Kugel-Gerade Schnittpunkt Rechner (3D)

Kugel & Gerade Rechner

Geben Sie Kugelzentrum (h, k, l) und Radius r ein · Gerade definiert durch Punkt (x₀, y₀, z₀) und Richtung (a, b, c).
Alle Zahlen akzeptieren Dezimalstellen (Punkt oder Komma verwenden).

Kugel (x – h)² + (y – k)² + (z – l)² = r²

h (Zentrum x)

k (Zentrum y)

l (Zentrum z)

Radius r

📏 Gerade (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t · (a, b, c)

x₀

y₀

z₀

a (Richtung x)

b (Richtung y)

c (Richtung z)

✔ Dezimalwerte erlaubt (z.B. 1.5, -0.75, 3,0)

Schnittpunkt(e)

P₁ —

P₂ —

Methode & Herleitung

Kugelgleichung (Zentrum \((h,k,l)\), Radius \(r\)):

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\]

Parameterform der Geraden (Punkt \((x_0,y_0,z_0)\), Richtung \((a,b,c)\)):

\[x = x_0 + a t,\quad y = y_0 + b t,\quad z = z_0 + c t\]

Einsetzen ergibt eine quadratische Gleichung in \(t\):

\[(x_0 + a t - h)^2 + (y_0 + b t - k)^2 + (z_0 + c t - l)^2 = r^2\]

Nach Ausmultiplizieren:

\[ \underbrace{(a^2+b^2+c^2)}_{A}\;t^2 \;+\; \underbrace{2\big[a(x_0-h)+b(y_0-k)+c(z_0-l)\big]}_{B}t \;+\; \underbrace{(x_0-h)^2+(y_0-k)^2+(z_0-l)^2 - r^2}_{C} = 0 \]

Diskriminante \(\Delta = B^2 - 4AC\) bestimmt die Art der Schnittpunkte:

\(\Delta > 0\) : zwei verschiedene Punkte (Sekante)
\(\Delta = 0\) : ein Punkt (Tangente)
\(\Delta < 0\) : kein reeller Schnittpunkt (Gerade verfehlt die Kugel)

Dann \(t = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}\) und wieder in die Geradengleichung einsetzen.