Opérations sur les Monômes : Exemples et Questions d'Entraînement

Cette leçon est conçue pour les élèves de 9e année afin de maîtriser les opérations impliquant des monômes. Un monôme est un terme algébrique unique constitué d'un nombre réel multiplié par des variables élevées à des puissances entières non négatives.

Ci-dessous, vous trouverez des exemples clairs démontrant comment identifier les coefficients, ainsi que la manière d'additionner, soustraire, multiplier et diviser des monômes. Une fois les exemples examinés, testez votre compréhension avec les questions d'entraînement, qui incluent des solutions interactives étape par étape.

1. Comprendre les Coefficients des Monômes

Prenez un nombre, tel que \(-2\), et une variable avec un exposant, tel que \(x^2\), et multipliez-les ensemble : \(-2 \times x^2\). Par souci de simplicité, nous supprimons le symbole de multiplication et l'écrivons sous forme de monôme : \(-2x^2\).

Des exemples de monômes standards incluent : \( x \), \( 2x \), \( 3x^2 \), \( -0.1x \), \( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \), \( -y \).

Définition : Coefficient

Le coefficient d'un monôme est la partie numérique située à l'avant du terme.

Exemple 1 : Identification des Coefficients

2. Additionner et Soustraire des Monômes

Nous pouvons uniquement additionner et soustraire des monômes qui sont des termes semblables (c'est-à-dire qu'ils possèdent exactement les mêmes variables élevées aux mêmes puissances).

Exemple 2 : Addition et Soustraction

a) \( 2x + 4x \)

\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{(mettre en facteur la variable } x\text{)} \\ &= 6x \quad && \text{(additionner les coefficients)} \end{aligned} \]

b) \( 3x^2 - x^2 \)

\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{(mettre en facteur la variable } x^2\text{)} \\ &= 2x^2 \quad && \text{(soustraire les coefficients)} \end{aligned} \]

c) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)

\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{(regrouper les coefficients)} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]

3. Multiplier des Monômes

Règle de Multiplication des Exposants

Vous pouvez multiplier n'importe quels deux monômes ; ils n'ont pas besoin d'être des termes semblables. Utilisez la règle du produit pour les exposants :

\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)

Exemple 3 : Multiplication

a) \( (x)(6x) \)

\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{(regrouper les coefficients et les variables)} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{(appliquer la règle des exposants)} \end{aligned} \]

b) \( (5x^2y)(-y^2x) \)

\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]

4. Diviser des Monômes

Règle de Division des Exposants

Vous pouvez diviser n'importe quels deux monômes tant que le diviseur n'est pas zéro. Utilisez la règle du quotient pour les exposants :

\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)

Exemple 4 : Division

a) \( \dfrac{-x^2}{x} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]

b) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)

\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]

Questions d'Entraînement

Testez vos compétences. Résolvez les problèmes ci-dessous par vous-même, puis cliquez sur « Voir les Solutions Étape par Étape » pour vérifier votre travail.

  1. Déterminez le coefficient de chaque monôme :
    1. \( x^2 \)
    2. \( -2y \)
    3. \( 3xy \)
    4. \( -yx^2 \)
    5. \( yx^3 \)
    6. \( -\dfrac{4}{7}y \)
    7. \( 0.01x^3y \)
    8. \( -\dfrac{xy^3}{4} \)
    Voir les Solutions Étape par Étape
    1. \( x^2 = 1 \cdot x^2 \)  →  Coefficient = 1
    2. \( -2y = -2 \cdot y \)  →  Coefficient = -2
    3. \( 3xy = 3 \cdot xy \)  →  Coefficient = 3
    4. \( -yx^2 = -1 \cdot yx^2 \)  →  Coefficient = -1
    5. \( yx^3 = 1 \cdot yx^3 \)  →  Coefficient = 1
    6. \( -\dfrac{4}{7}y = -\dfrac{4}{7} \cdot y \)  →  Coefficient = \(-\dfrac{4}{7}\)
    7. \( 0.01x^3y = 0.01 \cdot x^3y \)  →  Coefficient = 0.01
    8. \( -\dfrac{xy^3}{4} = -\dfrac{1}{4} \cdot xy^3 \)  →  Coefficient = \(-\dfrac{1}{4}\)
  2. Additionnez et soustrayez les monômes suivants :
    1. \( 2x - 4x + 8x \)
    2. \( -x^2 - 7x^2 \)
    3. \( 3xy - xy + 3yx \)
    4. \( x^2y^2 - y^2x^2 \)
    5. \( x - \dfrac{1}{3}x \)
    Voir les Solutions Étape par Étape
    1. \( (2 - 4 + 8)x = \mathbf{6x} \)
    2. \( (-1 - 7)x^2 = \mathbf{-8x^2} \)
    3. \( (3 - 1 + 3)xy = \mathbf{5xy} \)   (Remarque : \(xy = yx\))
    4. \( (1 - 1)x^2y^2 = 0x^2y^2 = \mathbf{0} \)   (Remarque : \(x^2y^2 = y^2x^2\))
    5. \( \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)x = \left(\dfrac{3}{3} - \dfrac{1}{3}\right)x = \mathbf{\dfrac{2}{3}x} \)
  3. Multipliez les monômes suivants :
    1. \( (-x^2)(-2x) \)
    2. \( (-x^2y)(-y^2x^2) \)
    3. \( \left(-\dfrac{1}{2}x^2\right)(-2x^2) \)
    4. \( (4xy)\left(-\dfrac{3}{4}y^2z\right) \)
    5. \( (-2)\left(-\dfrac{3}{2}x^2y\right) \)
    Voir les Solutions Étape par Étape
    1. \( (-1 \cdot -2)(x^2 \cdot x) = \mathbf{2x^3} \)
    2. \( (-1 \cdot -1)(x^2 \cdot x^2)(y \cdot y^2) = 1 \cdot x^4 \cdot y^3 = \mathbf{x^4y^3} \)
    3. \( \left(-\dfrac{1}{2} \cdot -2\right)(x^2 \cdot x^2) = (1)x^4 = \mathbf{x^4} \)
    4. \( \left(4 \cdot -\dfrac{3}{4}\right)(x)(y \cdot y^2)(z) = \mathbf{-3xy^3z} \)
    5. \( \left(-2 \cdot -\dfrac{3}{2}\right)(x^2y) = \mathbf{3x^2y} \)
  4. Divisez les monômes suivants :
    1. \( \dfrac{x^3}{-x^2} \)
    2. \( \dfrac{-3x^4}{-x^2} \)
    3. \( \dfrac{-5x^3y^3}{15x^2y^2} \)
    4. \( \dfrac{-16x^2y^2z^3}{8x^2y} \)
    5. \( \dfrac{-20xy^2}{-5} \)
    Voir les Solutions Étape par Étape
    1. \( \dfrac{1x^3}{-1x^2} = \left(\dfrac{1}{-1}\right)x^{3-2} = (-1)x^1 = \mathbf{-x} \)
    2. \( \dfrac{-3x^4}{-1x^2} = \left(\dfrac{-3}{-1}\right)x^{4-2} = \mathbf{3x^2} \)
    3. \( \left(\dfrac{-5}{15}\right)\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^3}{y^2}\right) = \mathbf{-\dfrac{1}{3}xy} \)
    4. \( \left(\dfrac{-16}{8}\right)\left(\dfrac{x^2}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^2}{y}\right)(z^3) = -2(1)(y)(z^3) = \mathbf{-2yz^3} \)
    5. \( \left(\dfrac{-20}{-5}\right)xy^2 = \mathbf{4xy^2} \)
  5. Simplifiez et écrivez sous forme de monôme unique si possible :
    1. \( 9x^2y \cdot \dfrac{y^2}{3x^2} \)
    2. \( x^2y \cdot \dfrac{3x}{x^2} \)
    3. \( \dfrac{y}{3x^2} \cdot x^3 \)
    4. \( \dfrac{x^3}{2y^2} \cdot \dfrac{2xy^3}{x^2} \)
    Voir les Solutions Étape par Étape
    1. \( \dfrac{9x^2y \cdot y^2}{3x^2} = \dfrac{9x^2y^3}{3x^2} = \left(\dfrac{9}{3}\right)\left(\dfrac{x^2}{x^2}\right)(y^3) = \mathbf{3y^3} \)
    2. \( \dfrac{x^2y \cdot 3x}{x^2} = \dfrac{3x^3y}{x^2} = 3\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)y = \mathbf{3xy} \)
    3. \( \dfrac{y \cdot x^3}{3x^2} = \dfrac{x^3y}{3x^2} = \left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{x^3}{x^2}\right)y = \mathbf{\dfrac{1}{3}xy} \)
    4. \( \dfrac{x^3 \cdot 2xy^3}{2y^2 \cdot x^2} = \dfrac{2x^4y^3}{2x^2y^2} = \left(\dfrac{2}{2}\right)\left(\dfrac{x^4}{x^2}\right)\left(\dfrac{y^3}{y^2}\right) = \mathbf{x^2y} \)

Liens et Références

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