Apprenez à trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) et le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des entiers avec des exemples étape par étape et des questions d'entraînement avec réponses. Utilisez nos calculateurs interactifs ci-dessous pour vérifier vos réponses :
- Calculateur du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) – Calculez le PPCM de deux entiers positifs.
- Calculateur du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) – Calculez le PGCD de deux entiers positifs.
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A - Trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux nombres
Méthode 1 :
Exemple 1 : Trouver le PPCM de 6 et 4 en listant les multiples.
Trouvez les premiers multiples de 6 et 4 :
6 : 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4 : 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
Le plus petit multiple commun à la fois à 6 et à 4 est 12. Ainsi, le PPCM de 6 et 4 est 12.
Remarque : Cette méthode fonctionne mieux pour les petits nombres.
Méthode 2 :
Trouvez le PPCM en utilisant la décomposition en facteurs premiers. La décomposition en facteurs premiers utilise les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, ...) pour factoriser un entier.
Exemples de décomposition en facteurs premiers :
\(4 = 2 \times 2\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
Exemple 2 : Trouver le PPCM de 6 et 4 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
Trouvez la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre :
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Multiplication des formes factorisées :
\(6 \times 4 = (\underline{2} \times 3) \times (\underline{2} \times 2)\)
Puisque le facteur \(\underline{2}\) est compté deux fois, retirez-le d'un terme pour obtenir le plus petit commun multiple :
\(\text{PPCM} = 3 \times (2 \times 2) = 12\).
Exemple 3 : Trouver le PPCM de 20 et 24 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
Le produit sous forme factorisée est \((\underline{2} \times \underline{2} \times 5) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3)\).
En retirant les facteurs dupliqués \(\underline{2} \times \underline{2}\) d'un terme, on obtient :
\(\text{PPCM} = (5) \times (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 120\).
Exemple 4 : Trouver le PPCM de 1240 et 5300 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
En retirant les facteurs dupliqués \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5}\) d'un terme, on obtient :
\(\text{PPCM} = (2 \times 31) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53) = 328,600\).
B - Trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres
Exemple 5 : Trouver le PGCD de 6 et 4 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Le nombre 2 est le plus grand facteur commun partagé par 6 et 4. Ainsi, \(\text{PGCD} = 2\).
Exemple 6 : Trouver le PGCD de 20 et 24 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
\(20 = \underline{2} \times \underline{2} \times 5\)
\(24 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3\)
Le PGCD est le produit de tous les facteurs communs : \(\underline{2} \times \underline{2} = 4\).
Exemple 7 : Trouver le PGCD de 1240 et 5300 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
Le PGCD est donné par \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} = 20\).
C - Relation entre le PPCM et le PGCD de deux nombres
Le tableau ci-dessous illustre que le produit de deux nombres entiers quelconques est égal au produit de leur PPCM et de leur PGCD.
| \((m , n)\) | \(\text{PPCM}(m,n)\) | \(\text{PGCD}(m,n)\) | \(\text{PPCM}(m,n) \times \text{PGCD}(m,n)\) | \(m \times n\) |
|---|---|---|---|---|
| \((4 , 6)\) | 12 | 2 | \(12 \times 2 = 24\) | \(4 \times 6 = 24\) |
| \((20 , 24)\) | 120 | 4 | \(120 \times 4 = 480\) | \(20 \times 24 = 480\) |
Propriété clé : Pour tous entiers \(m\) et \(n\) :
\(m \times n = \text{PPCM}(m,n) \times \text{PGCD}(m,n)\)
Questions et solutions étape par étape
Trouvez le PPCM et le PGCD de chaque paire de nombres et vérifiez que leur produit est égal au produit de leur PPCM et de leur PGCD.
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Question A : 21 et 14
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Explication :
- Décomposition en facteurs premiers : \(21 = 3 \times 7\) et \(14 = 2 \times 7\).
- PGCD : Le facteur commun est 7. Ainsi, \(\text{PGCD} = 7\).
- PPCM : \(2 \times 3 \times 7 = 42\). Ainsi, \(\text{PPCM} = 42\).
- Vérification : \(\text{PGCD} \times \text{PPCM} = 7 \times 42 = 294\) et \(21 \times 14 = 294\).
Réponse : \(\text{PGCD} = 7\), \(\text{PPCM} = 42\)
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Question B : 45 et 55
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Explication :
- Décomposition en facteurs premiers : \(45 = 3^2 \times 5\) et \(55 = 5 \times 11\).
- PGCD : Le facteur commun est 5. Ainsi, \(\text{PGCD} = 5\).
- PPCM : \(3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495\). Ainsi, \(\text{PPCM} = 495\).
- Vérification : \(\text{PGCD} \times \text{PPCM} = 5 \times 495 = 2475\) et \(45 \times 55 = 2475\).
Réponse : \(\text{PGCD} = 5\), \(\text{PPCM} = 495\)
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Question C : 120 et 248
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Explication :
- Décomposition en facteurs premiers : \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) et \(248 = 2^3 \times 31\).
- PGCD : Le facteur commun est \(2^3 = 8\). Ainsi, \(\text{PGCD} = 8\).
- PPCM : \(2^3 \times 3 \times 5 \times 31 = 3720\). Ainsi, \(\text{PPCM} = 3720\).
- Vérification : \(\text{PGCD} \times \text{PPCM} = 8 \times 3720 = 29760\) et \(120 \times 248 = 29760\).
Réponse : \(\text{PGCD} = 8\), \(\text{PPCM} = 3720\)