Problèmes et solutions étape par étape
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Question 1 : Les superficies, en kilomètres carrés, de certains pays sont données ci-dessous.
USA : 9 629 091, Russie : 17 098 242, Chine : 9 598 094, Canada : 9 984 670, Royaume-Uni : 242 400 et Inde : 3 287 263.
Répondez aux questions suivantes :
a) Lequel de ces pays a la plus petite superficie ?
b) Lequel de ces pays a la plus grande superficie ?
c) Quelle est la différence entre les superficies de la Russie et de la Chine ?
d) Trouvez la superficie totale de tous les pays énumérés ci-dessus ?
e) Classez ces pays de la plus grande à la plus petite superficie ?► Solution de la question 1
a) La plus petite superficie est de 242 400 kilomètres carrés et correspond au Royaume-Uni.
b) La plus grande superficie est de 17 098 242 kilomètres carrés et correspond à la Russie.
c) La différence entre les superficies de la Russie et de la Chine est donnée par
\[ 17,098,242 - 9,598,094 = 7,500,148 \; \text{kilomètres carrés} \]d) La superficie totale des pays énumérés ci-dessus est donnée par
\( 9,629,091 + 17,098,242 + 9,598,094 + 9,984,670 \)
\[ + 242,400 + 3,287,263 = 49,839,760 \; \text{kilomètres carrés} \]e) Nous classons d'abord les superficies de la plus grande à la plus petite :
\[ 17,098,242 \; | \; 9,984,670 \; | \; 9,629,091 \; | \; 9,598,094 \; | \; 3,287,263 \; | \; 242,400 \]
Ce qui correspond aux pays suivants : Russie, Canada, États-Unis, Chine, Inde, Royaume-Uni -
Question 2 : Jim a parcouru 768 miles d'un voyage de 1200 miles. Combien de miles de plus doit-il parcourir pour terminer son voyage ?
► Solution de la question 2
Le nombre de miles à parcourir pour terminer son voyage est donné par
\[ 1200 - 768 = 432 \; \text{miles} \] -
Question 3 : Sofia et Max ont chacun préparé une boisson aux fruits spéciale. Sofia a utilisé \(\dfrac{2}{6}\) d'une bouteille de jus d'orange. Max a utilisé \(\dfrac{1}{3}\) d'une bouteille de jus d'orange.
a) Qui a utilisé le plus de jus d'orange ?
b) Combien de jus d'orange en plus cette personne a-t-elle utilisé ?► Solution de la question 3
Nous comparons Sofia : \(\dfrac{2}{6}\) d'une bouteille et Max : \(\dfrac{1}{3}\) d'une bouteille.
Mettez les dénominateurs au même niveau pour comparer.
La fraction de Max est \(\dfrac{1}{3}\), mais nous pouvons écrire \(\dfrac{1}{3}\) comme une fraction équivalente avec un dénominateur de 6 en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2 :
\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} \]a) Maintenant, les deux fractions sont \(\dfrac{2}{6}\), ils ont donc utilisé la même quantité de jus d'orange.
b) Puisqu'ils ont utilisé la même quantité :
\[ \dfrac{2}{6} - \dfrac{2}{6} = 0 \]
Personne n'en a utilisé plus. La différence est de 0. -
Question 4 : Il y a 123 boîtes de bonbons dans un magasin. Il y a 25 bonbons dans chaque boîte. Combien y a-t-il de bonbons dans le magasin ?
► Solution de la question 4
Pour trouver le nombre de bonbons, nous multiplions 123 par 25
\[ 123 \times 25 = 3075 \; \text{bonbons} \] -
Question 5 : Il y a 365 jours en un an et 100 ans en un siècle. Combien y a-t-il de jours dans un siècle ?
► Solution de la question 5
En 100 ans, soit un siècle, il y a :
\[ 365 \times 100 = 36,500 \; \text{jours} \] -
Question 6 : Billy a lu 2 livres. Il a lu le premier en une semaine à raison de 25 pages par jour. Il a lu le deuxième livre en 12 jours à raison de 23 pages par jour. Quel est le nombre total de pages lues par Billy ?
► Solution de la question 6
Pages lues dans le premier livre en une semaine, soit 7 jours, à raison de 25 pages par jour :
\[ 25 \times 7 = 175 \; \text{pages} \]
Pages lues dans le deuxième livre en 12 jours à raison de 23 pages par jour :
\[ 23 \times 12 = 276 \; \text{pages} \]
Nombre total de pages lues :
\[ 175 + 276 = 451 \; \text{pages} \] -
Question 7 : 123 écolières doivent être transportées dans de petites camionnettes. Chaque camionnette ne peut transporter que 8 filles. Quel est le plus petit nombre possible de camionnettes nécessaires pour transporter toutes les 123 écolières ?
► Solution de la question 7
Pour trouver le nombre de camionnettes, nous divisons 123 par 8.
\[ 123 \div 8 = 15 \; \text{avec un reste de} \; = 3 \]
Donc 15 camionnettes sont nécessaires pour transporter \(15 \times 8 = 120\) filles, et 1 camionnette est nécessaire pour transporter les 3 filles restantes. Un total de 16 camionnettes est nécessaire. -
Question 8 : John avait 100 \( \$ \) pour acheter des boissons et des sandwichs pour sa fête d'anniversaire. Il a acheté 5 petites boîtes de boissons à 4 \( \$ \) la boîte et 8 boîtes de sandwichs à 6 $ la boîte. Combien d'argent lui restait-il après ses achats ?
► Solution de la question 8
Argent dépensé pour les boissons :
\[ 5 \times 4 = \$20 \]
Argent dépensé pour les sandwichs :
\[ 8 \times 6 = \$48 \]
Argent total dépensé :
\[ 20 + 48 = \$68 \]
Argent restant après les achats :
\[ 100 - 68 = \$32 \] -
Question 9 : Tom, Julia, Mike et Fran ont 175 cartes à utiliser dans un certain jeu. Ils ont décidé de les partager équitablement. Combien de cartes chacun doit-il prendre et combien de cartes reste-t-il ?
► Solution de la question 9
Pour savoir combien de cartes chacun doit prendre, divisez 175 par 4 (Tom, Julia, Mike et Fran).
\[ 175 \div 4 = 43 \; \text{avec un reste de} = 3 \]
Chacun doit prendre 43 cartes et il en reste 3. -
Question 10 : Examinez cette suite : 2, 6, 12, 20, 30, ...
Quel est le 7e nombre de cette suite ?► Solution de la question 10
Trouvez les différences entre les nombres successifs :
\[ 6 - 2 = 4 \implies 6 = 2 + 4 \]
\[ 12 - 6 = 6 \implies 12 = 6 + 6 \]
\[ 20 - 12 = 8 \implies 20 = 12 + 8 \]
\[ 30 - 20 = 10 \implies 30 = 20 + 10 \]
La suite est : Ajouter 4, puis 6, puis 8, puis 10, ...
Prochaines différences : 12 et 14
\[ 30 + 12 = 42 \]
\[ 42 + 14 = 56 \]
Le 7e nombre est 56. -
Question 11 : Liam a commandé une grande pizza coupée en 8 parts égales. Il a mangé 3 parts pour le déjeuner. Plus tard, sa sœur Ava a mangé 2 parts.
a) Quelle fraction de la pizza Liam a-t-il mangée ?
b) Quelle fraction Ava a-t-elle mangée ?
c) Quelle fraction de la pizza reste-t-il ?
d) S'ils veulent partager la pizza restante équitablement entre eux, combien de parts chacun aura-t-il ?► Solution de la question 11
a) La pizza entière a 8 parts égales. Liam a mangé **3 parts** sur 8. Donc, la fraction qu'il a mangée est :
\[ \dfrac{3}{8} \]b) Ava a mangé 2 parts sur 8. Donc, la fraction qu'elle a mangée est :
\[ \dfrac{2}{8} \]c) Total mangé = les \(\dfrac{3}{8}\) de Liam + les \(\dfrac{2}{8}\) d'Ava
\[ \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8} \]
Donc, la fraction restante est :
\[ 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8} \]d) Il reste 3 parts. Si Liam et Ava les partagent équitablement, ils auront chacun :
\[ \dfrac{3}{2} = 1 \dfrac{1}{2} \text{ parts} \] -
Question 12 : Le rectangle de gauche et le carré de droite ont le même périmètre. Quelle est la longueur d'un côté du carré ?
► Solution de la question 12
Le périmètre P du rectangle est égal à :
\[ P_1 = 15 + 25 + 15 + 25 = 80 \]
Le périmètre du carré est égal au périmètre du rectangle et est donc égal à 80. Le carré a 4 côtés de longueurs égales et son périmètre \(P_2\) est donné par :
\[ P_2 = 4 \times \text{longueur d'un côté} \]
\[ 80 = 4 \times 20 \]
La longueur d'un côté est donc égale à 20 unités. -
Question 13 : Il y a 123 boîtes de bonbons dans un magasin. Chaque boîte contient 25 bonbons.
La propriétaire du magasin veut faire des paquets cadeaux spéciaux en utilisant une partie des bonbons des boîtes. Elle décide d'utiliser 1 bonbon sur 5 pour les paquets cadeaux. Le reste des bonbons reste dans les boîtes.
a) Combien de bonbons sont utilisés pour faire les paquets cadeaux ?
b) Combien de bonbons restent dans les boîtes ?
c) Environ combien de boîtes de bonbons sont nécessaires pour faire les paquets cadeaux ?► Solution de la question 13
a) Le nombre total de bonbons est :
\[ 123 \times 25 = 3075 \; \text{bonbons} \]
Le nombre de bonbons utilisés pour les paquets cadeaux (1 sur 5) est :
\[ \dfrac{1}{5} \times 3075 = 3075 \div 5 = 615 \; \text{bonbons} \]b) Nombre de bonbons restant dans les boîtes :
\[ 3075 - 615 = 2460 \; \text{bonbons} \]c) Nombre de boîtes utilisées pour les paquets cadeaux :
Chaque boîte contient 25 bonbons, donc :
\[ 615 \div 25 = 24.6 \; \text{boîtes} \]
Puisque nous ne pouvons pas utiliser une partie de boîte sans l'ouvrir, nous arrondissons 24.6 à 25 et disons :
Environ 25 boîtes de bonbons sont utilisées pour faire les paquets cadeaux. -
Question 14 : Il y a 365 jours en un an et 100 ans en un siècle. En ignorant les années bissextiles, combien y a-t-il de semaines dans un siècle ?
► Solution de la question 14
Le nombre total de jours dans un siècle (en ignorant les années bissextiles) est :
\[ 100 \times 365 = 36,500 \text{ jours} \]
Il y a 7 jours dans une semaine, donc le nombre de semaines dans un siècle est :
\[ 36,500 \div 7 = 5,214 \text{ semaines et } 2 \text{ jours} \]
Il y a 5 214 semaines complètes et 2 jours supplémentaires dans un siècle (si l'on ignore les années bissextiles). -
Question 15 : Billy a lu 2 livres. Il a lu le premier en une semaine à raison de 25 pages par jour. Il a lu le deuxième livre en 12 jours à raison de 23 pages par jour. Quel est le nombre total de pages lues par Billy ?
► Solution de la question 15
Une semaine compte 7 jours. Billy a lu le premier livre en une semaine à raison de 25 pages par jour. Le total des pages du premier livre :
\[ 25 \times 7 = 175 \text{ pages} \]
Billy a lu le deuxième livre en 12 jours à raison de 23 pages par jour. Le total des pages du deuxième livre :
\[ 23 \times 12 = 276 \text{ pages} \]
Nombre total de pages lues :
\[ 175 + 276 = 451 \text{ pages} \] -
Question 16 : Emma utilise du sucre d'un sac. Le matin, elle a utilisé \(\dfrac{1}{8}\) du sac. L'après-midi, elle a utilisé la moitié de ce qui restait.
a) Quelle fraction du sac de sucre Emma a-t-elle utilisée l'après-midi ?
b) Quelle quantité de sucre a-t-elle utilisée au total ?
c) Quelle fraction du sac reste-t-il ?► Solution de la question 16
a) Emma a utilisé \( \dfrac{1}{8} \) le matin, donc la quantité restante après le matin est :
\[ 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} \]
Emma a utilisé la moitié de ce qui restait, et ce qui restait était \(\dfrac{7}{8}\) :
\[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{1 \times 7}{2 \times 8} = \dfrac{7}{16} \]
L'après-midi, elle a donc utilisé \(\dfrac{7}{16}\) du sac.b) Emma a utilisé \(\dfrac{1}{8}\) le matin et \(\dfrac{7}{16}\) l'après-midi :
Total \(T\) utilisé :
\[ T = \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{16} \]
Nous convertissons \(\dfrac{1}{8}\) en une fraction avec le dénominateur 16 :
\[ \dfrac{1}{8} = \dfrac{1 \times 2}{8 \times 2} = \dfrac{2}{16} \]
Substitution et addition :
\[ T = \dfrac{2}{16} + \dfrac{7}{16} = \dfrac{9}{16} \]
Un total de \(\dfrac{9}{16}\) du sac a été utilisé.c) La fraction du sac restante est :
\[ 1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{9}{16} = \dfrac{16 - 9}{16} = \dfrac{7}{16} \]
Il reste \(\dfrac{7}{16}\) du sac de sucre. -
Question 17 : John avait 100 $ pour acheter des boissons et des sandwichs pour sa fête d'anniversaire. Il a acheté 5 petites boîtes de boissons à 4 $ la boîte et 8 boîtes de sandwichs à 6 $ la boîte. Combien d'argent lui restait-il après ses achats ?
► Solution de la question 17
Argent dépensé pour les boissons :
\[ 5 \times 4 = \$20 \]
Argent dépensé pour les sandwichs :
\[ 8 \times 6 = \$48 \]
Argent total dépensé :
\[ 20 + 48 = \$68 \]
Argent restant après les achats :
\[ 100 - 68 = \$32 \]
John avait 32 $ restants après les achats. -
Question 18 : 55 ouvriers d'une usine produisent 5 500 jouets par semaine. Si les ouvriers de cette usine travaillent 4 jours par semaine et qu'ils produisent le même nombre de jouets chaque jour, combien de jouets sont produits chaque jour par chaque ouvrier ?
► Solution de la question 18
Pour trouver le nombre de jouets produits chaque jour, divisez le nombre total de jouets produits en une semaine par le nombre de jours de travail, soit 4 :
\[ \dfrac{5500}{4} = 1375 \text{ jouets} \]
1375 jouets sont produits chaque jour par 55 ouvriers, donc chaque ouvrier produit :
\[ 1375 \div 55 = 25 \]
Chaque ouvrier produit 25 jouets par jour. -
Question 19 : Tom, Julia, Mike et Fran ont 175 cartes à utiliser dans un certain jeu. Ils ont décidé de les partager équitablement. Combien de cartes chacun doit-il prendre et combien de cartes reste-t-il ?
► Solution de la question 19
Pour trouver combien de cartes chaque personne doit prendre, divisez 175 par 4 (puisqu'il y a 4 personnes) :
\[ 175 \div 4 = 43 \text{ Reste } 3 \]
Chaque personne doit prendre 43 cartes, et il restera 3 cartes. -
Question 20 : La forme ombrée est constituée de 5 carrés congruents. Le côté d'un carré est de 4 cm. Trouvez l'aire totale de la forme ombrée.
► Solution de la question 20
L'aire d'un carré est égale à :
\[ 4 \times 4 = 16 \; \text{centimètres carrés} \]
La forme entière comporte 5 carrés. L'aire totale est :
\[ 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80 \; \text{centimètres carrés} \]
ou \[ 16 \times 5 = 80 \; \text{centimètres carrés} \] -
Question 21 : Sam, Carla et Sarah ont passé un après-midi à ramasser des coquillages. Sam en a ramassé 11. Si nous additionnons le nombre de coquillages ramassés par Sam et Carla, le total est de 24. Si nous additionnons le nombre de coquillages ramassés par Carla et Sarah, le total est de 25 coquillages. Combien de coquillages chacun a-t-il ramassés ?
► Solution de la question 21
Sam = 11 coquillages
Sam + Carla = 24 coquillages
Donc pour trouver combien Carla en a ramassé :
\[ \text{Carla} = 24 - \text{Sam} = 24 - 11 = 13 \]
Carla + Sarah = 25 coquillages
Nous venons de trouver que Carla en a ramassé 13, donc :
\[ \text{Sarah} = 25 - \text{Carla} = 25 - 13 = 12 \]
Sam a ramassé 11 coquillages, Carla a ramassé 13 coquillages et Sarah a ramassé 12 coquillages. -
Question 22 : M. Joshua court 6 kilomètres chaque jour du lundi au vendredi. Il court également 12 kilomètres par jour le samedi et le dimanche. Combien de kilomètres Joshua court-il en une semaine ?
► Solution de la question 22
Du lundi au vendredi, il y a 5 jours. Il court 6 kilomètres chaque jour :
\[ 6 \times 5 = 30 \text{ kilomètres} \]
Le samedi et le dimanche, il y a 2 jours. Il court 12 kilomètres chaque jour :
\[ 12 \times 2 = 24 \text{ kilomètres} \]
Total des kilomètres courus en une semaine :
\[ 30 + 24 = 54 \text{ kilomètres} \]
M. Joshua court 54 kilomètres en une semaine. -
Question 23 : Tom et Bob sont frères et ils avaient chacun la même somme d'argent qu'ils ont mise ensemble pour acheter un jouet. Le coût du jouet était de 22 \( \$ \). Si le caissier leur a rendu 6 $ de monnaie, combien d'argent chacun avait-il ?
► Solution de la question 23
Tout d'abord, trouvez la somme totale d'argent qu'ils avaient ensemble. Ils ont acheté un jouet pour 22 \( \$ \) et ont récupéré 6 \( \$ \) :
\[ 22 + 6 = 28 \]
Ils avaient donc 28 \( \$ \) ensemble.
Puisqu'ils avaient la même somme, divisez 28 par 2 :
\[ 28 \div 2 = 14 \]
Chacun d'eux avait 14 \( \$ \). -
Question 24 : John a 5 boîtes de bonbons. Un groupe de boîtes contient 5 bonbons dans chaque boîte. Le deuxième groupe de boîtes contient 4 bonbons dans chaque boîte. John a un total de 22 bonbons. Combien de boîtes de chaque type John a-t-il ?
► Solution de la question 24
Deux méthodes sont présentées pour résoudre ce problème. Si vous n'avez pas fait d'algèbre, la méthode du tableau vous convient. Si vous connaissez l'algèbre et la résolution d'équations, les deux méthodes vous conviennent.
Méthode par tableau
Nous pouvons créer un tableau pour tester différents nombres de boîtes avec 5 bonbons et voir combien de boîtes avec 4 bonbons sont nécessaires pour atteindre un total de 22 bonbons.
Remarque : Le nombre total de boîtes est 5, donc une fois que le « Nombre de boîtes avec 5 bonbons » est sélectionné dans la première colonne à gauche, le « Nombre de boîtes avec 4 bonbons » est égal à 5 - « Nombre de boîtes avec 5 bonbons ».Nombre de boîtes avec 5 bonbons Nombre de boîtes avec 4 bonbons Total des bonbons 0 5 - 0 = 5 \( 0 \times 5 + 5 \times 4 = 20 \) 1 5 - 1 = 4 \(1 \times 5 + 4 \times 4 = 21 \) 2 5 - 2 = 3 \( \color{red}{2 \times 5 + 3 \times 4 = 22} \) 3 5 - 3 = 2 \(3 \times 5 + 2 \times 4 = 23 \) 4 5 - 4 = 1 \(4 \times 5 + 1 \times 4 = 24 \) 5 5 - 5 = 0 \(5 \times 5 + 0 \times 4 = 25\) D'après le tableau, nous pouvons voir que lorsque John a 2 boîtes de 5 bonbons et 3 boîtes de 4 bonbons, le nombre total de bonbons est exactement 22.
Méthode algébrique
Soit \( x \) le nombre de boîtes de 5 bonbons chacune. Il doit alors avoir \( 5 - x \) boîtes de 4 bonbons chacune.
Équation du total des bonbons :
\[ 5x + 4(5 - x) = 22 \]
\[ 5x + 20 - 4x = 22 \]
\[ x + 20 = 22 \]
\[ x = 2 \]
Ainsi, John a 2 boîtes de 5 bonbons chacune et \( 5 - x = 3 \) boîtes de 4 bonbons chacune. -
Question 25 : Il y a un total de 16 poulets et lapins dans une ferme. Le nombre total de pattes (poulets et lapins) est égal à 50. Combien y a-t-il de poulets et combien de lapins ? (Indice : utilisez un tableau)
► Solution de la question 25
Soit \( C \) le nombre de poulets et \( R \) le nombre de lapins.
Le nombre total d'animaux est 16 : \( C + R = 16 \).
Les poulets ont 2 pattes chacun et les lapins ont 4 pattes chacun. Total des pattes = 50 : \( 2C + 4R = 50 \).Poulets (C) Lapins (R) Total des pattes = 2C + 4R 0 16 \(2 \times 0 + 4 \times 16 = 64\) 1 15 \(2 \times 1 + 4 \times 15 = 62\) 2 14 \( 2 \times 2 + 4 \times 14 = 60 \) 3 13 \( 2 \times 3 + 4 \times 13 = 58 \) 4 12 \( 2 \times 4 + 4 \times 12 = 56 \) 5 11 \(2 \times 5 + 4 \times 11 = 54\) 6 10 \(2 \times 6 + 4 \times 10 = 52\) 7 9 \(\color{red}{ 2 \times 7 + 4 \times 9 = 50 \quad \text{(Bonne réponse)}}\) Ainsi, il y a 7 poulets et 9 lapins dans la ferme.
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Question 26 : Il y a 4 poulets de plus que de lapins dans une ferme. Le nombre total de pattes (poulets et lapins) est égal à 44. Combien y a-t-il de poulets et combien de lapins ?
► Solution de la question 26
Méthode algébrique
Soit \( R \) le nombre de lapins et \( C \) celui des poulets.
\( C = R + 4 \)
Total des pattes : \( 2C + 4R = 44 \)
Remplacez \( C \) :
\[ 2(R + 4) + 4R = 44 \]
\[ 2R + 8 + 4R = 44 \]
\[ 6R + 8 = 44 \implies 6R = 36 \implies R = 6 \]
\( C = 6 + 4 = 10 \). Il y a donc 10 poulets et 6 lapins.Méthode par tableau
Lapins (R) Poulets (C = R + 4) Total des pattes = 2C + 4R 0 4 \(2 \times 4 + 4 \times 0 = 8\) 1 5 \(2 \times 5 + 4 \times 1 = 14\) 2 6 \(2 \times 6 + 4 \times 2 = 20\) 3 7 \(2 \times 7 + 4 \times 3 = 26\) 4 8 \(2 \times 8 + 4 \times 4 = 32\) 5 9 \(2 \times 9 + 4 \times 5 = 38\) 6 10 \(\color{red}{2 \times 10 + 4 \times 6 = 44 \quad \text{(Bonne réponse)}}\) Il y a donc 10 poulets et 6 lapins.