Problèmes de Mathématiques de 9e Année : Questions et Solutions Étape par Étape

Un concert a vendu 120 billets. Les billets pour étudiants coûtent 8 $ \$ $ et les billets pour adultes coûtent 12 $ \$ $. Les recettes totales se sont élevées à 1 160 $ \$ $. Combien de billets de chaque type ont été vendus ?

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Soit $ x $ le nombre de billets pour étudiants et $ y $ le nombre de billets pour adultes. Utilisez les informations données pour écrire les équations :

\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]

À partir de l'équation (1), isolez $ y $ :

\[ y = 120 - x \]

Substituez cette expression dans l'équation (2) :

\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]

Maintenant, trouvez $ y $ :

\[ y = 120 - 70 = 50 \]

Réponse : 70 billets pour étudiants et 50 billets pour adultes ont été vendus.

Dans un triangle, un angle est trois fois plus grand que le plus petit angle. Le troisième angle mesure $ 20^\circ $ de plus que le plus petit. Trouvez tous les angles.

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Soit $ x $ le plus petit angle. Alors le deuxième angle est $ 3x $, et le troisième angle est $ x + 20 $.

La somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à $ 180^\circ $ :

\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]

Regroupez les termes semblables et résolvez pour $ x $ :

\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]

Trouvez ensuite chaque angle :

Plus petit angle : $ x = 32^\circ $
Deuxième angle : $ 3x = 96^\circ $
Troisième angle : $ x + 20 = 52^\circ $

Étant donné la fonction $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $, trouvez $ f(2) $ et $ f(-1) $.

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Pour trouver $ f(2) $, substituez $ x $ par $ 2 $ dans la fonction :

\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]

Pour trouver $ f(-1) $, substituez $ x $ par $ -1 $ dans la fonction :

\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \]

Un réservoir d'eau cylindrique a un rayon de 3 mètres et une hauteur de 5 mètres. Quelle quantité d'eau peut-il contenir (en mètres cubes) ? Utilisez $ \pi \approx 3.14 $.

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La formule du volume d'un cylindre est $ V = \pi r^2 h $.

\[ \begin{aligned} V &= 3.14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3.14 \times 9 \times 5 \\ &= 3.14 \times 45 \\ &= 141.3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \]

Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de 9 avec deux dés à six faces ?

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Il y a $ 6 \times 6 = 36 $ résultats possibles au total lors du lancement de deux dés.

Les combinaisons qui donnent une somme de 9 sont :

$ (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) $

Puisqu'il y a 4 résultats favorables sur 36 résultats possibles, la probabilité est :

\[ \text{Probabilité} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \]

Résolvez pour $ x $ : $ 2^{x+1} = 32 $

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Tout d'abord, écrivez 32 sous forme de puissance de 2 :

\[ 32 = 2^5 \]

Réécrivez l'équation :

\[ 2^{x+1} = 2^5 \]

Puisque les bases sont les mêmes, nous pouvons poser les exposants égaux entre eux :

\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \]

Une échelle de 13 mètres est appuyée contre un mur. Sa base se trouve à 5 mètres du mur. À quelle hauteur du mur l'échelle atteint-elle ?

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L'échelle, la base et le mur forment un triangle rectangle où l'échelle est l'hypoténuse. Soit $ h $ la hauteur. Appliquez le théorème de Pythagore ($ a^2 + b^2 = c^2 $) :

\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]

Réponse : L'échelle atteint 12 mètres de hauteur sur le mur.

Un distributeur automatique contient uniquement des pièces de 0,25 $ et de 1 $. Il y a 50 pièces au total, d'une valeur de 35 $. Combien y a-t-il de pièces de chaque type ?

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Soit $ x $ le nombre de pièces de 0,25 $ et $ y $ le nombre de pièces de 1 $. Établissez le système d'équations :

\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0.25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]

À partir de l'équation (1), nous obtenons $ y = 50 - x $. Substituez ceci dans l'équation (2) :

\[ \begin{aligned} 0.25x + (50 - x) &= 35 \\ -0.75x + 50 &= 35 \\ -0.75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0.75} = 20 \end{aligned} \]

Trouvez ensuite $ y $ :

\[ y = 50 - 20 = 30 \]

Réponse : Il y a 20 pièces de 0,25 $ et 30 pièces de 1 $.

La somme de trois entiers impairs consécutifs est 123. Quels sont ces nombres ?

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La différence entre deux nombres impairs consécutifs est 2. Soit $ x $ le premier nombre. Le deuxième est $ x + 2 $ et le troisième est $ x + 4 $. Leur somme est 123 :

\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]

Les nombres sont $ x = 39 $, $ x + 2 = 41 $ et $ x + 4 = 43 $.

Réponse : Les nombres sont 39, 41 et 43.

Un jardin rectangulaire a une longueur supérieure de 4 mètres à sa largeur. Son aire est de 96 m². Trouvez les dimensions du jardin.

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Soit $ x $ mètres la largeur. Alors la longueur est de $ x + 4 $ mètres. L'aire est le produit de la longueur par la largeur :

\[ x(x + 4) = 96 \]

Écrivez l'équation quadratique sous forme canonique :

\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]

Cela donne les solutions $ x = 8 $ ou $ x = -12 $. Comme la largeur ne peut pas être négative, nous rejetons $-12$.

Réponse : La largeur est de 8 m et la longueur est de $ 8 + 4 = 12 $ m.

Quel(s) nombre(s) est (sont) égal(aux) à son (leur) carré ?

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Soit $ x $ le nombre. S'il est égal à son carré, nous écrivons l'équation :

\[ x = x^2 \]

Mettez l'équation sous forme canonique et factorisez :

\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]

Réponse : Les solutions sont $ x = 0 $ et $ x = 1 $.

Quel(s) nombre(s) est (sont) égal(aux) à la moitié de son (leur) carré ?

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Soit $ x $ le nombre. Il est égal à la moitié de son carré :

\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]

Égalez à zéro et factorisez :

\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]

Réponse : Les solutions sont $ x = 0 $ et $ x = 2 $.

Une voiture voyage de A à B à une vitesse de 40 mi/h puis revient, en empruntant la même route, de B à A à une vitesse de 60 mi/h. Quelle est la vitesse moyenne pour l'aller-retour ?

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La vitesse moyenne est la distance totale divisée par le temps total. Soit $ x $ la distance aller simple de A à B. La distance totale de l'aller-retour est $ 2x $.

Le temps de l'aller est $ \dfrac{x}{40} $ et le temps du retour est $ \dfrac{x}{60} $. Le temps total $ T $ est :

\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]

Calculez maintenant la vitesse moyenne :

\[ \text{Vitesse Moyenne} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{mi/h} \]

Tom roule à 60 miles par heure pour aller dans une ville voisine et à 50 miles par heure pour revenir en empruntant la même route. Il a conduit pendant un total de 5 heures pour l'aller et le retour. Quelle est la distance entre la maison de Tom et la ville qu'il a visitée ? (Arrondissez votre réponse au mile près).

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Soit $ x $ la distance jusqu'à la ville. Le temps pris pour l'aller est $ \dfrac{x}{60} $ et le temps pour le retour est $ \dfrac{x}{50} $. Le temps total est de 5 heures :

\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]

Multipliez toute l'équation par le dénominateur commun (300) :

\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{miles} \end{aligned} \]

À 11h00, John commence à conduire le long d'une autoroute à une vitesse constante de 50 mi/h. Un quart d'heure plus tard, Jimmy commence à conduire sur la même autoroute dans la même direction que John à une vitesse constante de 65 mi/h. À quelle heure Jimmy rattrapera-t-il John ?

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Soit $ t $ le temps (en heures) pendant lequel John a conduit depuis 11h00. Jimmy commence un quart d'heure (0,25 heure) plus tard, donc son temps de conduite est $ t - 0.25 $.

Lorsque Jimmy rattrape John, leurs distances sont égales :

\[ 50t = 65(t - 0.25) \]

Résolvez pour $ t $ :

\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16.25 \\ -15t &= -16.25 \\ t &= \dfrac{16.25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{heures} \end{aligned} \]

$ \dfrac{65}{60} $ heures équivaut exactement à 1 heure et 5 minutes. En ajoutant cela à l'heure de départ (11h00) :

Réponse : Jimmy rattrape John à 12h05.

Trouvez l'équation de la droite passant par le point $ (-4, 5) $ et perpendiculaire à la droite $ 5x - 3y = 4 $.

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Tout d'abord, trouvez la pente de la droite donnée en la convertissant sous forme explicite ($ y = mx + b $) :

\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

La pente de cette droite est $ \dfrac{5}{3} $. Les droites perpendiculaires ont des pentes qui sont des inverses opposés, donc la pente de notre nouvelle droite est $ m = -\dfrac{3}{5} $.

En utilisant la formule point-pente avec le point $ (-4, 5) $ :

\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]

Multipliez par 5 pour convertir sous forme générale :

\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \]

Un terrain rectangulaire a une aire de 300 mètres carrés et un périmètre de 80 mètres. Quelles sont la longueur et la largeur du terrain ?

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Soient $ L $ et $ W $ la longueur et la largeur. Équations de l'aire et du périmètre :

\[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \]

À partir de l'équation du périmètre, $ W = 40 - L $. Substituez ceci dans l'équation de l'aire :

\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]

Les solutions sont $ L = 30 $ ou $ L = 10 $. En supposant que la longueur est le côté le plus long, $ L = 30 $ m et $ W = 10 $ m.

Un jardin rectangulaire a une longueur de 100 mètres et une largeur de 50 mètres. Une piscine carrée doit être construite à l'intérieur du jardin. Trouvez la longueur d'un côté de la piscine si l'aire restante (non occupée par la piscine) est égale à la moitié de l'aire du jardin rectangulaire.

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Soit $ x $ le côté de la piscine. L'aire de la piscine est $ x^2 $.

Si l'aire restante représente la moitié de l'aire totale, alors la piscine elle-même doit occuper l'autre moitié de l'aire totale. L'aire totale du jardin est $ 100 \times 50 = 5000 $.

\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]

Réponse : Le côté de la piscine mesure 50 mètres.

ABC est un triangle équilatéral dont la longueur du côté est de 50 cm. BH est perpendiculaire à AC. MN est parallèle à AC. Trouvez l'aire du triangle BMN si la longueur de MN est égale à 12 cm.

$Triangle BMN inscrit dans le triangle équilatéral ABC$

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Puisque $ \triangle ABC $ est équilatéral et $ BH \perp AC $, $ H $ est le milieu de $ AC $, donc $ HC = \dfrac{50}{2} = 25 $ cm.

Puisque $ MN \parallel HC $, les triangles $ \triangle BMN $ et $ \triangle BHC $ sont semblables. Le rapport des côtés correspondants est :

\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]

Le rapport des aires de triangles semblables est le carré du rapport de leurs côtés :

\[ \dfrac{\text{Aire de } BMN}{\text{Aire de } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]

Ensuite, trouvez la hauteur $ BH $ en utilisant le théorème de Pythagore dans $ \triangle BHC $ :

\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]

L'aire de $ \triangle BHC $ est :

\[ \text{Aire de } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]

Enfin, trouvez l'aire de $ \triangle BMN $ :

\[ \text{Aire de } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \]

La hauteur de l'eau dans un récipient cylindrique de rayon $ r = 5 $ cm est de 10 cm. Pierre a besoin de mesurer le volume d'une pierre de forme complexe, il met donc la pierre à l'intérieur du récipient. La hauteur de l'eau monte à 13,2 cm. Quel est le volume de la pierre en centimètres cubes ?

$Cylindre avec déplacement d'eau$

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Trouvez le volume initial de l'eau ($ V_1 $) :

\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]

Trouvez le nouveau volume après l'immersion de la pierre ($ V_2 $) :

\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13.2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]

Le volume de la pierre est la différence :

\[ V_{\text{pierre}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]

En utilisant $ \pi \approx 3.14159 $, le volume est d'environ $ 251.3 \; \text{cm}^3 $.

Dans la figure ci-dessous, tous les sommets du carré se trouvent sur le cercle. L'aire du carré est égale à 400 cm². Quelle est l'aire de la forme circulaire ?

$Carré inscrit dans un cercle$

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Le côté $ x $ du carré peut être trouvé en utilisant son aire :

\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{cm} \]

La diagonale $ D $ du carré est égale au diamètre du cercle. Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver $ D $ :

\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]

L'aire du cercle est $ A = \pi r^2 $. Puisque $ r = \dfrac{D}{2} $, nous avons $ r^2 = \dfrac{D^2}{4} $ :

\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{cm}^2 \]

En utilisant $ \pi \approx 3.14 $, l'aire est d'environ $ 628 \; \text{cm}^2 $.

Les nombres 2, 3, 5 et $ x $ ont une moyenne égale à 4. Trouvez $ x $.

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La moyenne est la somme des nombres divisée par leur effectif. Établissez l'équation :

\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]

Résolvez pour $ x $ :

\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \]

Les nombres $ x, y, z $ et $ w $ ont une moyenne égale à 25. La moyenne de $ x, y $ et $ z $ est égale à 27. Trouvez $ w $.

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La moyenne des 4 nombres nous donne leur somme totale :

\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]

La moyenne des 3 nombres nous donne leur somme partielle :

\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]

Substituez cette somme partielle dans la première équation :

\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \]

Trouvez $ x, y, z $ de sorte que les nombres 41, 46, $ x, y, z $ aient une moyenne arithmétique de 50 et un mode de 45.

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La moyenne arithmétique des cinq nombres est 50 :

\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]

Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment. Comme aucun nombre ne se répète encore, au moins deux des variables inconnues doivent être égales à 45. Nous ne pouvons pas avoir $ x = y = z = 45 $ car $ 45 \times 3 = 135 $, ce qui n'est pas égal à 163.

Par conséquent, deux des variables doivent être 45 (disons $ x = y = 45 $) :

\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]

Réponse : Les valeurs sont 45, 45 et 73.

$ A $ est une constante. Trouvez $ A $ tel que l'équation $ 2x + 1 = 2A + 3(x + A) $ ait une solution en $ x = 2 $.

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Substituez $ x = 2 $ dans l'équation donnée :

\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Un litre est égal à 1 décimètre cube ($ \text{dm}^3 $), et 1 litre d'eau pèse 1 kilogramme. Quel est le poids de l'eau contenue dans un récipient cylindrique d'un rayon de 50 centimètres et d'une hauteur de 1 mètre ?

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Tout d'abord, convertissez toutes les unités en décimètres (dm) pour calculer facilement les litres, sachant que 10 cm = 1 dm :

Rayon $ r = 50 $ cm = 5 dm
Hauteur $ h = 1 $ m = 100 cm = 10 dm

Trouvez le volume du cylindre :

\[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5)^2 \times 10 = 3.14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]

Puisque 1 $ \text{dm}^3 $ pèse 1 kg, le poids total est de 785 kg.

Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle. AM est perpendiculaire à BC et MN est perpendiculaire à AC. Trouvez le rapport de l'aire du triangle MNC à l'aire du triangle ABC.

$Triangle rectangle isocèle ABC avec les hauteurs AM et MN$

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Puisque $ \triangle ABC $ est un triangle rectangle isocèle, la hauteur $ AM $ tracée vers l'hypoténuse divise le triangle en deux petits triangles rectangles isocèles congruents : $ \triangle ABM $ et $ \triangle ACM $.

Par conséquent, l'aire de $ \triangle ACM $ est exactement la moitié de l'aire de $ \triangle ABC $.

De même, dans le triangle rectangle isocèle $ \triangle ACM $, la hauteur $ MN $ le divise en deux triangles rectangles isocèles congruents : $ \triangle AMN $ et $ \triangle CMN $.

Ainsi, l'aire de $ \triangle MNC $ est exactement la moitié de l'aire de $ \triangle ACM $.

En combinant ces éléments, l'aire de $ \triangle MNC $ est égale à $ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $ de l'aire de $ \triangle ABC $.

Réponse : Le rapport est de 1:4.

La pompe A peut remplir un réservoir d'eau en 4 heures. La pompe B peut remplir le même réservoir en 6 heures. Les deux pompes sont mises en marche à 8h00 pour remplir le même réservoir vide. Une heure plus tard, la pompe B tombe en panne et met une heure à être réparée avant d'être redémarrée. À quelle heure le réservoir sera-t-il plein ? (Arrondissez votre réponse à la minute près).

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Le débit de remplissage de la pompe A est de $ \dfrac{1}{4} $ de réservoir par heure. Le débit de la pompe B est de $ \dfrac{1}{6} $ de réservoir par heure.

Soit $ t $ le temps total (en heures) pendant lequel la pompe A fonctionne. Comme la pompe B est tombée en panne pendant exactement 1 heure, elle fonctionne pendant $ t - 1 $ heures.

Ensemble, elles remplissent 1 réservoir entier :

\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]

Multipliez l'équation par 12 pour éliminer les fractions :

\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2.8 \; \text{heures} \end{aligned} \]

Convertissez 2,8 heures en heures et minutes :

\[ 0.8 \times 60 = 48 \; \text{minutes} \]

Le temps total est de 2 heures et 48 minutes. En partant de 8h00, le réservoir sera plein à 10h48.

Les droites d'équations $ 2x + y = 2 $ et $ x - 2y = 0 $ sont-elles parallèles, perpendiculaires ou ni l'un ni l'autre ?

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Convertissez chaque équation sous forme explicite ($ y = mx + b $) :

\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{pente } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{pente } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]

Les pentes sont des inverses opposés l'une de l'autre, car leur produit est égal à $-1$ :

\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]

Réponse : Les droites sont perpendiculaires.

Un demi-cercle d'aire $ 50\pi $ cm² est inscrit à l'intérieur d'un rectangle. Le diamètre du demi-cercle coïncide avec la longueur du rectangle. Trouvez l'aire du rectangle.

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Soit $ R $ le rayon du demi-cercle. L'aire du demi-cercle est la moitié de l'aire d'un cercle complet :

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{cm} \end{aligned} \]

Puisque le diamètre du demi-cercle coïncide avec la longueur du rectangle, la longueur $ L = 2R = 20 $ cm.

Puisque le demi-cercle est inscrit, son rayon touche la largeur supérieure du rectangle, donc la largeur $ W = R = 10 $ cm.

Calculez l'aire du rectangle :

\[ \text{Aire} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \; \text{cm}^2 \]

Un triangle a une aire de 200 cm². Deux côtés de ce triangle mesurent respectivement 26 cm et 40 cm. Trouvez la valeur exacte du troisième côté.

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Soient $ a = 26 $, $ b = 40 $ et $ \alpha $ l'angle entre eux. La formule de l'aire d'un triangle est :

\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]

Substituez les valeurs connues pour trouver $ \sin(\alpha) $ :

\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]

En utilisant l'identité $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, trouvez $ \cos(\alpha) $. Comme un angle dans un triangle peut être aigu ou obtus, il y a deux valeurs possibles pour $ \cos(\alpha) $ :

\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]

Maintenant, appliquez la loi des cosinus pour trouver le troisième côté $ c $ :

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]

Calculez les deux possibilités pour $ c^2 $ :

\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]

Réponse : Les deux valeurs exactes possibles pour le troisième côté sont $ 2\sqrt{89} $ cm et $ 2\sqrt{1049} $ cm.

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