étage au point D. Les angles d'élévation depuis le point A, situé à une distance de 40 mètres sur le sol, vers les points C et D sont respectivement de \( 14^\circ \) et \( 21^\circ \), et le point B est à la base du bâtiment. Trouvez la hauteur \( DC \) du premier au deuxième étage.
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Utilisez les rapports de tangente dans les deux triangles rectangles pour trouver les hauteurs verticales, puis soustrayez-les.
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La population d'une petite ville a augmenté de 600 habitants en un an. Cela représente une augmentation de 5 % par rapport à l'année précédente. Quelle était la population de la ville l'année précédant cette augmentation ?
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Mettez en place une équation en pourcentage : \( 0.05 \times \text{Original} = 600 \).
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Trouvez l'aire de la forme hachurée sachant que AE est parallèle à CD, qui est le diamètre du demi-cercle. BC est parallèle à ED, qui est perpendiculaire à AE. Toutes les longueurs sont en mm.
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Décomposez la forme complexe en figures géométriques plus simples (rectangles, triangles, demi-cercles) pour calculer l'aire totale.
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Trouvez l'aire d'un hexagone régulier dont le périmètre est de 18 cm.
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Un hexagone régulier est composé de 6 triangles équilatéraux. Utilisez le périmètre pour trouver la longueur du côté.
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Trouvez l'aire hachurée enclose par le quart d'un cercle et un carré dont la diagonale mesure 10 mm.
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Utilisez la diagonale pour trouver la longueur du côté du carré, et interprétez la géométrie pour calculer les soustractions d'aires.
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Le volume du prisme droit est égal à \( 1500 \text{ cm}^3 \).
a) Trouvez la longueur \( L \) du prisme.
b) Trouvez l'aire de la surface totale (latérale et des bases) du prisme.
c) Quel est le coût de fabrication du prisme avec un matériau qui coûte 200 $ par mètre carré ?Voir la Solution Vidéo
Calculez d'abord l'aire de la base, divisez le volume par l'aire de la base pour trouver la longueur \( L \), puis calculez l'aire totale de la surface et le coût.
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Parmi 100 élèves, 70 étudient les mathématiques (dont certains étudient aussi la physique), et 50 étudient la physique (dont certains étudient aussi les mathématiques). En supposant que chaque élève étudie au moins l'une des deux matières :
a) Combien d'élèves sont inscrits à la fois en mathématiques et en physique ?
b) Combien sont inscrits uniquement en mathématiques ?
c) Combien sont inscrits uniquement en physique ?Voir la Solution Étape par Étape
Soit \( M \) l'ensemble des élèves étudiant les mathématiques, et \( P \) l'ensemble des élèves étudiant la physique.
- Nombre total d'élèves : \( n(M \cup P) = 100 \)
- Élèves étudiant les mathématiques : \( n(M) = 70 \)
- Élèves étudiant la physique : \( n(P) = 50 \)
a) Élèves dans les deux matières (\( M \cap P \)) :
Utilisez la formule de la théorie des ensembles :
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)b) Élèves en mathématiques uniquement :
Soustrayez les élèves qui étudient les deux du total des élèves en mathématiques :
\( 70 - 20 = 50 \)c) Élèves en physique uniquement :
Soustrayez les élèves qui étudient les deux du total des élèves en physique :
\( 50 - 20 = 30 \) -
Dans la figure ci-dessous, BC est parallèle à DE. Trouvez l'aire du triangle ADE si l'aire du triangle ABC est égale à \( 30 \text{ cm}^2 \).
Voir la Solution Étape par Étape
Puisque la droite \( BC \) est parallèle à la droite \( DE \), le triangle \( ABC \) et le triangle \( ADE \) sont des triangles semblables.
Lorsque deux triangles sont semblables, le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport de la longueur de leurs côtés correspondants. Soit le rapport des côtés correspondants \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3 \).
La formule d'aire reliant les deux triangles est :
\( \text{Aire}(ADE) = \text{Aire}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Aire}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 \text{ cm}^2 \)
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Un litre d'eau pèse 1 kilogramme et 1 décimètre cube (\( \text{dm}^3 \)) est égal à 1 litre. Quel est le poids de l'eau contenue dans un récipient sous forme de prisme droit rectangulaire dont les dimensions sont de 10 cm, 20 cm et 200 cm ?
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Étape 1 : Trouver le volume en centimètres cubes (\( \text{cm}^3 \)).
Volume \( = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \)
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40,000 \text{ cm}^3 \)Étape 2 : Convertir les centimètres cubes en décimètres cubes (litres).
Nous savons que \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \), donc \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1,000 \text{ cm}^3 \).
\( \text{Volume en litres} = \dfrac{40,000 \text{ cm}^3}{1,000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ litres} \)Étape 3 : Calculer le poids.
Puisque 1 litre pèse 1 kg, le poids de l'eau est :
\( 40 \text{ litres} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
Linda a voyagé à une vitesse moyenne de 65 miles par heure pour aller dans une ville et à une vitesse moyenne de 50 miles par heure pour revenir en empruntant la même route. Elle a conduit pendant un total de 6 heures pour l'aller et le retour. Quelle est la distance entre la maison de Linda et la ville qu'elle a visitée ? (Arrondissez votre réponse au mile près).
Voir la Solution Étape par Étape
Soit \( D \) la distance aller simple vers la ville.
En utilisant la formule \( \text{Temps} = \dfrac{\text{Distance}}{\text{Vitesse}} \) :
Temps à l'aller = \( \dfrac{D}{65} \)
Temps au retour = \( \dfrac{D}{50} \)Le temps total de conduite est de 6 heures, nous posons donc l'équation :
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)Trouvez un dénominateur commun pour 65 et 50. (Le plus petit commun multiple est 650).
Multipliez le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 10, et la seconde par 13 :
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
Multipliez les deux côtés par 650 :
\( 23D = 3900 \)Divisez par 23 :
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169.565 \text{ miles} \)Arrondi au mile près, la distance est de 170 miles.
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Quel nombre réel a son carré égal à la somme de sa moitié et de son tiers ?
Voir la Solution Étape par Étape
Soit \( x \) le nombre réel inconnu.
Traduisez le problème textuel en une équation algébrique :
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)Trouvez un dénominateur commun pour additionner les fractions du côté droit :
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)Rapportez tous les termes du même côté pour fixer l'équation quadratique à zéro :
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)Mettez \( x \) en facteur :
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)Cela donne deux solutions possibles :
\( x = 0 \) ou \( x = \dfrac{5}{6} \)
À la fois 0 et 5/6 sont des nombres réels qui satisfont la condition. -
Le rapport entre les garçons et les filles dans une école est de 6:5. Quel est le rapport entre les garçons et le nombre total d'élèves ?
Voir la Solution Étape par Étape
Le rapport entre les garçons et les filles est de 6:5. Cela signifie que pour chaque groupe de 6 garçons, il y a 5 filles.
Le nombre total de « parts » dans le rapport est la somme des parts de garçons et de filles :
Total des parts = \( 6 + 5 = 11 \)Le rapport des garçons par rapport au nombre total d'élèves est simplement le nombre de parts de garçons divisé par le total des parts :
Rapport = 6:11 -
Il y a 200 balles dans un conteneur. Les balles ont l'une de ces trois couleurs : rouge, bleu et vert. Le rapport des balles bleues aux balles rouges est de 3:10, et le rapport des vertes aux bleues est de 7:3. Combien y a-t-il de balles de chaque couleur ?
Voir la Solution Étape par Étape
Examinons les rapports donnés :
- Bleu : Rouge = 3 : 10
- Vert : Bleu = 7 : 3
Puisque la portion « Bleu » est représentée par le nombre 3 dans les deux rapports, nous pouvons facilement les combiner en un seul rapport continu pour Vert : Bleu : Rouge :
Vert : Bleu : Rouge = 7 : 3 : 10
Additionnez le nombre total de parts dans ce rapport combiné :
Total des parts = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)Divisez le nombre total de balles (200) par le nombre total de parts pour trouver la valeur d'une part :
Valeur d'une part = \( 200 / 20 = 10 \text{ balles} \)Multipliez les chiffres du rapport par la valeur d'une part pour trouver la quantité de chaque couleur :
- Vert : \( 7 \times 10 = 70 \text{ balles} \)
- Bleu : \( 3 \times 10 = 30 \text{ balles} \)
- Rouge : \( 10 \times 10 = 100 \text{ balles} \)