Im Rechner verwendete Formeln
Ebene (1) und Ebene (2) haben die folgenden Gleichungen \( \quad a_1 x + b_1 y + c_1 + d_1 = 0\) und \( \quad a_2 x + b_2 y + c_2 + d_2 = 0\).
Die Vektoren \( \vec {n_1} \) und \( \vec {n_2} \) normal zu den Ebenen (1) und (2), definiert durch ihre obige Gleichung, sind durch ihre Komponenten wie folgt gegeben:
\( \vec {n_1} \; = \; \lt a_1 , b_1 , c_1 \gt \)
\( \vec {n_2} \; = \; \lt a_2 , b_2 , c_2 \gt \)
Der Winkel \( \alpha \) zwischen den zwei Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Vektoren \( \vec {n_1} \) und \( \vec {n_2} \) und sein Kosinus ist gegeben durch
\[ \large \color{red} {\cos \alpha = \dfrac{ \vec {n_1} \cdot \vec {n_2} }{| \vec {n_1} | \cdot | \vec {n_2} | } = \dfrac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 }{| \vec {n_1} | \cdot | \vec {n_2} | } } \]
Die Beträge \( | \vec {n_1} | \) und \( | \vec {n_2} | \) sind gegeben durch
\( | \vec {n_1} | = \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 } \)
\( | \vec {n_2} | = \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 } \)
Verwenden Sie die inverse Kosinusfunktion, um den Winkel \( \alpha \), der von den beiden Vektoren gebildet wird, auszudrücken als
\[ \large \color{red} {\alpha = \arccos \left (\dfrac{ a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 }{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 } \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right) } \]