Des problèmes textuels de 5e année et des problèmes sur les régularités, l'addition et la soustraction de temps, le temps-distance-vitesse, les fractions et nombres mixtes, les rapports, les pourcentages, ainsi que l'aire et le volume des rectangles et carrés sont présentés avec des solutions détaillées étape par étape et des explications.
Problèmes et solutions étape par étape
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Question 1 : Sarah a préparé un gâteau et l'a coupé en 8 parts égales. Elle a mangé 3 parts, et son ami Jake en a mangé 1. Quelle fraction du gâteau reste-t-il ? Simplifiez la fraction si possible.
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Nombre total de parts = 8
Parts mangées = 3 (Sarah) + 1 (Jake) = 4
Parts restantes = \(8 - 4 = 4\)
\[ \text{La fraction restante} = \dfrac{4}{8} \]
Divisez le numérateur et le dénominateur par 4 :
\[ \text{La fraction restante} = \dfrac{4 \div 4}{8 \div 4} = \dfrac{1}{2} \] -
Question 2 : Une librairie vend des livres à 15 $ chacun. Si un client achète 3 livres et obtient ensuite un rabais de 25 % sur le prix total, combien le client paiera-t-il au total ?
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Prix total avant rabais : \[ 3 \times 15 = 45 \; \text{dollars} \]
Rabais total : \[ 25\% \; \text{de} \; 45 = \dfrac{25}{100} \times 45 = 0,25 \times 45 = 11,25 \; \text{dollars} \]
Prix total après rabais : \[ 45 - 11,25 = 33,75 \; \text{dollars} \]
Le client paiera 33,75 $. -
Question 3 : Les quatre premiers nombres d'une suite sont 3, 6, 12, 24. Expliquez la régularité et trouvez le 7e nombre de la suite.
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La suite commence par 3 et chaque nombre est ensuite multiplié par 2 pour obtenir le nombre suivant.
- 1er : 3
- 2e : \(3 \times 2 = 6\)
- 3e : \(6 \times 2 = 12\)
- 4e : \(12 \times 2 = 24\)
- 5e : \(24 \times 2 = 48\)
- 6e : \(48 \times 2 = 96\)
- 7e : \(96 \times 2 = 192\)
Le 7e nombre de la suite est 192. -
Question 4 : Il faut 25 minutes à John pour marcher jusqu'au parking et 45 minutes pour conduire jusqu'au travail. À quelle heure doit-il sortir de chez lui pour arriver au travail à 9h00 ?
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Le temps nécessaire à John pour se rendre au travail est la somme du temps de marche vers le parking et du temps de conduite :
\[ \text{Temps total} = 25 + 45 = 70 \text{ minutes} \]
Puisque \(70 \text{ minutes} = 60 \text{ minutes} + 10 \text{ minutes} = 1 \text{ heure et } 10 \text{ minutes}\).
John doit quitter la maison 1 heure et 10 minutes avant 9h00 :
\[ 9:00 - 1:10 = 7:50 \text{ a.m.} \]
John devrait quitter la maison à 7h50. -
Question 5 : Kim peut marcher 4 kilomètres en une heure. Combien de temps faut-il à Kim pour marcher 18 kilomètres ?
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Le temps pour marcher 18 km est :
\[ \dfrac{18}{4} = 4,5 = 4 + \dfrac{1}{2} \]
Il faut à Kim 4,5 heures (ou 4 heures et 30 minutes) pour marcher 18 kilomètres. -
Question 6 : Une usine a produit 2 300 téléviseurs au cours de sa première année de production. 4 500 téléviseurs ont été produits la deuxième année, et 500 de plus la troisième année que la deuxième année. Combien de téléviseurs ont été produits en trois ans ?
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Nombre de téléviseurs produits la troisième année :
\[ 4500 + 500 = 5000 \]
Nombre total de téléviseurs produits en trois ans :
\[ 2300 + 4500 + 5000 = 11800 \]
Conclusion : 11 800 téléviseurs ont été produits sur 3 ans. -
Question 7 : Tom et Bob ont un total de 49 jouets. Si Bob a 5 jouets de plus que Tom, combien de jouets chacun a-t-il ?
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Si l'on retire 5 jouets des 49 jouets et que l'on partage le reste équitablement entre Tom et Bob :
\[ 49 - 5 = 44 \]
Chacun aura :
\[ \dfrac{44}{2} = 22 \text{ jouets} \]
Bob a 5 jouets de plus que Tom, donc Bob a :
\[ 22 + 5 = 27 \text{ jouets} \]
Tom a 22 jouets et Bob a 27 jouets. -
Question 8 : John peut manger un quart de pizza en une minute. Combien de temps faut-il à John pour manger une pizza et demie ?
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Méthode 1 : Il y a 4 quarts dans une pizza entière, et 2 quarts dans une demi-pizza. Total des quarts : \(4 + 2 = 6\) quarts.
À raison d'une minute par quart : \(6 \times 1 = 6\) minutes.Méthode 2 : Une pizza et demie équivaut à \(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\).
En divisant par un quart (\(\dfrac{1}{4}\)) :
\[ \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{1} = 6 \text{ quarts} \]
John a besoin de \(6 \times 1 = 6\) minutes. -
Question 9 : John a lu pendant un quart du temps où Tom a lu. Tom n'a lu que pendant les deux cinquièmes du temps où Sasha a lu. Sasha a lu deux fois plus longtemps que Mike. Si Mike a lu pendant 5 heures, combien de temps John a-t-il lu ?
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- Mike a lu 5 heures.
- Sasha a lu deux fois plus longtemps que Mike : \(2 \times 5 = 10\) heures.
- Tom a lu deux cinquièmes du temps de Sasha : \(\dfrac{2}{5} \times 10 = 4\) heures.
- John a lu un quart du temps de Tom : \(\dfrac{1}{4} \times 4 = 1\) heure.
Conclusion : John a lu pendant 1 heure. -
Question 10 : Jim, Carla et Tomy sont membres de la même famille. Carla a 5 ans de plus que Jim. Tomy a 6 ans de plus que Carla. La somme de leurs trois âges est de 31 ans. Quel est l'âge de chacun d'eux ?
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Méthode algébrique :
Soit \(x\) l'âge de Jim. L'âge de Carla est \(x + 5\), et l'âge de Tomy est \((x + 5) + 6 = x + 11\).
La somme des âges est 31 :
\[ x + (x + 5) + (x + 11) = 31 \implies 3x + 16 = 31 \implies 3x = 15 \implies x = 5 \]
Jim a 5 ans, Carla a \(5 + 5 = 10\) ans, et Tomy a \(10 + 6 = 16\) ans.Méthode par tableau :
Âge de Jim Âge de Carla Âge de Tomy La somme de tous les âges 1 6 12 19 2 7 13 22 3 8 14 25 4 9 15 28 5 10 16 \(\color{red}{31 \text{ (Correct)}}\) -
Question 11 : Mel avait 35,00 $ et a retiré un peu plus d'argent de son compte bancaire. Il a acheté un pantalon à 34,00 $, deux chemises à 16,00 $ chacune et deux paires de chaussures à 24,00 $ chacune. Après ses achats, il lui restait 32,00 $. Combien d'argent Mel a-t-il retiré de la banque ?
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Mel a dépensé :
- Pantalon : 34,00 $
- Chemises : \(2 \times 16,00 = 32,00 \$\)
- Chaussures : \(2 \times 24,00 = 48,00 \$\)
Total dépensé : \(34,00 + 32,00 + 48,00 = 114,00 \$\).
Total d'argent avant les achats (dépensé + restant) : \(114,00 + 32,00 = 146,00 \$\).
Soustrayez les 35,00 $ initiaux pour trouver le montant retiré : \[ 146,00 - 35,00 = 111,00 \$ \]. -
Question 12 : Combien y a-t-il de minutes dans une semaine ?
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1 semaine = 7 jours
1 jour = 24 heures
1 heure = 60 minutes
\[ 7 \times 24 \times 60 = 10080 \text{ minutes} \] -
Question 13 : Dans la maison de Tim, une piscine rectangulaire dont la longueur est de 30 mètres et la largeur de 10 mètres est entourée de gazon. La piscine et la zone gazonnée forment un grand rectangle dont la longueur est de 50 mètres et la largeur de 20 mètres. Quelle est l'aire occupée par le gazon ?
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Aire du grand rectangle (piscine et gazon) = \(50 \times 20 = 1000 \text{ m}^2\).
Aire de la piscine = \(30 \times 10 = 300 \text{ m}^2\).
Aire du gazon = \(1000 - 300 = 700 \text{ m}^2\). -
Question 14 : Mary veut fabriquer une boîte. Elle commence avec un morceau de carton dont la longueur est de 15 centimètres et la largeur de 10 centimètres. Ensuite, elle découpe des carrés congruents de 3 centimètres de côté à chacun des quatre coins. Quelle est l'aire du carton après qu'elle a découpé les 4 coins ?
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Aire totale avant la découpe = \(15 \times 10 = 150 \text{ cm}^2\).
Aire d'un carré de coin = \(3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2\).
Aire totale des 4 coins = \(4 \times 9 = 36 \text{ cm}^2\).
Aire restante = \(150 - 36 = 114 \text{ cm}^2\). -
Question 15 : Un peintre facture 225,00 $ pour les matériaux et 35,00 $ de l'heure pour la main-d'œuvre. Le coût total de la peinture d'un bureau est de 330,00 $. Combien d'heures a-t-il fallu au peintre pour peindre le bureau ?
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Coût de la main-d'œuvre = Coût total - Coût des matériaux = \(330,00 - 225,00 = 105,00 \$\).
Nombre d'heures = \(105,00 \div 35 = 3 \text{ heures}\). -
Question 16 : Trois voitures jouets et 4 trains jouets coûtent 18 $. Deux voitures jouets et 3 trains jouets coûtent 13 $. Quel est le prix d'une voiture jouet et le prix d'un train jouet si les deux prix sont des nombres entiers de dollars ?
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Méthode par tableau :
Estimation du prix de 1 voiture Estimation du prix de 1 train 3 voitures + 4 trains (18 $ ?) 2 voitures + 3 trains (13 $ ?) 1 1 \(3(1)+4(1) = 7\) - 1 2 \(3(1)+4(2) = 11\) - 1 3 \(3(1)+4(3) = 15\) - 1 4 \(3(1)+4(4) = 19\) - 2 1 \(3(2)+4(1) = 10\) - 2 2 \(3(2)+4(2) = 14\) - 2 3 \(3(2)+4(3) = 18\) \(\color{red}{2(2)+3(3) = 13 \text{ (Correct)}}\) Méthode algébrique :
Soit \(x\) le prix d'une voiture et \(y\) le prix d'un train :
\(3x + 4y = 18\)
\(2x + 3y = 13\)
La résolution du système donne \(x = 2 \$\) et \(y = 3 \$\). -
Question 17 : Une boîte a une longueur de 5 cm, une largeur de 3 cm et une hauteur de 4 cm. Quel est le volume de la boîte ?
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\[ \text{Volume} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} = 5 \times 3 \times 4 = 60 \text{ cm}^3 \]
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Question 18 : Un sac contient 6 boules rouges, 4 boules bleues et 10 boules vertes. Si l'on choisit une boule au hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit bleue ? Donnez votre réponse sous forme de fraction simplifiée.
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Nombre total de boules = \(6 + 4 + 10 = 20\).
Boules bleues = 4.
Probabilité = \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\). -
Question 19 : John a acheté 3,75 mètres de tissu pour confectionner un rideau. Il a utilisé 2,4 mètres pour un rideau et 0,85 mètre pour un autre. Quelle quantité de tissu lui reste-t-il ?
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Tissu total utilisé = \(2,4 + 0,85 = 3,25 \text{ mètres}\).
Tissu restant = \(3,75 - 3,25 = 0,5 \text{ mètre}\). -
Question 20 : Linda a dépensé \(\dfrac{3}{4}\) de ses économies pour des meubles. Elle a ensuite dépensé \(\dfrac{1}{2}\) de ses économies restantes pour un réfrigérateur. Si le réfrigérateur lui a coûté 150 $, quelles étaient ses économies initiales ?
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Économies restantes après les meubles = \(1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\) des économies initiales \(x\).
Coût du réfrigérateur : \(\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \implies \dfrac{x}{8} = 150 \implies x = 1200\).
Les économies initiales de Linda s'élevaient à 1200 $. -
Question 21 : Le périmètre du carré A est 3 fois le périmètre du carré B. Quel est le rapport de l'aire du carré A à l'aire du carré B ?
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Soient \(x\) et \(y\) les côtés respectifs des carrés A et B.
Périmètres : \(4x = 3(4y) \implies x = 3y\).
Élévation au carré des deux côtés : \(x^2 = 9y^2\).
Rapport des aires = \(\dfrac{x^2}{y^2} = 9\), soit \(9:1\). -
Question 22 : Mary veut fabriquer une boîte rectangulaire ouverte. Elle commence avec un morceau de carton dont la longueur est de 15 centimètres et la largeur de 10 centimètres. Ensuite, elle découpe 4 carrés congruents de 3 centimètres de côté aux quatre coins et plie le long des lignes pointillées pour former la boîte. Quel est le volume de la boîte ?
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Longueur de la boîte = \(15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm}\).
Largeur de la boîte = \(10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm}\).
Hauteur de la boîte = \(3 \text{ cm}\).
Volume = \(9 \times 4 \times 3 = 108 \text{ cm}^3\). -
Question 23 : Un petit carré de côté \(2x\) est découpé dans un coin d'un rectangle dont la largeur est de 10 centimètres et la longueur de 20 centimètres. Écrivez une expression en fonction de \(x\) pour l'aire de la forme restante.
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Aire du rectangle = \(20 \times 10 = 200\).
Aire du carré découpé = \((2x) \times (2x) = 4x^2\).
Aire restante = \(200 - 4x^2\). -
Question 24 : Les coordonnées du point A sont (2, 3), et les coordonnées du point B sont (6, 7). Quelle est la distance entre les points A et B ?
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En utilisant la formule de la distance : \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] En remplaçant par \((2, 3)\) et \((6, 7)\) : \[ d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ unités} \]